Luyện thi Đại học - Chuyên đề: Số phức - Huỳnh Đức Khánh

0 ( )0a = . 
3. Hai số phức bằng nhau : ( )'' ' , , ', ' .
'
a a
a bi a b i a b a b
b b
=
+ = + ⇔ ∈
=
ℝ 
4. Phép cộng hai số phức : ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'a bi a b i a a b b i+ + + = + + + . 
5. Phép trừ hai số phức : ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'a bi a b i a a b b i+ − + = − + − . 
6. Phép nhân hai số phức : ( ) ( ) ( ) ( )2.a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i+ + = + + + = − + + . 
7. Phép chia hai số phức : ( )( )( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
.
a bi c di ac bd bc ad ia bi ac bd bc ad i
c di c di c di c d c d c d
+ − + + −+ + −
= = = +
+ + − + + +
. 
8. Số phức liên hợp : Cho số phức z a bi= + , số phức liên hợp của z là z a bi= − . 
9. Môñun của số phức : z a bi= + , suy ra môñun của số phức z là 2 2z a b= + . 
10. Các tính chất : 
● 2z z a+ = 
● 
2
.z z z= 
● 00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz 
● . ' 'z z z z= 
● ' 'z z z z+ ≤ + 
● 
' 'z z
z z
 
= 
 
● 
'' zz
z z
= 
11. Căn bậc hai của số phức : Cho số phức z a bi= + . Tìm căn bậc hai. 
- Gọi x yiω = + là căn bậc hai của số phức z a bi= + . 
- Ta có : ( ) ( )22 2 2 2z x yi a bi x y xyi a biω⇔ = ⇔ + = + ⇔ − + = + 
CHUYEÂN ÑEÀ. SOÁ PHÖÙC 
 LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
trang 2 
2 2
2
2 2
2
2
2
a a b
xx y a
xy b by
x
 + +
= − = 
⇔ ⇔ 
= 
=

Tính chất : 
● 0z = có ñúng một căn bậc hai là 0ω = . 
● 0a > có hai căn bậc hai là a± . 
● 0a < coa hai căn bậc hai là i a± . 
12. Giải phương trình bậc hai trên tập số phức : 
Cho phương trình bậc hai : 2 0Az Bz C+ + = . Trong ñó : , , A B C là các số phức cho trước, 0A ≠ . 
 Tính 2 4B AC∆ = − . 
 + 0∆ ≠ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt : 
2
B
z
A
δ− ±
= , δ là một căn bậc hai của ∆ . 
 + 0∆ = . Phương trình có một nghiệm kép là : 
2
B
z
A
−
= . 
Tính chất : (ðịnh lý Viet cho phương trình bậc hai). Cho phương trình bậc hai : 2 0Az Bz C+ + = . 
Trong ñó : , , A B C là các số phức cho trước, 0A ≠ . Gọi 1 2, z z là hai nghiệm của phương trình, khi 
ñó : 1 2
B
z z
A
−
+ = và 1 2.
C
z z
A
= . 
DAÏNG 1. CAÙC PHEÙP TOAÙN TREÂN SOÁ PHÖÙC. 
Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, môñun của các số phức sau : 
 1) 1 i 1 2iz
1 2i 1 i
+ +
= −
− −
 2) ( ) ( ) ( )
3
21 i 1 2i
z 3 2i
4 2i
+ −
= − −
+
 3) ( )( )
3
2
4 i
z 2 3i
1 i
−
= + −
+
. 
Bài 2. Tính ni với *n ∈ℕ . Từ ñó tính giá trị các biểu thức sau : 
 1) ( ) ( ) ( )2 2011A 1 1 i 1 i ... 1 i= + + + + + + + 
 2) 2 2011B 1 i i ... i= + + + + 
 3) 
5 7 9 2009
4 5 6 2010
i i i ... iC
i i i ... i
+ + + +
=
+ + + +
. 
Bài 3. Tìm số n nguyên nếu 
 1) ( ) ( )n n1 i 1 i+ = − 
 2) 
n n1 i 1 i 0
2 2
+ −   
+ =   
   
