Luyện thi Đại học môn Toán - Đại số tổ hợp - Vũ Ngọc Vinh

 = 805 cách
Sau đó phát 6 quyển cho 6 học sinh, có 6! cách phát
Tóm lại : Có 805.6! = 579600 cách làm thỏa ycbt
Một người có 7 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi đen. Yêu cầu cần lấy ra 7 bi đủ 3 màu. Hỏi số cách lấy
Công việc 1 : Lấy tùy ý 7 bi từ 16 bi, số cách lấy = 11440
Công việc 2 : Tìm số cách lấy vi phạm
Không lấy bi xanh, lấy 7 bi từ 9 bi đỏ, đen, số cách lấy 
Không lấy bi đỏ, lấy 7 bi từ 11 bi xanh, đen, số cách lấy 
Không lấy bi đen, lấy 7 bi từ 12 bi xanh, đỏ, số cách lấy 
Trong quá trình đếm, khi lấy 7 bi xanh được đếm cả ở TH2 và TH3 ở công việc 2 nên số cách lấy vi phạm là + + - 1 = 1157 cách
Tóm lại: Số cách lấy thỏa ycbt là 11440 – 1157 = 10283 cách
Cho một đa giác đều có 2n đỉnh nội tiếp trong đường tròn. Tìm n biết số hình chữ nhật vẽ được là 36.
Vì đa giác đều có 2n đỉnh nội tiếp trong đường tròn nên có n đường kính
Muốn có 1 hình chữ nhật ta lấy 2 đường kính từ n đường kính, số hình chữ nhật tạo được là 
Ta có 
Cho một đa giác đều có 20 cạnh. Hỏi
Có bao nhiêu tam giác vẽ được từ các đỉnh
Muốn có 1 tam giác ta phải lấy 3 đỉnh từ 20 đỉnh. Vậy số tam giác có được là = 1140
Có bao nhiêu tam giác mà có 2 cạnh là cạnh của đa giác
Lấy 1 cạnh của đa giác vẽ được 2 D thỏa yêu cầu
Lấy 20 cạnh của đa giác vẽ được 40 D thỏa yêu cầu
Tuy nhiên trong quá trình đếm, 1 tam giác bị đếm đến 2 lần nên số tam giác thực sự còn 20
Có bao nhiêu tam giác mà chỉ có 1 cạnh là cạnh đa giác
Lấy 1 cạnh của đa giác vẽ được 16 D thỏa yêu cầu
Lấy 20 cạnh của đa giác vẽ được 320 D thỏa yêu cầu
Có bao nhiêu tam giác mà không có cạnh nào là cạnh đa giác
Số D có được = 1140 – ( 20 + 320) = 800 tam giác
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và £ 46800
Số đó được biểu diễn qua 5 ô : ¨¨¨¨¨
TH1 : Ô thứ 1 lấy số 1, 2, 3
Ô thứ 1 có 3 cách chọn
Lấy 4 số từ 9 số, số cách lấy 
Xếp 4 số vừa lấy vào 4 ô, có 4! cách xếp
Số con số tìm được ở TH1 là 3..4! = 9072 số
TH2 : Ô thứ 1 lấy số 4, ô thứ 2 lấy số < 6
Ô thứ 2 có 5 cách chọn số
Lấy thêm 3 số từ 8 số, số cách lấy 
Xếp 3 số vừa lấy vào 3 ô, số cách xếp 3!
Số con số tìm được ở TH2 là 5..3! = 1680 số
TH3 : Ô thứ 1 lấy số 4, ô thứ 2 lấy số 6, ô thứ 3 lấy số < 8
Khi đó ô thứ 3 có 6 cách chọn số
Ô thứ 4 có 7 cách chọn số
Ô thứ 5 có 6 cách chọn số
Số con số tìm được ở TH3 là 6.7.6 = 252 số
Số con số thỏa ycbt là 9072 + 1680 + 252 = 11004 số
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau mà không có mặt đồng thời số 0 và số 1
Số đó được biểu diễn qua 7 ô : ¨¨¨¨¨¨¨
Công việc 1 : Tìm số con số gồm 7 chữ số khác nhau
Ô thứ 1 có 9 cách chọn
Lấy thêm 6 số từ 9 số, số cách lấy 
Xếp 6 số vừa lấy vào 6 ô, số cách xếp 6!
