Luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Chuyên đề: Khảo sát hàm số

a phương trình 
4 28 os 9 os 0c x c x m− + = với [0; ]x pi∈ . 
Giải. 
2. Xét phương trình 4 28 os 9 os 0c x c x m− + = với [0; ]x pi∈ (1) 
Đặt osxt c= , phương trình (1) trở thành: 4 28 9 0 (2)t t m− + = 
Vì [0; ]x pi∈ nên [ 1;1]t ∈ − , giữa x và t cĩ sự tương ứng một đối một, do đĩ số nghiệm của phương trình 
(1) và (2) bằng nhau. 
Ta cĩ: 4 2(2) 8 9 1 1 (3)t t m⇔ − + = − 
Gọi (C1): 4 28 9 1y t t= − + với [ 1;1]t ∈ − và (D): y = 1 – m. 
Phương trình (3) là phương trình hồnh độ giao điểm của (C1) và (D). 
Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền 1 1t− ≤ ≤ . 
Dựa vào đồ thị ta cĩ kết luận sau: 
• 
81
32
m > : Phương trình đã cho vơ nghiệm. 
x 
y 
0 
1 
−2 
−1 
2 
1 
• 
• 
• • 
−1 
3 
• 
(d) 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
WWW.GiaitoanOnline.Com 44
• 
81
32
m = : Phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm. 
• 
811
32
m≤ < : Phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm. 
• 0 1m< < : Phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm. 
• 0m = : Phương trình đã cho cĩ 1 nghiệm. 
• m < 0 : Phương trình đã cho vơ nghiệm. 
VD7 : 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x3 – 3x2 + 2 
 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 2 2
1
m
x x
x
− − =
−
Giải. 
2. Ta cĩ ( )2 22 2 2 2 1 11
m
x x x x x m,x .
x
− − = ⇔ − − − = ≠
−
 Do đĩ số nghiệm của phương trình bằng số 
giao điểm của ( ) ( )2 2 2 1y x x x , C'= − − − và đường thẳng 1y m,x .= ≠ 
 Vẽ ( ) ( )( )
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x f x khi x
>
= − − − = 
− <
 nên ( )C' bao gồm: 
 + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng 1x .= 
 + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng 1x = qua Ox. 
Dựa vào đồ thị ta cĩ: 
+ 2m :< − Phương trình vụ nghiệm; 
+ 2m := − Phương trình cĩ 2 nghiệm kép; 
+ 2 0m :− < < Phương trình cĩ 4 nghiệm phân biệt; 
+ 0m :≥ Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt. 
VD8: Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3. 
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hịanh tại một điểm duy nhất. 
Giải. 
. 
 2.Pt : x3 + mx + 2 = 0 
x
xm
22
−−=⇒ ( x )0≠ 
 Xét f(x) = 22
22)('2
x
xxf
x
x +−=⇒−− = 2
3 22
x
x +−
 Ta cĩ x - ∞ 0 1 + ∞ 
 f’(x) + + 0 - 
 f(x) + ∞ -3 
 - ∞ - ∞ - ∞ 
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hịanh tại một điểm duy nhất 3−>⇔ m . 
VD9 : Cho hàm số : 3 3y x m x( – ) –= (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1. 
 2) Tìm k để hệ bất phương trình sau cĩ nghiệm: 
3
2 3
2 2
1 3 0
1 1log log ( 1) 1
2 3

− − − <


+ − ≤

x x k
x x
Giải. 
1+ 3 1- 3 
- 2 
m 
1 2 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
WWW.GiaitoanOnline.Com 45
2. Ta cĩ : 
x k
x x
3
2 3
2 2
3 3x 0 (1)
1 1log log ( 1) 1 (2)
2 3

− − − <


+ − ≤

 . Điều kiện (2) cĩ nghĩa: x > 1. 
 Từ (2) ⇔ x(x – 1)≤ 2 ⇔ 1 < x ≤ 2. 
 Hệ PT cĩ nghiệm ⇔ (1) cĩ nghiệm thoả 1 < x ≤ 2 
 ⇔ 
x k x k
x x
3 3( 1) 3x 0 ( 1) 3x < 
1 2 1 2
 