. 
Bài 4. Cho số phức : 1 3z i
2 2
= − + . Tính : 2z z 1+ + . 
Bài 5. Cho số phức : z 1 i 3= + . Tính : ( )22z z+ . 
Bài 6. Cho số phức : ( )( )2z 1 2i 2 i= − + . Tính giá trị biểu thức : A z.z= . 
Bài 7. Cho số phức : z 1 3i= + . Tìm số nghịch ñảo của số phức : 2ω z z.z= + . 
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
trang 3 
Bài 8. Tìm phần thực và phần ảo của số phức : z iω
z i
+
=
−
, trong ñó : z 1 2i= − . 
Bài 9. Cho số phức z thỏa mãn : 
( )21 3i
z
1 i
−
=
−
. Tìm môñun của số phức : z iz+ . 
Bài 10. Tìm phần ảo của số phức z biết : ( ) ( )2z 2 i 1 2i= + − . 
Bài 11. Tìm số phức z sao cho : ( )( )A z 2 z i= − + là số thực. 
Bài 12. Tìm mô ñun của số phức : 
2 2
4 4
x y 2xyi
z .
xy 2 i x y
− +
=
+ +
Bài 13. Cho z, z là hai số phức liên hợp thỏa mãn ñiều kiện 2
z
z
 là số thực và z z 2 3− = . 
Tính z . 
Bài 14. Cho 1 2z , z C∈ , sao cho : 1 2 1 1z z 3; z z 1+ = = = . Tính : 1 2z z− . 
Bài 15. Cho 1 2z , z C∈ , sao cho : 1 2 1 2z z z z 0− = = > . Tính : 
4 4
1 2
2 1
z zA
z z
   
= +   
   
. 
Bài 16. Tìm phần thực của số phức ( )nz 1 i= + , biết rằng n ∈ℕ thỏa mãn phương trình 
( ) ( )4 4log n 3 log n 9 3− + + = . 
DAÏNG 2. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI VAØ ÖÙNG DUÏNG. 
Bài 1. Giải các phương trình sau trong tập số phức : 
 1) 2z z 3 1 0− + = 2) 4 2z 2z 3 0+ − = 
 3) ( )2z 8 1 i z 63 16i 0− − + − = 4) ( ) ( )22 1 i z 4 2 i z 5 3i 0+ − − − − = . 
Bài 2. Gọi 1 2z , z là hai nghiệm phức của phương trình : ( )2z 1 i 2 z 2 3i 0− + + − = . Không giải 
phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau : 
 1) 2 21 2A z z= + 2) 3 31 2B z z= + 
 3) 4 41 2C z z= + 4) 3 31 2 1 2D z z z z= + 
 5) 1 2
2 1
z zE
z z
= + 6) 1 2
2 1 1 2
1 2 1 2F z z
z z z z
   
