Lý thuyết tổng hợp Chuyên đề Khảo sát hàm số

ử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng [a ; b]
Nếu f'x>0 với mọi x∈[a ;b] thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng [a ; b].
Nếu f'x<0 với mọi x∈[a ;b] thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng [a ; b].
Nếu f'x=0 với mọi x∈[a ;b] thì hàm số f(x) thì hàm số không đổi trên [a ; b] .
Tiện cận của hàm số:
Tiện cân đứng :
Đường thăng x=x0 được gọi là đường tiện cận đứng (gọi tắt là tiện cận đứng) của đồ thị hàm số y=f(x) nếu ít nhất một trong các diều kiện sau thoả mản :
limx→x0-fx=+∞ 	limx→x0+fx=+∞
limx→x0-fx=-∞ 	limx→x0+fx=-∞
(xem hình trang bên)
0
x0
Y=f(x)
x=x0
y=f(x)
y
x
Y=f(x)
0
x0
x=x0
y
x
 	 b)
x=x0
0
x0
y=f(x)
y
x
y=f(x)
0
X0
x=x0
y
x
c) 	d)
Tiện cận ngang:
Đường thẳng y = y0được gọi là đường tiện cận ngang (gọi tắt là tiện cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
	limx→+∞fx=y0 	hoặc	 limx→-∞f(x)=y0	
y=y0
y0
0
y=f(x)
y
x
y=f(x)
y=y0
y0
0
y
x
 	 b)
Tiện cận xiên:
Đường thẳng y = ax +b, a≠0 , được gọi là đường tiện cân xiên (lgoi5 tắt là tiện cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
	limx→+∞fx-ax+b=0
Hoặc limx→-∞fx-ax+b=0
0
(d)
y=ax+b
y=f(x)
y
x
Ví dụ: tìm tiện cận ngang và tiện cận đứng của đồ thị hàm số y=2x-1x+2
Giải:
Hàm số đã cho có tập xác định là R\{-2}
àVì limx→+∞y=2 và limx→-∞y=2
Nên đường thẳng y = 2 là tiện cận ngang của đồ thị 
(khi x→+∞ và khi x→-∞).
àVì limx→-2+y=+∞ và limx→-2-y=-∞
Nên đường thẳng x= -2 là tiện cận đứng của đồ thị ( khi x→-2+ và khi x→-2-)
III/Khảo sát các hàm đa thức:
A)Hàm số y = ax3 + bx2 + cx +d (a≠0) 
Ví dụ1 :khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C )của hàm số
y= 18x3- 3x2- 9x-5
Giải:
Hàm số xác định là R.
Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn của hàm số tại vô cực 	
	limx→∞y=-∞ và limx→∞y=+∞
Bảng biến thiên 
Ta có y'=18(3x2-6x-9)
	 y'=0⟺x2-2x-3=0⟺x=-1 hoặc x=3
x
-∞ 	-1	3	+∞	
y’
	+	0	-	0	+
y
	0	+∞
	-∞	-4
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-1) và (3;+∞), nghịch biến trên khoảng (-1;3)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=-1;giá trị cực đại của hàm số là y(-1)=0
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=3;giá trị cực tiểu của hàm số là y(3)=-4
Đồ thị: 
Điểm uốn:
y''=186x-6 
 ⟹y''=0⟺6x-6=0 ⟺x=1 
Tại điểm x=1 và y’’ đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x=1
àVậy điểm I(1;-2)là điểm uốn của đồ thị
Giao điểm với các trục toạ độ:
Giao điểm với trục tung là điểm 0;-58
Ta có y=0 ⟺x+12x-5=0⟺x=-1 hoặc x=5.Vậy giao điểm với trục hoành là (-1;0) và (5;0)
Điểm đặc biệt:
x
-3 -1 1 3
y
-4 0 -2 -4
-3 -2 -1 
1 2 3 4 5 6 6
 -6 -5 -4
0
y
x
5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
(C)
Nhận xét: đồ thị nhận I(1;-2) làm tâm đối xứng
B)hàm số y = ax4 + bx2 + c (a≠0)
Ví dụ 2: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
	y=x4-2x2-3
Giải:
Hàm số xác định trên R.
Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn của hàm số tại vô cực
	limx→-∞y=+∞ 	limx→+∞y=-∞
Bảng biến thiên
Ta có y'=4x3-4x=4xx2-1
	y'=0⟺x=1 hoặc x=-1
 khi x=1⟹y=-4 ,khi x=-1 ⟹y=-4
x
	-∞	-1	0	1	+∞
y’
	-	0	+	0	-	0	+
y
	+∞	-3	+∞
	-4	-4	
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1;+∞); nghịch biến trên khoảng (-∞;-1) và (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0;giá trị cực đại của hàm số y(0)=-3
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=-1 và x=1;giá trị cực đại của hàm số y(-1)=-4 y(1)=-4
Đồ thị :
y''=12x2-4 
y''=0⟺ x1=33 hoặc x2=-33 và y’’ đổi dấu khi x qua mỗi điểm x1 và x2
àDo đó U1-33;-329 và U233;-329là điểm uốn của đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm (0;-3)
Ta có y=0⟺x=±3, vậy đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm -3;0và
3;0 
Diểm đặc biệt:
x
-1	 -33	 0	 33 1
y
-4	 -329 -3 -33	 -4
-3 -2 -1 
 1 2 3 
0
y
x
-1
-2
-3
-4
3
-3
Nhận xét: đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
Kết luận :
Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng 
Đồ thị hàm trủng phương nhận trục tung làm trục đối xứng
IV/khảo sát hàm phâm thức hữu tỉ
A)hàm số y=ax+bcx+d (c≠0 và ad-bc ≠0)
Ví dụ 3: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
y=2x-1x-1
Giải:
Hàm số có tập xác đình là R\{1}
Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đường tiện cân:
Ta có limx→1-y=-∞ và limx→1+y=+∞.Do đó,dường thẳng x=1là tiện cận đứng của đồ thị hàm số đã cho khi x→1- và khi x→1+.
Vì limx→-∞y=limx→+∞y=2 nên đường thẳng y=2 là tiện cận ngang của đồ thị hàm số đã cho khi x→+∞ và khi x→-∞.
Bảng biến thiên
Ta có y'=-1x-12<0 với mọi x≠1
x
	-∞	1	+∞
y’
y
	2	
	-∞
	+∞
	2
Kết luận :hàm số nghịch biến trên mõi khoảng (-∞;1) và (1;+∞).
Đồ thị: đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1) và cắt trục hoành tại điểm 12;0.
Điểm đặc biệt:
x
 0 12 1 32 2 
0
y
1
2
3
4
 -2 -1 
 1 2 3 
x
12
32
y
 1 0 
 4 3
Kết luận: đồ thị nhận giao điểm I(1;2) của hai đường tiện cận làm tâm đối xứng.
B)hàm số y=ax2+bx+ca'x+b' (a≠0 .a'≠0)
Ví dụ 4: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
y=x2+2x+2x+1
Giải:
Hàm số có tập xác dịnh là R\{-1}
Sự biến thiên của hàm số
Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiện cận
Ta có limx→-∞y=-∞ và limx→+∞y=+∞
Vì limx→-1-y=-∞ và limx→-1+y=+∞ 
nên đường thẳng x=-1 là tiện cận đứng của đồ thị hàm số đã cho khi x→-1- và khi x→-1+.
Ta viết hàm số dưới dạng y=x+1+1x+1
Vì limx→+∞y-x+1=limx→+∞1x+1=0
và limx→-∞y-x+1=0 nên đường thẳng y= x+1 là tiện cận xiên của đồ thị hàm số đã cho khi x→+∞ và khi x→-∞.
Bảng biến thiên :
Ta có : y'=x2+2xx+12 ⟹y'=0⟺x2+2x=0⟺x=0 hoặc x=-2
x
	-∞	-2	-1	0	+∞
y’
	+	0	-
	0	+	
y
	-2
	-∞	-∞
+∞	+∞
	2
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và (0;+∞), nghịch biến trên mõi khoảng (-2;-1) và (-1;0).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=-2 với giá trị cực đại y(-2)=-2 và đạt cực tiểu tại x=0 với giá trị cực tiểu y(0)=2.
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại (0;2)
Điểm đặc biệt:
x
 -3 -2 -1 0 1
y
- 52 -2
 2 52 
 -3 -2 -1 
 1 2
0
y
x
1
2
-1
-2
-3
-52
52
Kết luận : đồ thị nhận I(-1;0) giao điểm hai đường tiện cận làm tâm đối xứng.
IIV/Các Bài Tập Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm:
Giao điểm giữa hai đồ thị :
Các đồ thị f(x) và g(x) cắt nhau tại điểm M(x0;y0) khi và chỉ khi y0=f(x) và y0=g(x) , tức là (x0;y0) là nghiệm của hệ phương trình:
y=f(x)y=g(x)
Vậy giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình:
f(x) = g(x)
phương trình tiếp tuyến của đồ thị:
phương trình tiếp tuyến tại điểm:
Cho hàm số y = f(x) ( C ) , viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C ) tại điểm M(x0;y0).
