Luyện thi Tốt nghiệp môn Toán - Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian

'u
ur
đi quaMo’ 

 u
r
, 'u
ur
 cùng phương 
§ d // d’⇔
0
'
'
u ku
M d
 =

∉
r ur
§ d ≡ d’⇔
0
'
'
u ku
M d
 =

∈
r ur

 u
r
, 'u
ur
 không cùng phương 
' '
1 1
' '
2 2
' '
0 3 3
'
'
'
o o
o o
o
x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t
 + = +

+ = +
 + = +
(I) 
§ dcắtd’⇔HệPtrình (I) có một nghiệm 
§ d chéo d’⇔Hệ Ptrình (I) vô nghiệm 
1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng. 
Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng 
' '
11
' '
2 2
' '
0 3 3
'
: ' : '
'
oo
o o
o
x x a tx x a t
d y y a t d y y a t
z z a t z z a t
 = += +

= + = + 
 
= + = + 
d có vtcpu
r
điqua Mo;d’cóvtcp 'u
ur
điqua Mo’ 

 (d) // (d’) ⇔ 
[ , ']=0
M 'o
u u
d


∉
r ur r

 (d) ≡ (d’) ⇔ 
0
[ , ']=0
M '
u u
d


∈
r ur r

 (d) cắt (d’) ⇔ 
'
0
, ' 0
, ' . 0o
u u
u u M M
  ≠ 

  = 
r ur
uuuuuurr ur 

 (d) chéo (d’) ⇔ '
0 0, ' . 0u u M M  ≠ 
uuuuuurr ur
HĐBM Toán An Giang-Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN 
Trang 70 
2)Vị trí tương đốicủa đthẳng vàmặtphẳng: 
Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D=0 
 và 
1
2
0 3
:
o
o
x x a t
d y y a t
z z a t
= +

= +

= +
pt:A(xo+a1t)+B(yo+a2t)+C(z0+a3t)+D=0(1) 

 P.trình (1) vô nghiệm thì d // (α) 

 P.trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α) 

 P. trình (1) có vô số nghiệm thì d⊂ (α) 
Đặc biệt : 
 ( d ) ⊥ (α ) ,a n⇔
r r
 cùng phương 
2)Vị trí tương đốicủa đthẳng vàmặtphẳng: 
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 
d qua M(x0;y0;z0) có vtcp 1 2 3( ; ; )a a a a=
r
và(α): Ax+By+Cz+D=0 cóvtpt ( ; ; )n A B C=
r

 d cắt (α) ⇔ . 0a n ≠
r r

 d // (α) ⇔ 
. 0
( )
a n
M α
 =

∉
r r

 d⊂ (α) ⇔ 
. 0
( )
a n
M α
 =

∈
r r
(Bổ sungkiếnthức chươngtrình nâng cao) 
3) Khoảng cách: 

 Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là: 
 2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z= − + − + − 

 Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho bởi công thức 
 0 0 0
0
2 2 2
Ax
( , ( ))
By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +

 Khoảng cách từ M đến đường thẳng d 
Phương pháp : 
§ Lập ptmp(α )đi quaM vàvuônggócvới d 
§ Tìm tọa độ giao điểm Hcủa mp(α ) và d 
§ d(M, d) =MH 

 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: 
d điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp 1 2 3( ; ; )a a a a=
r
d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ;vtcp 1 2 3' ( ' ; ' ; ' )a a a a=
uur
Phương pháp : 
§ Lập ptmp(α )chứa d và songsong với d’ 
§ d(d,d’)= d(M’,(α )) 

 Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng d 
 ( d đi qua M0 có vtcp u
r
) 
0[M , ]
( , )
M u
d M d
u
=
uuuuur r
r 

 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau 
d điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp 1 2 3( ; ; )a a a a=
r
d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ;vtcp 1 2 3' ( ' ; ' ; ' )a a a a=
uur
[ , ']. '
( , ')
[ , ']
hop
day
a a MM V
d d d
Sa a
= =
r uur uuuuur
r uur 
 Kiến thức bổ sung 

 Gọiφ là góc giữa hai mặt phẳng (00≤φ≤900) 
 (P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 
P
P
2 2 2 2 2 2
P Q
n . A.A' . ' . '
os = cos(n , )
n . n . ' ' '
Q
Q
n B B C C
c n
A B C A B C
ϕ + += =
+ + + +
uur uur
uur uur
uur uur 

 Góc giữa hai đường thẳng 
 (∆) đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP 1 2 3( ; ; )a a a a=
r
 (∆’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP 1 2 3' ( ' ; ' ; ' )a a a a=
uur
HĐBM Toán An Giang-Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN 
Trang 71 
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. ' . ' . ' . '
os os( , ')
. ' . ' ' '
a a a a a a a a
c c a a
a a a a a a a a
ϕ + += = =
+ + + +
r uur
r uur
r uur 

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 (∆) đi qua M0 có VTCP a
r
, mp(α) có VTPT ( ; ; )n A B C=
r
 Gọi φ là góc hợp bởi (∆) và mp(α) 
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
Aa +Ba +Ca
sin os( , )
A .
c a n
B C a a a
ϕ = =
+ + + +
r r
B. BÀI TẬP: 
Bài 1: 
a) Viết phương trình tham số,chính tắc của đường thẳng qua hai điểm 
 A(1;3;1) và B(4;1;2). 
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) vuông góc với mặt phẳng 
(P) : 2x – z + 1=0 . Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). 
c) Viết phương trình tham số, chính tắc của đuờng thẳng d là giao tuyến của hai 
mặt phẳng ( ) : 2 4 0 , ( ) : 2 2 0P x y z Q x y z+ − + = − + + = 
Bài 2 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và một đường 
 thẳng (∆) có phương trình : 9 2 ,
5 3
x t
y t t R
z t
=

= + ∈

= +
a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A,B,C. 
b) Viết phương trình tham số , chính tắc đường thẳng BC.Tính d(BC,∆). 
c) Chứng tỏ rằng mọi điểm M của đường thẳng (∆) đều thỏa mãn AM ⊥ BC, 
 BM ⊥ AC, CM ⊥ AB. 
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), 
C(0;0;5), O(0;0;0) và D là đỉnh đối diện với O. 
a) Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D). 
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (A,B,D). 
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A,B,D). 
Bài 4: Cho hai đường thẳng: 
x=2+t2 '
( ) : ( '): y=1-t , '3
z=2t1 '
x t
t t Ry
z t
= − 
 ∆ ∆ ∈= 
 
= + 
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (∆) và (∆’) không cắt nhau nhưng vuông 
góc nhau. 
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (∆)và (∆’). 
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (∆) và vuông góc với (∆’). 
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của (∆)và (∆’). 
HĐBM Toán An Giang-Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN 
Trang 72 
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3),C(3;-3;-1),D(-1;-5;3). 
a) Lập phương trình tham số đường thẳng AB. 
b) Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB. 
c) Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng 
CD xuống mặt phẳng (P). 
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. 
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6). 
a) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD. 
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 
c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC). 
d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC). 
e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB. 
Bài 7: Cho đường thẳng 
2
( ) : 4
1 2
x t
y t
z t
= − +
∆ =

= − +
 và mp (P) : x + y + z - 7=0 
a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 
b) Tìm tọa độ giao điểm của (∆) và (P). 
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (∆) trên mp(P). 
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (∆) và (∆’) lần lượt có phương 
 trình:
7 3
1 2 5
: ; ' : 2 2
2 3 4
1 2
x t
x y z
y t
z t
= +
− + − ∆ = = ∆ = +
− 
= −
. 
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (∆) và (∆’) cùng nằm trong mặt phẳng (α ) 
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) 
c) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc và cắt cả hai đường thẳng (∆) và 
(∆’) . 
 Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đường 
thẳng (∆): x = 5 + t ; y = -1 + 2t ; z = - 4 + 3t . 
a) Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua A , B, C. Chứng minh rằng (α) và (∆) 
vuông góc nhau, tìm tọa độ giao điểm H của chúng. 
b) Chuyển phương trình của (∆) về dạng chính tắc. Tính khoảng cách từ điểm 
M(4;-1;1) đến (∆). 
c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với (∆), biết (d) và (∆) cắt 
nhau. 
 BÀI TẬP TỔNG HỢP: 
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 -2x - 4y - 6z = 0 và hai điểm 
 M(1;1;1), N(2;-1;5). 
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S). 
b) Viết phương trình đường thẳng MN. 
c) Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = 0 tiếp xúc mặt cầu (S). 
HĐBM Toán An Giang-Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN 
Trang 73 
d) Tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng MN .Viết phương trình 
mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm. 
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0). 
a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện. 
b) Tính thể tích tứ diện ABCD. 
c) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C. 
d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tọa độ tâm và 
bán kính mặt cầu đó 
e) Gọi (T) là đường tròn qua ba điểm A,B,C . Hãy tìm tâm và tính bán kính của 
đường tròn (T) 
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x - 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu 
(S): x
2 
+ y
2 
 + z
2 
+ 3x + 4y - 5z + 6=0 
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S). 
b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).Từ đó suy ra rằng mặt phẳng (P) 
cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu là (C). Tính bán kính R và 
tọa độ tâm H của đường tròn (C). 
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0, điểm I(1;2;-2) và 
đường thẳng 
1 2
( ) : , 
4
x t
d t Ry t
z t
= − +

∈=

= +
a) Tìm giao điểm của (d) và (P). Tính góc giữa (d) và (P). 
b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P). 
c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d) và I. 
d) Viết phương trình đường thẳng (d’) nằm trong (P), cắt (d) và vuông góc (d). 
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(1;-1;2) , B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2). 
a) Chứng minh A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng. 
b) Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. hãy viết 
phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D. 
c) Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’. 
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;0), B(1;1;1) và C(1/3; 1/3;1/3) 
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc OC tại C. Chứng minh O,B,C 
thẳng hàng. Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) tâm B, bán kính 2R = với 
mặt phẳng (P). 
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường 
thẳng AB lên mặt phẳng (P). 
Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho mp(P): x + y + z – 1 = 0, mp(P) cắt các trục tọa độ tại 
 A, B, C. 
HĐBM Toán An Giang-Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN 
Trang 74 
a) Tìm tọa độ A, B, C. Viết phương trình giao tuyến của (P) với các mặt phẳng 
tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm D của (d): 
2
,
3 3
x t
t Ry t
z t
= +

∈= −

= − −
 với mp(Oxy). Tính 
thể tích tứ diện AB