Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường đại học năm học 2009-2010
Mục lục
Lời nói đầu iii
Lời cảm ơn v
I Đề toán và lời giải 1
1 Số học 3
1.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Phương trình, hệ phương trình 15
2.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Bất đẳng thức và cực trị 27
3.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Phương trình hàm và đa thức 45
4.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Hình học 61
5.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Tổ hợp 73
6.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
II Một số bài giảng toán 91
7 Giải phương trình hàm bằng cách lập phương trình 93
8 Dãy truy hồi loại un+1 = f(un) 99
9 Các định lý tồn tại trong giải tích và định lý cơ bản của đại số 105
o a. (3) Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc củaC xuốngMN khi M chạy trên AB. 5.3. Cho đường tròn (O) và hai điểm biên B, C sao cho B, C không phải là đường kính. Điểm A chuyển động trên cung lớn BC (khác B,C). GọiM là trung điểm cạnh AB và N là hình chiếu vuông góc củaM lên AC. Cho trước số thực a khác 1 và gọi K là điểm chia đoạn HN theo tỉ số a, với H là trung điểm cạnh BC. Vẽ đường thẳng d qua K và vuông góc với HN. Chứng minh rằng d luôn tiếp xúc với một đường cong cố định. 61 v n m a t h . c o m 62 Trần Nam Dũng (chủ biên) 5.4. Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại M và không vuông góc với nhau. Dựng parabol tiếp xúc a tại A và tiếp xúc b tại B, với A, B là hai điểm cho trước thuộc a, b. 5.5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. D, E, F lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho tam giác DEF vuông cân tại D. Tìm tập hợp trung điểm I của EF. 5.6. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V. Diện tích các tam giác ABC, ABD lần lượt là S1, S2. Gọi x là số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). M là một điểm thuộc cạnhCD sao cho khoảng cách từM đến hai mặt phẳng (ABC)và (ABD) bằng nhau. (a) Chứng minh rằng V = 2S1S2 sinx 3AB và CM DM = S1 S2 . (b) Tính diện tích tam giác AMB theo V, S1, S2, x. 5.7. Cho KL và KN là các tiếp tuyến của đường tròn (C), với L, N thuộc (C). Lấy M bất kì trên đường thẳng KN (M, K khác phía so với N). Giả sử (C) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KLM tại điểm thứ hai là P. Q là chân đường vuông góc hạ từ N xuống ML. Chứng minh rằng ∠MPQ= 2∠KML. 5.8. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Đường tròn (O) đi qua A, B cắt đoạn AH tại K. Điểm L thuộc đoạn AB sao cho KL ‖ AC. Gọi E = BK∩CL. Đường thẳng AE cắt lại (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng ∠AFL= ∠BAC. 5.9. Cho tam giác ABC. Dựng các điểm X , Y sao cho hai tam giác ABX , ACY đồng dạng ngược hướng. Dựng các điểm T, K sao cho các tam giác BXA, BTC, KXY đồng dạng cùng hướng. Chứng minh rằng hai tam giác BTC và KXY có chung tâm đường tròn ngoại tiếp. 5.10. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H trên cạnh AC,M là trung điểm HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD. v n m a t h . c o m Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 63 5.11. Tam giác ABC (AB > AC) nội tiếp (O). Phân giác ngoài tại A cắt (O) tại E. Gọi F là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh rằng 2AF = AB−AC. 5.12. Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Gọi a, b, c, d theo thứ tự là phân giác ngoài của các góc ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA. K = a∩b, L= b∩ c,M = b∩d, N = d∩a. Chứng minh rằng tứ giác KLMN nội tiếp một đường tròn và đường tròn đó có bán kính bằng KM ·LN AB+BC+CD+DA . 5.13. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA0, BB0,CC0 đồng quy tạiH. Các điểm A1, A2 thuộc (O) sao cho đường tròn ngoại tiếp các tam giác A1B0C0, A2B0C0 tiếp xúc với (O). Tương tự ta có các điểm B1, B2 và các điểmC1,C2. Chứng minh rằng các đường thẳng A1A2, B1B2,C1C2 đồng quy tại một điểm thuộc OH. 5.14. Cho tam giác nhọn ABC có trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL tại đỉnh A (với M, L lần lượt thuộc các cạng AB, BC). Đặt AC = b, AB= c. (a) Chứng minh rằng −→ AL= b b+ c −→ AB+ c c+b −→ AC. (b) Giả sửCM = k ·AL, k > 0. Chứng minh rằng cosA= 9−4k2 9+4k2 . 5.15. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh CB và CD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho BE BC = k và DF DC = 1− k 1+ k , với 0 < k< 1. Đoạn thẳng BD cắt AE và AF tại H và G tương ứng. Đường vuông góc với EF kẻ từ A cắt BD tại P. Chứng minh rằng PG PH = DG BH . v n m a t h . c o m 64 Trần Nam Dũng (chủ biên) 5.16. Trong mặt phẳng (P)cho điểm O cố định và dlà đường thẳng quay quanh O. Lấy S ngoài (P)có hình chiếu vuông góc trên (P) là H, với H 6≡ O. Qua S dựng đường vuông góc với mặt phẳng xác định bởi S và d. Đường thẳng này cắt (P) tại N. Tìm quỹ tích điểm N khi d thay đổi. 5.17. Cho đường tròn tâm O và một dây cung AB cố định không là đường kính. Một điểm P thay đổi trên cung lớn AB. Gọi I là trung điểm của AB. Lấy các điểm M, N trên các tia PA, PB tương ứng sao cho ∠PMI = ∠PNI = ∠APB. (a) Chứng minh đường cao kẻ từ đỉnh P của tam giác PMN đi qua một điểm cố định. (b) Chứng minh rằng đường thẳng Euler của tam giác PMN đi qua một điểm cố định. 5.18. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I, I1, I2, I3 là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp các góc A, B, C tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác II2I3 cắt (O) tại hai điểm M1, N1. Gọi J1 là giao điểm của AI và (O). Kí hiệu d1 là đường thẳng đi qua J1 và vuông góc với M1N1. Tương tự xác định các đường thẳng d2, d3. Chứng minh các đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy tại một điểm. v n m a t h . c o m Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 65 5.2 Lời giải Bài 5.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D là một điểm trên đoạn BC, đường tròn (P) tiếp xúc với DC, DA tại E, F và tiếp xúc trong với (O) tại K. Chứng minh rằng E, F, I thẳng hàng. (Đại học Vinh) Bài 5.2. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Với M là một điểm thuộc cạnh AB, chọn điểm N thuộc cạnh D′C′ sao cho AM+D′N = a. (1) Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. (2) Tính thể tích chóp B′.A′MCN theo a. Xác định vị trí củaM để khoảng cách từ B′ tới mặt phẳng (A′MCN) đạt giá trị lớn nhất. Tính khoảng cách lớn nhất đó theo a. (3) Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc củaC xuống MN khi M chạy trên AB. (Hà Nội) Bài 5.3. Cho đường tròn (O) và hai điểm biên B, C sao cho B, C không phải là đường kính. Điểm A chuyển động trên cung lớn BC (khác B, C). Gọi M là trung điểm cạnh AB và N là hình chiếu vuông góc của M lên AC. Cho trước số thực a khác 1 và gọi K là điểm chia đoạn HN theo tỉ số a, với H là trung điểm cạnh BC. Vẽ đường thẳng d qua K và vuông góc với HN. Chứng minh rằng d luôn tiếp xúc với một đường cong cố định. (Đại học Khoa học tự nhiên) Bài 5.4. Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại M và không vuông góc với nhau. Dựng parabol tiếp xúc a tại A và tiếp xúc b tại B, với A, B là hai điểm cho trước thuộc a, b. (Đại học Khoa học tự nhiên) Bài 5.5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. D, E, F lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho tam giác DEF vuông cân tại D. Tìm tập hợp trung điểm I của EF. (Bắc Ninh) v n m a t h . c o m 66 Trần Nam Dũng (chủ biên) Bài 5.6. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V. Diện tích các tam giác ABC, ABD lần lượt là S1, S2. Gọi x là số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). M là một điểm thuộc cạnhCD sao cho khoảng cách từM đến hai mặt phẳng (ABC)và (ABD) bằng nhau. (a) Chứng minh rằng V = 2S1S2 sinx 3AB và CM DM = S1 S2 . (b) Tính diện tích tam giác AMB theo V, S1, S2, x. (Ninh Bình) Bài 5.7. Cho KL và KN là các tiếp tuyến của đường tròn (C), với L, N thuộc (C). LấyM bất kì trên đường thẳng KN (M, K khác phía so với N). Giả sử (C) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KLM tại điểm thứ hai là P. Q là chân đường vuông góc hạ từ N xuống ML. Chứng minh rằng ∠MPQ= 2∠KML. (Hải Phòng) Lời giải. v n m a t h . c o m Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 67 Gọi P′ ≡MP∩ (O), P′ 6= P và Q′ ≡ ON∩ML. Khi ấy, ta có MN2 =MQ ·MQ′ =MP ·MP′, suy ra PQQ′P′ là tứ giác nội tiếp. Vì vậy ∠MPQ = ∠P′Q′M. Ta đi chứng minh LP′ ‖MK. Thật vậy, ta có (PM, PN)≡ (LP′, LN)≡ (PL, PN)− (PL, PM)≡ (NL, NK)+(KN, KL) ≡ (LN, LK)≡ (NK, NL)≡ (MK, NL) (mod pi), nên LP′ ‖MK. Dẫn đến ON ⊥ P′L, suy ra OQ′ ⊥ P′L. Nhưng O ∈ đường trung trực của LP′, vì vậy Q′ ∈ đường trung trực của LP′, theo đó ta được ∠P′Q′M = 2 ·∠Q′LP′ ≡ 2 ·∠MLP′ = 2 ·∠KML (do LP′ ‖MK), suy ra ∠MPQ= 2 ·∠KML. Đó là điều phải chứng minh. Bài 5.8. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Đường tròn (O) đi qua A, B cắt đoạn AH tại K. Điểm L thuộc đoạn AB sao cho KL ‖ AC. Gọi E = BK ∩CL. Đường thẳng AE cắt lại (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng ∠AFL= ∠BAC. Bài 5.9. Cho tam giác ABC. Dựng các điểm X , Y sao cho hai tam giác ABX , ACY đồng dạng ngược hướng. Dựng các điểm T, K sao cho các tam giác BXA, BTC, KXY đồng dạng cùng hướng. Chứng minh rằng hai tam giác BTC và KXY có chung tâm đường tròn ngoại tiếp. (Đại học Sư phạm) Bài 5.10. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H trên cạnh AC, M là trung điểm HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD. (Đồng Nai) Lời giải. Gọi K là hình chiếu của B lên AC. Khi ấy ta có HD ‖ BK, lại có H là trung điểm của BC dẫn đến D là trung điểm của KC. Qua B, A, vẽ các tia By, Ax. Khi ấy, ta thu được (AH, AD, AM, Ax) = (BC, BK, BD, By) = −1. Nhưng dễ thấy, AH, AD, Ax lần lượt vuông góc với BC, BK, By. Suy ra AM ⊥ BD. Đó là điều phải chứng minh. v n m a t h . c o m 68 Trần Nam Dũng (chủ biên) Bài 5.11. Tam giác ABC (AB> AC) nội tiếp (O). Phân giác ngoài tại A cắt (O) tại E. Gọi F là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh rằng 2AF = AB−AC. (Đồng Nai) Bài 5.12. Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Gọi a, b, c, d theo thứ tự là phân giác ngoài của các góc ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA. K = a∩ b, L = b∩ c, M = b∩ d, N = d ∩ a. Chứng minh rằng tứ giác KLMN nội tiếp một đường tròn và đường tròn đó có bán kính bằng KM ·LN AB+BC+CD+DA . (Đại học Sư phạm) Bài 5.13. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA0, BB0,CC0 đồng quy tại H. Các điểm A1, A2 thuộc (O) sao cho đường tròn ngoại tiếp các tam giác A1B0C0, A2B0C0 tiếp xúc với (O). Tương tự ta có các điểm B1, B2 và các điểm C1, C2. Chứng minh rằng các đường thẳng A1A2, B1B2, C1C2 đồng quy tại một điểm thuộc OH. (Đại học Sư phạm) Lời giải. v n m a t h . c o m Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 69 Gọi (Oa) và (O′a) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác 4A1B0C0 và 4A2B0C0. Gọi ta và t ′a lần lượt là các tiếp tuyến chung tại A1 và A2 của (Oa) và (O′a) với (O). Kí hiệu ([BC]) ám chỉ đường t
File đính kèm:
- DethiHSG2010.pdf