Tính f’(x).
Tính f’(x0).
Ta có phương trình tiệp tuyến có dạng : y – y0 = f’(x0)( x – x0 ).
Phương trình tiếp tuyến vuông góc hoặc song song với đường thẳng:
Cho hàm số y = f(x) ( C ), viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C ) vuông góc (song song) với đường thẳng y = ax + b.
Tính f’(x).
Giả sử M(x0;y0) là tiếp điểm , cho f’(x0) = -1a (hoặc f’(x0) = a) giải tìm được x0 sau đó ta tìm y0 à M(x0;y0).
Sử dụng từng giá trị M(x0;y0) để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm.
Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm N(x0;y0).
Cho hàm số y = f(x) ( C ), viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C ) đi qua điểm N(x0;y0).
Ta giả phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k, rồi viết phương trình tiếp tuyến y = k(x-x0) +y0
Tính f’(x) và y’
Giải hệ phương trình:fx=yf'x=y' sao đó ta tìm được hệ số góc k
Cho f’(x0) = k. Giải tìm được x0 sau đó ta tìm y0 à M(x0;y0)
Sử dụng từng giá trị M(x0;y0) để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm.
Chú ý :có bao nhiêu đi qua điểm M(x0;y0) thì có bấy nhiêu phương trình tiếp tuyến .
Khảo sát hàm trị tuyệt đối:
Hàm số y=f(x) ta làm như sau:
Vẽ hàm số y = f(x).
Bỏ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
Lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Hàm số y=f(x) ta làm như sau:
Vẽ hàm số y = f(x).
Bỏ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
Lấy đối xứng phần đồ thị phía trên trục hoành qua trục hoành.
Hàm số y=f(x) ta làm như sau:
Vẽ hàm số y = f(x).
Bỏ phần đồ thị nằm bên trái trục tung.
Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục tung qua trục tung.
Hàm phân thức hưu tỉ:(ta khảo sát trong bài tập).
Ví dụ1:
Cho hàm số y=-2x3+9x2-12x+5
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=-2x3+9x2-12x+5
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=-2x3+9x2-12x+5
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=-2x3+9x2-12x+5
Giải:
-3 -2 -1 
1 2 3 4 5 6 6
 -6 -5 -4
0
y
x
5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
a)Bước 1:Thực hiện các bước vẽ đồ thị hàm số y=-2x3+9x2-12x+5
Ta được đồ thị:
(hình A)
-3 -2 -1 
1 2 3 4 5 6 6
 -6 -5 -4
0
y
x
5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Bước 2,3: Bỏ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành và lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành qua trục hoành.
b)bước 1:ta cũng thực hiện các bước vẽ đồ thị để được đổ thị như hình A.
-3 -2 -1 
1 2 3 4 5 6 6
 -6 -5 -4
0
y
x
5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
bước 2,3: Bỏ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị phía trên trục hoành qua trục hoành.
c)bước 1: ta cũng thực hiện các bước vẽ đồ thị để được đổ thị như hình A.
-3 -2 -1 
1 2 3 4 5 6 6
 -6 -5 -4
0
y
x
5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
bước 2,3: Bỏ phần đồ thị nằm bên trái trục tung và Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục tung qua trục tung.
Ví dụ 2: khảo sát hàm số y=2x-1x+1
-3 -2 -1 
1 2 3 4 5 6 6
 -6 -5 -4
0
y
x
5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Bước 1: ta thực hiện các bước vẽ để được đồ thị :
Bước 2: ta bỏ phần đồ thị nằm phía bên trái tiện cận đứng là đường x = -1,
-3 -2 -1 
1 2 3 4 5 6 6
 -6 -5 -4
0
y
x
5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Bước 3: lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải tiện cận đứng qua tiện cận đứng
Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất :
Cho hàm số y = f(x) 
Tìm GTLN,GTNN trên khoảng ( a ; b )
 Tìm f'x ,cho f'x=0 giải nghiệm (chú ý ta chỉ quan tâm đến những nghiệm thuộc khoảng ( a ; b)
Lập bảng biến thiên trên khoảng ( a ; b)
Dựa vào bảng biến thiên kết luận
Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a ; b] 
Tìm f'x ,cho f'x=0 giải nghiệm x1,x2,. (chú ý ta chỉ quan tâm đến những nghiệm thuộc đoạn [ a ; b]
Tính f(x1) ,f(x2),
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các số trên, rồi kết luận
Ví dụ: tìm GTLN, GTNN của hàm số y=x+12-3x2
Giải: tập xác định là x∈-2;2
y'=1-3x12-3x2=12-3x2-3x12-3x2
⟹y'=0⟺12-3