= + + +   
   
. 
Bài 3. Gọi 1 2z , z là hai nghiệm phức của phương trình: 2z 2z 10 0+ + = . Tính giá trị của biểu thức 
2 2
1 2A z z= + và 
2 2
1 2
2 2
1 2
z zB
z z
+
=
+
. 
Bài 4. Gọi 1 2z , z là hai nghiệm phức của phương trình : 2z 2z 10 0+ + = . Tính các biểu thức. 
 1) 1 2z z+ 2) 2 21 2z z+ 
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
trang 4 
 3) 4 41 2z z+ . 
Bài 5. Trên tập số phức, tìm B ñể phương trình bậc hai 2z Bz i 0+ + = có tổng bình phương hai 
nghiệm bằng 4i− . 
Bài 6. Trên tập số phức, tìm tham số m ñể mỗi phương trình sau ñây có hai nghiệm 1 2z , z thỏa 
mãn ñiều kiện ñã chỉ ra : 
 1) 2z mz m 1 0− + + = , với 2 21 2 1 2z z z z 1+ = + 
 2) 2z 3mz 5i 0− + = , với 3 31 2z z 18+ = . 
Bài 7. Cho số phức z thỏa mãn : 2z 6z 13 0− + = . Tính 6z
z i
+
+
. 
Bài 8. Tìm các số thực B, C ñể phương trình : 2z Bz C 0+ + = nhận z 1 i= + làm nghiệm. Tìm 
nghiệm còn lại của phương trình. 
Bài 9. Tìm B ñể phương trình : ( ) ( )21 i z 2 3 2i z 12 Bi 0− + − − − = có một nghiệm phức là 
z 1 i= + . Tìm nghiệm còn lại. 
Bài 10. Cho số phức z là một nghiệm của phương trình : 2z z 1 0+ + = . Rút gọn biểu thức 
2 2 2 2
2 3 4
2 3 4
1 1 1 1P z z z z
z z z z
       
= + + + + + + +       
       
. 
DAÏNG 3. GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH. 
Bài 1. Tìm số phức z biết rằng : 
 1) z 2z 6 2i+ = + 2) 3z 9 2iz 11i+ = + 
 3) z 2z 2 4i+ = − 4) 2z z 0+ = 
 5) ( ) 12 i z 3 i iz 0
2i
  
− + + + =    
 6) ( ) ( ) ( )21 i 2 i z 8 i 1 2i z+ − = + + + 
 7) 
4
z i 1
z i
+ 
= 
− 
 8) 2 i 1 3iz
1 i 2 i
+ − +
=
− +
Bài 2. Tìm số phức z biết rằng : 
 1) 
z 1 1
z i
z 3i 1
z i
 −
=
−

−
=
 +
 2) 
z 12 5
z 8i 3
z 4 1
z 8
 −
=
−

−
=

−
 3) z 2i z
z i z 1
 − =

− = −
 4) 22
2 z i z z 2i
z z 4.

− = − +


− =

Bài 3. Giải phương trình sau trên tập số phức : 
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
trang 5 
 1) 4 3 2z z 6z 8z 16 0− + − − = 2) 4 3 21z z z z 1 0
2
− + + + = 
 3) 4 3 2z 2z z 2z 1 0+ − + + = 4) 4 3 2z 2z z 2z 1 0− − − + = 
 5) ( ) ( ) ( )4 3 2z 1 2 z 2 2 z 1 2 z 1 0− + + + − + + = 
 6) 4 3 2z 4z 6z 4z 15 0− + − − = 7) ( )4 2z 6 1 i z 5 6i 0+ + + + = 
 8) ( ) ( )22 2z z 4 z z 12 0+ + + − = 9) 4z 16 0− = 
 10) 4z 16 0+ = 11) 5z 1 0.− = 
Bài 4. 1) Tìm các số thực a, b sao cho : ( )( )4 2 2 2z 4z 16z 16 z 2z 4 z az b− − − = − − + + ∀ z ∈C. 
 2) Giải phương trình : 4 2z 4z 16z 16 0− − − = . 
Bài 5*. Giải phương trình : ( )3 22z 5z 3z 3 2z 1 i 0− + + + + = , biết phương trình có nghiệm thực. 
Bài 6*. Giải phương trình : ( ) ( )3 2z 1 2i z 1 i z 2i 0− − + − + = , biết phương trình có nghiệm thuần ảo. 
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức : 
 1) 1 2 1 22 2
1 2
z z z z 8
z z 1
− − =

