Luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán năm 2010 - Chuyên đề: Phương trình lượng giác

rên trở thành 2 0at bt c+ + = 
Giải phương trình trên tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t. 
Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm nghiệm của phương trình 
Ví dụ 7: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A, năm 2002) 
Tìm các nghiệm trên ( )0;2pi của phương trình os3x+sin3x5 s inx 3 cos 2
1 2sin 2
c
x
x
 
+ = + + 
 (7) 
Giải. 
Điều kiện 1sin 2
2
x ≠ − 
Ta có 3 3 3 3sin 3 os3 (3sin 4sin ) (4 os 3cos ) 3(cos s inx) 4( os sin )x c x x x c x x x c x x+ = − + − = − − + − 
2 2(cos s inx) 3 4( os cos sin sin ) (cos s inx)(1 2sin 2 )x c x x x x x x = − − + + + = − +  
Do vậy: [ ] 2(7) 5 s inx (cos s inx) 3 (2cos 1)x x⇔ + − = + − 
2
1
cos
2cos 5cos 2 0 2
osx 2( )
x
x x
c loai

=⇔ − + = ⇔

=
 2 (k )
3
x kpi pi⇔ = ± + ∈
 (thỏa mãn điều kiện) 
Vì ( )0;2x pi∈ nên 5
3 3
x x
pi pi
= ∨ = 
Ví dụ 8: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A, năm 2005) 
Giải phương trình 2 2cos 3 . os2 os 0x c x c x− = (8) 
Giải. 
1 os6 1 os2(8) . os2 0 os6 . os2 0 (8.1)
2 2
c x c x
c x c x c x
+ +
⇔ − = ⇔ = 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 4 
Cách 1: 3 4 2(8.1) (4cos 2 3cos 2 ) os2 1 0 4cos 2 3cos 2 1 0x x c x x x⇔ − − = ⇔ − − = 
2
2
os 2 1
1
os 2 (vô nghiêm)
4
c x
c x
 =
⇔

= −

 sin 2 0 2 (k )
2
x x k x k pipi⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈
 
Cách 2: ( ) 21(8.1) os8 os4 1 0 2 os 4 os4 3 0
2
c x c x c x c x⇔ + − = ⇔ + − = 
os4 1
4 2 (k )3 2os4 (loai)
2
c x
x k x k
c x
pi
pi
=
⇔ ⇔ = ⇔ = ∈
 = −


 
Cách 3: Phương trình lượng giác không mẫu mực 
os6 os2 1(8.1)
os6 os2 1
c x c x
c x c x
= =
⇔ 
= = −
Cách 4: ( )1(8.1) os8 os4 1 0 os8 os4 2 0 os8 os4 2
2
c x c x c x c x c x c x⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ = = 
 os4 1 (k )
2
c x x k pi⇔ = ⇔ = ∈
 
Ví dụ 9: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D, năm 2005) 
Giải phương trình 4 4 3cos sin os sin 3 0
4 4 2
x x c x x
pi pi   
+ + − − − =   
   
 (9) 
Giải. 
 ( ) ( )22 2 2 2 1 39 sin os 2sin os sin 4 sin 2 02 2 2x c x xc x x x
pi  
⇔ + − + − + − =  
  
 [ ]21 1 31 sin 2 os4x+sin2x 0
2 2 2
x c⇔ − + − − = 
2 21 1 1 1sin 2 1 2sin 2x sin 2 0
2 2 2 2
x x ⇔ − − − + − =  
2 sin 2 1sin 2 sin 2 2 0
sin 2 2 (loai)
x
x x
x
=
⇔ + − = ⇔ 
= −
 2 2 (k )
2 4
x k x kpi pipi pi= + ⇔ = + ∈
 