Số con số tìm được ở CV1 là 9..6! = 544320 số
Công việc 2 : Tìm số con số vi phạm yêu cầu, nghĩa là số đó có mặt đồng thời số 0 và số 1
Đưa số 0 vào ô, có 6 cách đưa
Đưa số 1 vào ô, có 6 cách đưa
Lấy thêm 5 số từ 8 số, số cách lấy 
Xếp 5 số vừa lấy vào 5 ô, số cách xếp 5!
Số con số tìm được ở CV2 là 6.6..5! = 241920
Số con số thỏa ycbt là 544320 – 241920 = 302400 số
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và có mặt đồng thời số 1 và số 2, 2 số đó không đứng cạnh nhau.
CV1 : Tìm số con số gồm 7 chữ số khác nhau và có mặt đồng thời số 1 và 2.
Số đó được biểu diễn qua 7 ô : ¨¨¨¨¨¨¨
TH1 : Có mặt số 1, 2 và có mặt số 0
Đưa số 0 vào ô, có 6 cách đưa
Đưa số 1 vào ô, có 6 cách đưa
Đưa số 2 vào ô, có 5 cách đưa
Lấy thêm 4 số từ 7 số, số cách lấy 
Xếp 4 số vừa lấy vào 4 ô, số cách xếp 4!
Số con số tìm được ở TH1 là 6.6.5..4! = 151200 số
TH2 : Có mặt số 1, 2 và không có mặt số 0
Đưa số 1 vào ô, có 7 cách đưa
Đưa số 2 vào ô, có 6 cách đưa
Lấy thêm 5 số từ 7 số, số cách lấy 
Xếp 5 số vừa lấy vào 5 ô, số cách xếp 5!
Số con số tìm được ở TH2 là 7.6..5! = 105840 số
Vậy, số con số tìm được ở CV1 là 151200 + 105840 = 257040 số
CV2 : Tìm số con số gồm 7 chữ số khác nhau và có mặt đồng thời số 1 và 2, chúng đứng cạnh nhau
Vì số 1, 2 đứng cạnh nhau, ta coi đó là 1 phần tử _ gọi là a.
Số cần tìm được biểu diễn qua 6 ô: ¨¨¨¨¨¨
TH1 : Có mặt số 0
Đưa số 0 vào ô, có 5 cách đưa
Đưa số a vào ô, có 5 cách đưa
Xếp thứ tự cho 1 và 2 có 2! cách xếp
Lấy 4 số từ 7 số, số cách lấy 
Xếp 4 số vừa lấy vào 4 ô, số cách xếp 4!
Số con số tìm được ở TH1 là : 5.5.2!.4! = 42000 số
TH2 : Không có mặt số 0
Đưa số a vào ô, có 6 cách đưa
Xếp thứ tự cho 1 và 2 có 2! cách xếp
Lấy 5 số từ 7 số, số cách lấy 
Xếp 5 số vừa lấy vào 5 ô, số cách xếp 5!
Số con số tìm được ở TH2 là 6.2!..5! = 30240 số
Số con số tìm được ở CV2 là 42000 + 30240 = 72240 số
Tóm lại, số con số thỏa ycbt là 257040 – 72240 = 184800 số
Có 5 nam và 5 nữ ngồi vào 1 dãy ghế có 10 chỗ. Hỏi số cách xếp biết họ ngồi theo phái?
Xem 5 nam như 1 phần tử, 5 nữ như 1 phần tử, xem ghế có 2 chỗ
Số cách xếp 2 phần tử vào 2 vị trí là 2!
Xếp 5 nam vào 5 ghế, số cách xếp là 5!
Xếp 5 nữ vào 5 ghế, số cách xếp là 5!
Số cách xếp : 2!5!5! = 28800 cách
Một tập thể nhà khoa học gồm 2 nhà toán học và 10 nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập từ tập thể đó một phái đoàn gồm 8 người trong đó có ít nhất một nhà toán học.
Cách 1 : Yêu cầu có ít nhất 1 nhà toán học nên ta có 2 trường hợp
Lấy 1 nhà toán học và 7 nhà vật lý, số cách lấy = 240 cách
Lấy 2 nhà toán học và 6 nhà vật lý, số cách lấy = 210 cách
Vậy có 240 + 210 = 450 cách lập đoàn
Cách 2 : Ta làm 2 công việc
Lấy tùy ý 8 người từ 12 người, số cách lấy = 495 cách
Lấy vi phạm (không lấy nhà toán học), chỉ lấy 8 nhà vật lý từ 10 người, số cách lấy = 45 cách
Vậy có 495 – 45 = 450 cách lập đoàn.
Phần II. 	 CƠNG THỨC NHỊ THỨC NIU TƠN
Các tính chất :
Trong khai triển (a + b)n ta được (n+1) số hạng.
Tổng số mũ của a và b trong mỗi số là n.
Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a + b)n là 
CÁC DẠNG BÀI TẬP :
Dạng 1 : Tìm hệ số của xn trong khai triển nhị thức Niutơn
Giải
Giải
Giải
Dạng 2 : Tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức, áp dụng giải bài toán khác
Phương pháp :
Nếu trong tổng có , ta khai triển rồi lấy tích phân.
Nếu trong tổng có , ta khai triểnrồi lấy đạo hàm.
Nếu trong tổng không có 2 số hạng trên, ta khai triển rồi chọn a, b, x.
Nếu tổng có chỉ số không đầy đủ, ta đặt tổng bổ sung, tính tổng hiệu
Giải
Giải
Giải
Giải
Dạng 3 : Các dạng toán khác
Giải
Giải
Giải
Phần III.
BÀI TẬP
I – Giai thừa: 
Cho n2. Chứng minh rằng: 
Cho x>0, nN. Chứng minh rằng: 
Giải phương trình: 
Chứng minh rằng : 
Với n là số lẻ, n3, x0. Chứng minh: 
II – Chỉnh hợp – hốn vị:
Giải phương trình : 
Giải phương trình : 
Chứng minh: 
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện:
 a) ; 	b) ; 	c) 
Hốn vị:
Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 5 người khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào một hàng 8 ghế nếu:
họ ngồi chỗ nào cũng được?
họ ngồi kề nhau?
3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhĩm này cĩ ít nhất một ghế trống?
Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách
 a) vào 5 ghế xếp thành một dãy.
 b) vào 5 ghế chung quanh một bàn trịn, nếu khơng cĩ sự phân biệt giữa các ghế này.
Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau. Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất 1 phút, hỏi cần bao lâu để cĩ thể chụp tất cả các ảnh khác nhau?
Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng ba chữ số này bằng 8?
Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
 a) họ ngồi chỗ nào cũng được.
 b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau.
 c) chỉ cĩ nữ sinh ngồi kề nhau.
Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau biết rằng tổng ba chữ số này bằng 12?
Một phịng khách cĩ 3 chỗ cĩ thể đặt tranh, ảnh hoặc tượng. Chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp đặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 pho tượng khác nhau vào chỗ cịn lại. Hỏi cĩ bao nhiêu cách trang trí phịng khách?
Ta muốn mời 6 người ngồi vào một dãy 6 ghế . Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
 a) Cĩ 3 người trong bọn họ muốn ngồi kề nhau?
 b) Cĩ 2 người trong bọn họ khơng muốn ngồi kề nhau?
 c) Cĩ 3 người trong bọn họ khơng muốn ngồi kề nhau đơi một?
Một bàn dài cĩ 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm 6 nam và 6 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
họ ngồi chỗ nào cũng được ? 
nam ngồi một bên, nữ ngồi một bên ?
nam nữ ngồi đối diện nhau ?
nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau ?
Chỉnh hợp:
Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được lấy từ các số đã cho, sao cho:
 a) Số đĩ chẵn
 b) Số đĩ chia hết cho 5
 c) Luơn cĩ mặt chữ số 1 và 3
Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7. Cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số đã cho sao cho các số lẻ luơn đứng liền nhau.
Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6
 a) Cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 cĩ mặt 3 lần, các số khác cĩ mặt đúng 1 lần.
 b) Cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 5 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 cĩ mặt 1 lần, các số khác cĩ mặt một vài lần.
Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Cĩ thể lập được bao nh