+ = −
 2) 1 22 2
1 2
z z 4 i
z z 5 2i
+ = +

+ = −
 3) 1 22 2
1 2
z .z 5 5i
z z 5 2i
= − −

+ = − +
 4) 
2
1 2
2
2 1
z z 1 0
z z 1 0
 − + =

− + =
 5) 1 22 2
1 2
z z 3i
z z 3 2i
− =

+ = − −
 6) ( )( )
1 2
3 3
1 2
z z 3 1 i
z z 9 1 i .
+ = +

+ = − +
DAÏNG 4. TÌM SOÁ PHÖÙC THOÛA ÑIEÀU KIEÄN CHO TRÖÔÙC 
Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn ñồng thời : 
 1) z 1 1
z i
−
=
−
 và z 3i 1
z i
−
=
+
 2) ( )z 2 i 10− + = và z.z 25= 
 3) z 2= và 2z là một số thuần ảo 4) z 1= và ( )22z z 1+ = 
 5) z 2i z 1 i+ = − + và z 1 i
z 2i
+ −
+
 là một số thuần ảo 
 6) z 3i 1 iz− = − và 9z
z
− là số thuần ảo 
 7) z 7iz 5; 
z z
+
=
+
 là một số thực 8) z 1= và z z 1
zz
+ = 
 9) z 1 2i z 2 i+ + = − + và z i 5− = 10) 2z z 2+ = và z 2= . 
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
trang 6 
Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn : 2z z= . 
Bài 3. Cho số phức z thoả mãn : z 2i z− = và z i z 1− = − . Tính ( )20102010 1P z z−= + . 
Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn ñiều kiện : ( ) ( )z 1 z 2i− + là số thực và z nhỏ nhất. 
Bài 5. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn : z 2 2i 1− + = . 
 1) Tìm số phức z sao cho z nhỏ nhất. 
 2) Tìm số phức z sao cho z lớn nhất. 
Bài 6. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn : z 2 4i z 2i− − = − . Tìm số phức z sao cho z nhỏ 
nhất. 
DAÏNG 5. TÌM TAÄP HÔÏP ÑIEÅM TRONG MAËT PHAÚNG PHÖÙC. 
Cho số phức : ; , z a bi a b= + ∈ℝ . 
1. 0a = . Tập hợp số phức cần tìm là trục ảo. 
2. 0b = . Tập hợp số phức cần tìm là trục thực. 
3. Aa Bb C+ = , với , , A B C ∈ℝ . Tập hợp số phức z cần tìm là ñường thẳng có phương 
trình : Aa Bb C+ = . 
4. ( ) ( )2 2 20 0a x b y R− + − = . Tập hợp số phức z cần tìm là ñường tròn tâm I (biểu diễn số 
phức 0 0x y i+ ), bán kính R. 
5. ( ) ( )2 2 20 0a x b y R− + − ≤ . Tập hợp số phức z cần tìm là hình tròn tâm I (biểu diễn số phức 
0 0x y i+ ), bán kính R. 
6. ( ) ( )2 2 20 0a x b y R− + − < . Tập hợp số phức z cần tìm là phần bên trong hình tròn tâm I 
(biểu diễn số phức 0 0x y i+ ), bán kính R 
7. ( ) ( )2 22 20 0r a x b y R< − + − < . Tập hợp số phức z cần tìm là hình vành khăn ñược giới 
hạn bởi hai hình tròn. 
Bài 1. Tìm số thực k, ñể bình phương của số phức : k 9iz
1 i
+
=
−
 là số thực. 
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn các số phức z thõa mãn ñiều kiện: 
 1) z 2i+ là số thực 2) z 2 i− + là số thuần ảo 
 3) z k
z i
=
−
, k là 1 số thực dương 4) ( )z 3 4i 2− − = 
 5) z.z 9= 6) ( )( )ω z 2 z i= − + là số thực 
 7) 1z
z
= 8) 1z 2
z
+ = 
 9) 1z z i
2
− = + 10) ( )z i 1 i z− = + 
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
trang 7 
 11) ( ) ( )
2
3 27 32
1log 2 z i log 0
2 z i
+ + + =
+ −
 12) z i 1 z i 1 9− + + + − = . 
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợ