Luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Chuyên đề: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

VI ẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ 
- Giúp các bạn nắm vững về bài toán về viết phương trình tiếp tuyến. 
- Học sinh sẽ thành thạo trong các bài toán liên quan về tiếp tuyến 
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
Trong mục này ta chỉ trình bày ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán về tiếp xúc, nói riêng trong 
các bài toán liên quan đến tiếp tuyến. 
Để làm tốt được điều này ta cần chuẩn bị tốt các nội dung sau: 
a) Hiểu các công thức cơ bản sau: 0( )tta f x′= 
 0 0( )( )0y y f x x x′− = − 
b) Cần phân biệt rõ hai khái niệm 
- Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M nằm trên đường cong 
- Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M (có thể M không nằm trên đường cong) 
1.1. Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M nằm trên đường cong 
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y = 2x3 – 3x2. Biết rằng tiếp tuyến song song 
với đường thẳng y = 12x + 1 
Bài giải: Gọi hoành độ tiếp điểm là 0x . Khi đó ( )' 20 06 6tta y x x x= = − 0
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 12x + 1, nên 12tta = , 
hay - 20 06 6 12 ⇔x x− = 20 0 2 0x x− − = ⇔ 0
0
1
2
x
x
= −⎧⎨ =⎩
+ Nếu , khi đó tiếp tuyến phải trên có dạng : 0 1x = − 0 0( )( )0y y f x x x′− = − 
Áp dụng vào đây với 0x = - 1, 0 4y = − , '0 0( ) 12y f x′= = suy ra 
Trang 1 
 y – (– 4) = 12(x + 1) 
 hay y = 12x + 8 
+ Nếu , khi đó , 0 2x = 0 4y = − '0 12y = và tiếp tuyến có dạng 
 y + 4 = 12(x –2) 
 hay y = 12x – 28 
Trả lời: Có 2 tiếp tuyến phải tìm là y = 12x + 8 hoặc y = 12x – 28 
Nhận xét: Trước hết tìm tiếp điểm sau đó sử dụng công thức viết phương trình tiếp tuyến tại M nằm 
trên đường cong 
1.2. Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M không nằm trên đường cong 
Ví dụ: Cho đường cong y = 3x – 4x3 . Viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm 
M (1, 3) 
Bài giải: - Trước hết có nhận xét sau: Điểm M (1, 3) không nằm trên đường cong đã cho (vì khi x = 
1, thì y = - 1). Do vậy nếu ai “máy móc” áp dụng công thức 0 0( )( )0y y f x x x′− = − ở đây là sai 
- Khi giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường, người ta sử dụng mệnh đề sau: 
Mệnh đề: Hai đường y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại điểm M có hoành độ 0x nếu như hệ sau đây 
thoả mãn 
( )
( ) ( )
0 0
' '
0 0
( )f x g x
f x g x
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
Quay trở về bài toán của ta: Gọi tiếp tuyến cần tìm là y = ax + b. Vì tiếp tuyến đi qua M(1,3) nên ta 
có: 3 = a + b ⇒ b = 3 – a. Do đó tiếp tuyến phải tìm có dạng: y = ax + 3 – a 
Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm, ta có hệ sau: 
3
0 0 0
2
0
3 4 ax 3 (
3 12 (2)
1)x x a
x a
⎧ − = + −⎪⎨ − =⎪⎩
Thay (2) vào (1) ta đi đến phương trình sau để xác định 0x 
3
08 - 12
2
0x x = 0 
0
0
0
3
2
x
x
=⎡⎢⇔ ⎢ =⎣
- Nếu 0x = 0 ⇒ a = 3. Lúc này tiếp tuyến có dạng: y = 3x 
Trang 2 
- Nếu 0
3
2
x = ⇒ a = - 24. Bây giờ tiếp tuyến có dạng: y = –24x + 27 
Trả lời: Qua điểm M (1, 3) có hai tiếp tuyến y = 3x và y = - 24x + 27 
Ví dụ: Cho đường cong y = x3 + 2x2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong, biết rằng tiếp 
tuyến đi qua điểm M (1, 3) 
Bài giải: Hãy xem và bình luận lời giải sau: 
Vì điểm M (1, 3) nằm trên đường cong y = x3 + 2x2. Vậy áp dụng công thức và phương trình tiếp 
tuyến đã học, ta có: 0 0( )( )0y y f x x x′− = − (ở đây 0x = 1, 0y = 3, = 7) ' 20 0 0( ) 3 4y f x x x′= = + 0
y – 3 = 7(x – 1) hay y = 7x - 4 
Lời giải trên sẽ là đúng, nếu đầu bài viết là: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M (1, 3) nằm trên 
đường cong 
Tuy nhiên lời giải đó là chưa đúng với yêu cầu của đầu bài (đòi hỏi tiếp tuyến đi qua M(1,3). Lời 
giải đúng như sau : 
Tiếp tuyến phải tìm có dạng y = ax + b, trong đó 3 = a + b (do tiếp tuyến đi qua M (1, 3). Vậy y = 
ax + 3 – a là dạng của tiếp tuyến. 