Ví dụ 10: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B, năm 2004) 
Giải phương trình 25sin 2 3(1 s inx)tanx x− = − (10) 
Giải. 
Điều kiện cos 0 s inx 1x ≠ ⇔ ≠ ± 
Khi đó: 
2 2
2
sin 3sin(10) 5sin 2 3(1 s inx) 5sin 2
1 sin 1 sin
x x
x x
x x
⇔ − = − ⇔ − =
− +
2
1
s inx (nhân do sinx 1)
2sin 3sin 2 0 2
s inx 2 (vô nghiê )
x x
m

= ≠ ±⇔ + − = ⇔

= −
2
6
s inx sin ( )
56 2
6
x k
k
x k
pi
pi
pi
pi
pi

= +
= ⇔ ∈

= +


 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 5 
Ví dụ 11: (khối A năm 2006) 
Giải phương trình 
( )6 62 os sin sin x cos
0
2 2sin
c x x x
x
+ −
=
−
 (11) 
Giải. 
Điều kiện 2s inx
2
≠ 
Phương trình đã cho tương đương với 
( )6 6 2
2
3 1
 2 sin os sin x cos 0 2 1 sin 2 sin 2 0
4 2
3sin 2 sin 2 4 0
sin 2 1
2 2 ,
2
,
4
x c x x x x
x x
x
x k k
x k k
pi
pi
pi
pi
 
+ − = ⇔ − − = 
 
⇔ + − =
⇔ =
⇔ = + ∈
⇔ = + ∈




Do điều kiện, nghiệm của phương trình là: 5 2 ,
4
x m m
pi
pi= + ∈
 
Ví dụ 12: Giải phương trình 2 23cot 2 2 sin (2 3 2)cosx x x+ = + (12) 
Giải. 
Điều kiện s inx 0 cos 1x≠ ⇔ ≠ ± 
Chia cả hai vế của phương trình cho 2sin x ta được: 
2
4 2
os cos3 2 2 (2 3 2)
sin sin
c x x
x x
+ = + (12.1) 
Đặt 2
cos
sin
x
t
x
= ta được phương trình 23 (2 3 2) 2 2 0t t− + + = 2
2 / 3
t
t
 =
⇔ 
=
• Với 2t = ta có 2 22
cos 2 cos 2(1 os ) 2 os cos 2 0
sin
x
x c x c x x
x
= ⇔ = − ⇔ + − = 
osx 2 (loai)
2 (k )2 4cos
2
c
x k
x
pi
pi
 = −
⇔ ⇔ = ± + ∈
=

 
• Với 2
3
t = ta có 2 22
cos 2 3cos 2(1 os ) 2 os 3cos 2 0
sin 3
x
x c x c x x
x
= ⇔ = − ⇔ + − = 
osx 2 (loai)
2 (k )1 3cos
2
c
x k
x
pi
pi
= −
⇔ ⇔ = ± + ∈
 =


 
Kết luận: Kết hợp đ/k được nghiệm của phương trình là 
2 ; 2 (k )
3 4
x k x kpi pipi pi= ± + = ± + ∈
 
Ví dụ 13: Giải phương trình 3tan t anx 1
4
x
pi 
− = − 
 
 (13) 
Giải. 
Đặt 
4 4
t x x t
pi pi
= − ⇔ = + . 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 6 
Khi đó (13) trở thành: 3 1 tantan tan 1 1
4 1 tan
t
t t
t
pi + 
= + − = − 
− 
 với cost 0≠ và tan 1t ≠ 
3 22 tantan tan (tan 1)(tan 2 tan 2) 0
1 tan
t
t t t t t
t
⇔ = ⇔ + − + =
−
 tan 0 tan 1t t⇔ = ∨ = − (nhận so điều kiện) 
 ⇔ , (k )
4
t k t kpipi pi= ∨ = − + ∈
 