− − − < − −
⇔ 
< ≤ < ≤ 
 Đặt: f(x) = (x – 1)3 – 3x và g(x) = k (d). Dựa vào đồ thị (C) ⇒ (1) cĩ nghiệm x ∈(1;2] ⇔ 
(1;2min ( ) (2) 5k f x f
≥ = = − . Vậy hệ cĩ nghiệm ⇔ k > – 5 
BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số 
nghiệm của phương trình: 
 a) 3 33 1; 3 1 0y x x x x m= − + − + − = b) 3 33 1; 3 1 0y x x x x m= − + − − + + = 
 c) 3 3 23 1; 3 2 2 0y x x x x m m= − + − − − − = d) 3 33 1; 3 4 0y x x x x m= − + − − + + = 
 e) 
4
2 4 22 2; 4 4 2 0
2
x
y x x x m= − + + − − + = f) 4 2 4 22 2; 2 2 0y x x x x m= − + − − + = 
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số 
nghiệm của phương trình: 
 a) 
2
25 7 ; ( 5) 3 7 0
3
x x
y x m x m
x
− +
= − + + + =
−
 b) 
2
22 4 2 ; 2 2( 2) 3 2 0
2 3
x x
y x m x m
x
− +
= − + − + =
+
 c) 
2
21; ( 1) 2 1 0xy m x x
x
+
= − + − = 
 d) 
2
22 4 ; 2( 1) 4( 1) 0
2 4
x x
y x m x m
x
− +
= − + + + =
−
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số 
nghiệm của phương trình: 
 a) 
2
22 ; 2sin 2 cos 2 0 (0 )
2 1
x
y m m
x
= + − − = ≤ ≤
−
α α α pi 
 b) 
22 3 ; cos2 ( 3)cos 2 1 0 (0 )
2
x x
y m m
x
−
= − + + + = ≤ ≤
−
α α α pi 
 c) 
2
23 3; cos (3 )cos 3 2 0 (0 )
2
x x
y m m
x
+ +
= + − + − = ≤ ≤
+
α α α pi 
 d) 3 2 3 23 6; cos 3cos 6 0y x x x x m= − + − + − = 
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số 
nghiệm của phương trình: 
 a) 
2 5 7 ; 2 (3 7)2 5
3
t tx xy m m
x
−
− +
= + + = +
−
 b) 
2 1; 2 ( 1)2 1
1
t tx xy m m
x
−
+ −
= + − = −
−
WWW.GiaitoanOnline.Com 
WWW.GiaitoanOnline.Com 46
 c) 
2
22 5 4 ; 2 (5 ) 4 0
1
t tx xy e m e m
x
− +
= − + + + =
−
 d) 
2
25 4 ; (5 ) 4 0t tx xy e m e
x
− +
= − + + = 
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T). Dùng đồ 
thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 a) 
2 2 23 6 3 6 3 6( ) : ; ( ) : ; 2 0
1 1 1
x x x x x x
C y T y m
x x x
− + − + − +
= = − =
− − −
 b) 
2 2 25 4 5 4 5 4( ) : ; ( ) : ; 2 0x x x x x xC y T y m
x x x
− + − + − +
= = − + = 
 c) 3 2 3 2 3 2( ) : 3 6; ( ) : 3 6 ; 3 6 3 0C y x x T y x x x x m= − + = − + − + − + = 
 d) 
3 33 2 2 2( ) : 2 9 12 4; ( ) : 2 9 12 4; 2 9 12 0C y x x x T y x x x x x x m= − + − = − + − − + + = 
 e) 2 2 2 2( ) : ( 1) (2 ); ( ) : ( 1) 2 ;( 1) 2 ( 1) (2 )C y x x T y x x x x m m= + − = + − + − = + − 
 f) 
2 2
21 1( ) : ; ( ) : ; ( 1) 2 1 0x xC y T y m x x
x x
+ +
= = − + − = 
Bài 6. Cho hàm số 2( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 3 0x y− = . 
 c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình: 
 23 ( 2) 2 0x m x m− + + + = 
Bài 7. Cho hàm số 1( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 2 0x y− = . 
 c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 22 ( 1) 1 0x m x m− + + + = 
Bài 8. Cho hàm số 
2
( )
1
x
y f x
x
= =
−
. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1). 
 c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 2(1 ) (1 ) 1 0m x m x− − − + = 
BÀI 9: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến 
với đồ thị (C) của hàm số tại điểm ( )0 0 0; ( )M x f x . 
 Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( )0 0 0; ( )M x f x là: 
 y – y0 = f ′(x0).(x – x0) (y0 = f(x0)) 
2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình 
sau có nghiệm: 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
WWW.GiaitoanOnline.Com 47
 ( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
 =

=
 (*) 
 Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 
3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì 
 (C1) và (C2) tiếp xúc nhau ⇔ phương trình 2ax bx c px q+ + = + có nghiệm kép. 
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) 
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y =f(x) tại điểm ( )0 0 0;M x y : 
 • Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). 
 Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0. 
 • Tính y′ = f′ (x). Suy ra y′(x0) = f′ (x0). 
 • Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y – y0 = f′ (x0).(x – x0) 
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y =f(x), biết ∆ có hệ số góc k cho trước. 
 Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. 
 • Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f′ (x0). 
 • ∆ có hệ số góc k ⇒ f′ (x0) = k (1) 
 • Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của ∆. 
 Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. 
 • Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m. 
 • ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
 ( )
'( )
f x kx m
f x k
 = +

=
 (*) 
 • Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của ∆. 
 Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau: 
 + ∆ tạo với chiều dương trục hoành góc α thì k = tanα 
 + ∆ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a 
 + ∆ vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) thì k = 1
a
− 
 + ∆ tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc α thì tan
1
k a
ka
−
=
+
α 
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f(x), biết ∆ đi qua điểm ( ; )A AA x y . 
 Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. 
 • Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y′0 = f′ (x0). 
 • Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y – y0 = f′ (x0).(x – x0) 
 • ∆ đi qua ( ; )A AA x y nên: yA – y0 = f′ (x0).(xA – x0) (2) 
 • Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của ∆. 
 Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. 
 • Phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( ; )A AA x y và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) 
 • ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
( ) ( )
'( )
A Af x k x x y
f x k
 = − +

=
 (*) 
 • Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆. 
VD1 : Cho hs 13 23 ++= xxy (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến: 
a) tại M(-1 ;3) 
b) tại M cĩ hồnh độ là 2 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
WWW.GiaitoanOnline.Com 48
c) tại M cĩ tung độ là 1 
d) tại giao điểm (C) với trục tung. 
e) Cĩ hệ số gĩc là 9 
f) Song song với đường thẳng (d): 05327 =+− yx 
g) Vuơng gĩc với đường