Gọi 0x là hoành độ của tiếp điểm và ta có hệ sau: 
3 2
0 0 0
2
0 0
2 3
3 4 (2)
(1)x x ax a
x x a
⎧ + = + −⎪⎨ + =⎪⎩
Thay (2) vào (1) và có phương trình sau: ( )20 0( 1) 2 3x x− + = 0 
- Nếu 0x - 1 = 0⇒ 0x = 1 ⇒ a = 7. Lúc này tiếp điểm có dạng y = 7x – 4 
- Nếu 0x = 
3
2
− ⇒ a = 3
4
. Lúc này tiếp tuyến có dạng : y = 3 9
4 4
x + 
Như thế qua điểm M (1, 3) có hai tiếp tuyến với đường cong đã cho: 
y = 7x – 4 và y = 3 9
4 4
x + 
Nhận xét: Vì M (1, 3) nằm trên đường cong nên tiếp tuyến đi qua M có hai loại 
1) Tại M: Đó là y = 7x – 4 
2) Đi qua M mà không tại M: Đó là y = 3 9
4 4
x + 
Trang 3 
Vì lẽ đó mặc dầu nếu M nằm trên đường cong, nhưng nếu đầu bài đòi hỏi: Viết phương trình tiếp 
tuyến đi qua M thì phải giải theo phương pháp sử dụng mệnh đề cơ bản về sự tiếp xúc, nếu máy 
móc áp dụng công thức y - 0y = (
'
0y 0x x− ) thì sẽ mất nghiệm. 
Ta có thể hình dung dễ dàng sự kiện này bằng hình ảnh trực giác sau: 
Trên hình vẽ cho điểm M nằm trên đường cong y = f(x). Có hai tiếp tuyến 
- 1y = ax + b là tiếp tuyến với y = f(x) tại M 
- 2y = cx + d là tiếp tuyến với y = f(x) đi qua M nhưng không tại M. 
Như vậy trong thí dụ trên qua M có hai tiếp tuyến với y = f(x) (mặc dù M nằm trên đường cong) 
1.3. Lớp các bài toán về sự tiếp xúc rất đa dạng. 
Có thể liệt kê ra đây các loại bài toán thông dụng nhất 
1. Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc với nhau (được xét riêng bài sau) 
2. Bài toán về tiếp tuyến xuất phát từ một điểm 
3. Bài toán về tiếp tuyến chung 
4. Các bài toán định tính về tiếp tuyến. 
Xin đưa ra vài ví dụ mẫu. 
Ví dụ: Cho hai đường cong y = x2 – 5x + 6 và y = x3 + 3x – 10. Viết phương trình tiếp tuyến chung. 
Bài giải: Gọi y = ax + b là tiếp tuyến chung. Gọi 0x và 1x tương ứng là các tiếp điểm của tiếp tuyến 
với y = x2 – 5x + 6 và y = x3 + 3x – 10 
Theo mệnh đề cơ bản về tiếp tuyến ta có hệ phương trình sau (có 4 ẩn là a, b, 0 1,x x ) 
2
0 0 0
0
3
1 1 1
2
1
5 6 (1)
2 5 (2
3 10 ax (3)
3 3 (4
x x ax b
x a
x x b
x a
⎧ − + = +⎪ − =⎪⎪⎨ + − = +⎪⎪ + =⎪⎩
)
)
Từ (2) và (4) suy ra: 2 0x - 5 = 
2
13x + 3 hay 0x = 
2
13
2
x 8+ (5) 
Từ (1) và (2) ta có: b = ⇒ b = 6 - 20 0 0 05 6 (2 5)x x x x− + − − 20x (6) 
Trang 4 
Thay (5), (6) và (2) vào (3) ta có: 31 13 10x x+ − = ( )21 13 3x x+ + 6 - ( )
22
13 8
4
x +
⇔ 3 21 18 9 48 1x x− − x = 0 = 0 ⇔ 2 21 1 1(9 8x 48)x x − + ⇔ = 0 1x
Vì thế từ (4) có a = 3, rồi từ (5) suy ra 0x = 4. Từ đó theo (6) đi đến b = - 10 
Tóm lại hai đường cong đã cho có duy nhất một tiếp tuyến chung. Đó là đường y = 3x – 10 
III. CỦNG CỐ KIẾN THỨC 
Bài 1. (Đại học, cao đẳng khối B – Năm 2004) 
Cho hàm số y = 3 21 2 3
3
x x− + x ( C) 
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng Δ Δ là tiếp tuyến của (C) có 
hệ số góc bé nhất. 
Bài giải: 'y = x2 – 4x + 3 , ''y = 2x – 4 
''y = 0 khi x = 2 và đạo hàm ''y đổi dấu khi qua x = 2. 
 Vậy (C) có điểm uốn tại: A 22,
3
⎛⎜⎝ ⎠
⎞⎟ . Khi x = 2 thì 'y = - 1 
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn là: y - 2
3
 = - (x – 2) hay y = - x + 8
3
Ta có = -1 (1) tta
Hệ số góc của một tiếp tuyến bất kỳ tại điểm M (có hoành độ x) nằm trên (C) là: 
k = 'y (x) = x2 – 4x + 3. Ta có k = (x – 2)2 – 1 - 1 (2) ≥
Từ (2) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc bé nhất ⇒ đpcm 
Bài 2. (Đại học, cao đẳng khối D – Năm 2005) 
Gọi ( ) là đồ thị của hàm số y = mC
3 21
3 2
mx x 1
3
− + , m là tham số 
Gọi M là điểm thuộc ( ) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của ( ) tại điểm M 
song song với đường thẳng 5x – y = 0 
mC mC
Trang 5 
Bài giải: y = 3 21 1
3 2
mx x− + '
3
 ⇒ y = x2 – mx tiếp tuyến với ( ) tại M có hệ số góc mC
tta = y (- 1) = 1 + m 
Tiếp tuyến này có phương trình y - 0y = (
'
0y 0x x− ) 
(ở đây 0x = - 1 = = 1 + m và 
'
oy⇒ tta 0y = - 2
m ) 
Vậy y + 
2
m = (1 + m)(x + 1) hay y = (m + 1)x + 2m
m
+ 
Đường tiếp tuyến này song song với đường 5x – y = 0 (tức y = 5x), nếu 
1 5
2 0
m
m
+ =⎧⎨ + ≠⎩ 4m⇔ = 
Vậy có duy nhất giá trị cần tìm của m là m = 4 
Chú ý: Hai đường thẳng y = và y = 1a x b+ 1 22a x b+ song song với nhau khi và chỉ khi 1 2
1 2
a a
b b
=⎧⎨ ≠⎩
Vì lý do ấy nếu không có thêm điều kiện m + 2 0≠ thì lời giải của học sinh chưa hoàn chỉnh. 
Bài 3. (Đại học, cao đẳng khối B – Năm 2006) 
Cho hàm số y = 
2 1
2
x x
x
+ −
+ (C) 
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này vuông góc với tiệm cận xiên của 
(C) 
Bài giải: Ta có a = 
2
2
( ) 1lim lim
2x x
f x x x
x x x→∞ →∞
+ −= + = 1 
 b = 
2
2
1lim ( ( ) ax) = lim
2x x
x xf x x
x x→∞ →∞
⎛ ⎞+ −− −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
 = 1lim
2x
x
x→∞
− −
+ = - 1 
Vậy (C) có tiệm cận xiên là: y = x - 1 
Dễ thấy 'y = ( )
2
2
4 3
2
x x
x
+ +
+
. 
Trang 6 
Vì tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên y = x - 1 nên = -1 tta
Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) thì : = tta ( )
2
'
0 2
4 3( )
2
x xy x
x
+ +=
+
Ta có phương trình: ( )
2
0
2
0
4 3 1
2
x x
x
+ + = −
+
 ⇔ 0
0
22
2
2x 2
2
x
⎡ = − +⎢⎢⎢ = − −⎢⎣
- Khi 0
22
2
x = − + 0 3 2 32y⇒ = − . 
Lúc này tiếp tuyến có dạng: 2 2 5y x= − + − 
- Tương tự khi 0
2x 2
2
= − − thì tiếp tuyến là 2 2 5y x= − − − 
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: 2 2 5y x= − + − và 2 2 5y x= − − − 
IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 1.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y = 
2 9x
x
− , biết rằng nó đi qua điểm M(1,8). 
Đáp số: y = 2x + 6 và y = 50x – 42 
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y = x4 – 4x2, biết rằng nó đi qua điểm M(2, 0) 
Đáp số: y = o, y = 16x – 32 và y = 32 64
27 27
x − 
Bài 3. Tìm m để đường cong y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx – 8 tiếp xúc với trục hoành 
Đáp số: m = 35
27
, m = 1, m = 4 + 2 6 và m = 4 - 2 6 
Bài 4*. Cho đường cong y = x3 – 3x + 2 (C). Tìm điểm M trên đường thẳng y = - 2, sao cho từ M có 
thể vẽ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau 
Đáp số: M 55 , 2
27
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Trang 7 
Bài 5. Cho đường cong y = x2 – 5x + 6. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong biết rằng nó 
song song với đường thẳng y = 3x + 1 
Bài 6. Cho y = x2 – 5x + 6 và điểm M (5, 5). Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua M 
Bài 7. Cho y = x2 – 3x và y = - 2x2 + 5x. Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường cong. 
Trang 8