Vậy nghiệm của phương trình (13) là: ; (k )
4
x k x kpi pi pi= + = ∈
 
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 
- Có dạng: a sin cosu b u c+ = (*) 
- Cách giải: Đ/k phương trình có nghiệm: 2 2 2a b c+ ≥ 
Cách 1: 
Chia cả hai vế của phương trình cho 2 2 0a b+ ≠ . Đặt 
2 2
cos
a
a b
α =
+
 và 
2 2
sin b
a b
α =
+
với [ ]0;2α pi∈ thì 
2 2
(*) os .s inu sin .cos cc u
a b
α α⇔ + =
+ 2 2
s in(u ) c
a b
α⇔ + =
+
Cách 2: 
+ Nếu 2u kpi pi= + là nghiệm của phương trình (*) thì a sin cosb c b cpi pi+ = ⇔ − = 
+ Nếu 2u kpi pi≠ + đặt tan
2
u
t = thì (*) trở thành: 
2
2 2
2 1
. .
1 1
t t
a b c
t t
−
+ =
+ +
2( ) 2 0b c t at c b⇔ + − + − = 
Giải phương trình trên tìm được nghiệm t. Từ tan
2
u
t = ta tìm được được u 
Ví dụ 15: Tìm 2 6;
5 7
x
pi pi 
∈ 
 
 thỏa mãn phương trình cos7 3 sin 7 2x x− = − (15) 
Giải. 
Chia cả hai vế phương trình (12) cho 2 ta được 1 3 2cos 7 sin 7
2 2 2
x x− = − 
2
sin cos7 os sin 7
6 6 2
x c x
pi pi
⇔ − = − 
 sin 7 sin
6 4
x
pi pi   
⇔ − = −   
   
54 2
84 7 ( , )
11 2
84 7
x k
k h
x h
pi pi
pi pi

= +
⇔ ∈

= +


 
Do 2 6;
5 7
x
pi pi 
∈ 
 
 nên ta phải có: 2 54 2 6
5 84 7 7
kpi pi pi pi≤ + ≤ hay 2 11 2 6 (k,h )
5 84 7 7
hpi pi pi pi≤ + ≤ ∈
 
 ⇒ k = 2, h = 1, h = 2 
Vậy 53 35 59; ;
84 84 84
x
pi pi pi 
∈ 
 
Ví dụ 16: Giải phương trình 33sin 3 3 os9 1 4sin 3x c x x− = + (16) 
Giải. 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 7 
 (13) ( )33sin 3 4sin 3 3 os9 1 sin 9 3 os9 1x x c x x c x⇔ − − = ⇔ − = 
1 3 1
sin 9 os9 sin 9 sin
2 2 2 3 6
x c x x
pi pi 
⇔ − = ⇔ − = 
 
29 2
3 6 18 9 ( )
7 29 2
3 6 54 9
x k x k
k
x k x k
pi pi pi pi
pi
pi pi pi pi
pi pi
 
− = + = + 
⇔ ⇔ ∈ 
 
− = − + = +
  

 
Ví dụ 17: Giải phương trình tan 3cot 4(s inx 3 cos )x x x− = + (17) 
Giải. 
Điều kiện 
s inx 0
sin 2 0
cosx 0
x
≠
⇔ ≠
≠
Khi đó: ( ) 2 2s inx cosx17 3 4(s inx 3 cos ) sin 3cos 4sin cos (s inx 3 cos )
cos sin
x x x x x x
x x
⇔ − = + ⇔ − = + 
s inx 3 cos
(s inx 3 cos )(s inx 3 cos 2sin 2 ) 0 1 3
s inx cos sin 2
2 2
x
x x x
x x
 = −
⇔ + − − = ⇔ 
− =
3tanx 3 tan
3
2 ( )
3
sin sin 2 4 23
9 3
x k
x k k
x x
x k
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi pi

= − +  
= − = −  
  ⇔ ⇔ = − − ∈
  
− =   
   = +


 
Kết hợp điều kiện được nghiệm của phương trình là: 
3
x kpi pi= − + ; 4 2
9 3
x kpi pi= + ( )k ∈
 
Ví dụ 18: Giải phương trình 4 4 1os sin
4 4
c x x
pi 
+ + = 
 
 (18) 
Giải. 
2
2 2 21 1 1(18) (1 os2 ) 1 os 2 (1 os2 ) (1 sin 2 ) 1
4 4 2 4
c x c x c x x
pi  
⇔ + + − + = ⇔⇔ + + + =  
  
1 3
os2 sin 2 1 os 2 os
4 42
c x x c x c
pi pi 
⇔ + = − ⇔ − = − = 
 
3 22 2 ( )
4 4
4
x k
x k k
x k
pi
pi
pi pi
pi
pi
pi

= +
⇔ − = ± + ⇔ ∈

= − +


 
3. Phương trình đối xứng đối với sinu và cosu 
- Có dạng: (s inu cos ) sin cosa u b u u c+ + = (*) 
- Cách giải: Đặt s inu cos 2 os
4
t u c u
pi 
= + = − 
 
 với điều kiện 2t ≤ 
2 1
sin cos
2
t
u u
−
⇒ = 
Thay vào PT (*) ta được phương trình: 2 2 ( 2 ) 0bt at b c+ − + = 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 8 
Giải phương trình trên tìm được t, rồi so với điều kiện 2t ≤ 
Giải phương trình cơ bản 2 os
4
c u t
pi 
− = 
 
 ta tìm được nghiệm của phương trình. 
Chú ý: Nếu phương trình có dạng: (s inu cos ) sin cosa u b u u c+ + = (**) 
 Thì đặt s inu-cos 2 sin
4
t u u
pi 
= = − 
 
 với điều kiện 2t ≤ 
2 1
sin cos
2
t
u u
+
⇒ = 
Ví dụ 19: Giải phương trình 2 3s inx sin os 0x c x+ + = (19) 
Giải. 
( ) ( ) ( )
( )( )
219 sin 1 s inx cos 1 sin 0
 1 sin s inx cos sin x cos 0
s inx 1 (1)
s inx cos sin x cos 0 (2)
x x x
x x x
x x
⇔ + + − =
⇔ + + − =
= −
⇔  + − =
• ( )(1) 2 
2
x k kpi pi⇔ = − + ∈
 
• Xét (2): Đặt s inx cos 2 os
4
t x c x
pi 
= + = − 
 
, điều kiện 2t ≤ , thì 
2 1
sin cos
2
t
x x
−
= 
Khi đó (2) trở thành: 
 ( )
2
2 1 21 0 2 1 0
2 1 2 
tt
t t t
t
 = −
−
− = ⇔ − − = ⇔ 
= + loaïi
Do đó: 
( )
2 2(2) 2 os 1 2 os 1 os os 1
4 4 2 2
 2 , 0 2
4
c x c x c c
x h h
pi pi ϕ ϕ
pi ϕ pi ϕ pi
    
⇔ − = − ⇔ − = − = = −           
⇔ = ± + ∈ < <

Ví dụ 20: Giải phương trình ( )3 223 1 s inx3 tan t anx+ 8cosos 4 2
x
x
c x
pi+  
− = − 
 
 (20) 
Giải. 
• Điều kiện: cos 0 s inx 1x ≠ ⇔ ≠ ± 
• Khi đó: ( ) ( ) ( )( ) ( )2 220 t anx 3tan 1 3 1 s inx 1 tan 4 1 os 4 1 s inx2x x c x
pi  
⇔ − + + + = + − = +  
  
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2
2
2
tan 3tan 1 1 s inx 3 1 tan 4 0
3 tan 1 t anx 1 s inx 0
3 tan 1 s inx cos sin x cos 0
3tan 1 (1)
s inx cos sin x cos 0 (2)
x x x
x
x x x
x
x x
⇔ − + + + − =
⇔ − + − =
⇔ − + + =
 =
⇔ 
+ + =
• ( ) 2 1 11 tan t anx 2 ,
3 3 6
x x k kpi pi⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + ∈
 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2