Kiến thức cơ bản và nâng cao về hàm số mũ logarit - Giải tích lớp 12

a/ a() (KQ: a3 )
b/(). ( KQ: a2)
d/ (KQ: |x-y|)
Vaán ñeà 2: Ñôn giaûn moät bieåu thöùc
Baøi 1: Giaûn öôùc bieåu thöùc sau
	a) A = 	b) B = vôùi b £ 0	
 c) C = (a > 0)	
	d) E = vôùi x > 0, y > 0	
	e ) F = 	vôùi x = vaø a > 0 , b > 0 
	f) G = Vôùi x = vaø a > 0 , b > 0
	g) J = vôùi 0 < a ¹ 1, 3/2
	h) 	i) 
	j) 	
 k) 
Vaán ñeà 3: Chöùng minh moät ñaúng thöùc	
Baøi 1 chöùng minh : vôùi 1£ x £ 2	
Baøi 2 chöùng minh : 
Baøi 3: chöùng minh: vôùi 0 < a < x
Baøi 4 chöùng minh: 
	Vôùi x > 0 , y > 0, x ¹ y , x ¹ - y
Baøi 5: Chöùng minh raèng 
BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỨA
I/Tóm tắt lý thuyết:
 1. khái niệm.
“Hàm số y = xa, với a Î R, được gọi là hàm số luỹ thừa.”
* Chú ý :
 + Với a nguyên dương, tập xác định là R.
 + Với a nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R\{0}
 + Với a không nguyên, TXĐ D = (0; + ¥)
2. đạo hàm của hàm số luỹ thừa.
Hàm số y = , có đạo hàm với mọi x > 0 ta có :
II/ BÀI TẬP:
Bài 1.Tìm tập xát định của hàm số
a/ y = b/ c/ y =(x2 – 1) – 2 
d/ y = e/ y = 	 f/ y = g/ y = h/ y = i/ y = 	
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số.
 a/ y = b/ y = c/ y = d/ y = với a > 0 , b > 0 e/ y = f/ y = 
g) h/ y= (x3+x + 1)p i) 
Bài 3.khảo sát và vẽ đồ tị hàm số:
a) b/ 
Bài 4 so sánh các số.
a/ (3,1)7,2 (0,2 )0,3
a/ y = b/ y = c/ y = d/ y = với a > 0 , b > 0 e/ y = f/ y = 
Baøi 3: LOGARIT
I/ I/Tóm tắt lý thuyết:
 1/ Định nghĩa Logarit: 
a = logaN Û aa = N logax = b Û x= ab
2/ Tính chất: loga1 = 0; logaa=1; = x ; log = x 
3/ Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ¹ 1 ta có:
 · log(B.C) = logB + logC · log = logB - logC ·loga = logB
4/ Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ¹ 1 ta có :
loga.logb = b Û 
Hệ quả:
0 0 thì log = logb
Chú ý : log10x = lg x ; logx = ln x 
II/ BÀI TẬP:
Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit
Bài 1	 Tính logarit của một số
 A = log24	 B= log1/44	 C = 	 D = log279 E = 	F = 
G = 	H= I = J= L = 
Bài 2 : Tính luỹ thừa của logarit của một số
	A = 	B = 	 C = 	 D = 
	E = 	F = 	 G = 	H = 
I = J = K=. 	 L=M=
Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức
Bài 12: Rút gọn biểu thức
	A = 	B = 	
 C = 	D = 
	E = 	 F = 	
 G = H = 
 I = 	
Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức logarit
Bai 1: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghĩa)
	a) 	b) 
	c) cho x, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy
	Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2
	d) cho 0 0 
	Chứng minh: log ax . 
	Từ đó giải phương trình log3x.log9x = 2
	e) cho a, b > 0 và a2 + b2 = 7ab chứng minh: 
Vấn đề 4: Tính logarit của một số theo một số loga rit cho trước:
Bài 1: 
a/ Biết log153 = a. Tính log2515 theo a?
b/ Biểu diễn log41250 theo a=log25
c/ Biểu diễn theo a=log315 và b=log310.
d/Biết lg2 = a, lg3 = b. Tính lg theo a và b	
e/. Tính theo a nếu 
f/. Tính theo a nếu 
g/. Tính theo a và b nếu và 
Baøi 4: HAØM SOÁ MUÕ HAØM SOÁ LOGARIT
I/Tóm tắt lý thuyết:
 1/ Hàm số mũ:
ĐN: Hàm số mũ là hàm số cho bởi biểu thức y = với a > 0 ; a ¹ 1 
TXÐ : D = R 	TGT : (0; +¥ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 Û > 
+ 0 x2 Û < 
Đạo hàm của các hàm số mũ 
(ex) / = ex 	 ( eu)/ = u/.eu
( ax) / = ax.lna 	 ( au)/ = u/.au.lna
2/ Hàm số Logarit: 
 ĐN: Hàm số logarít là hàm số cho bởi biểu thức y = logx với a > 0 ; a ¹ 1 
TXÐ : D = (0 ; +¥ )	MGT : T= R 
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 Û logx1 > logx2 
+ 0 x2 > 0 Û logx1 <logx2 
 · (lnx) / = (x>0)	· (ln½x½)/ = (x≠0) · (logax) / = (x>0) · (loga) / = (x≠0) 
 · (lnu)/ = (u>0) · (ln½u½)/ = (u≠0) · (logau )/ = (u>0) · (loga) / = (u≠0) 
Đạo hàm của các hàm số logrit
II/ BÀI TẬP:
Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số
Bài 1: tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y = 	b) y = log3(2 – x)2	c) y = 
d) y = log3|x – 2|	e)y = 	f) y = 
g) y = 	h) y = 	i) y= lg( x2 +3x +2)
Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 1: tính đạo hàm của các hàm số mũ 
a) y = x.ex 	b) y = x7.ex	c) y = (x – 3)ex 	d) y = ex.sin3x
e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex)	g) y = cos( )	h) y = 44x – 1
i) y = 32x + 5. e-x + 	j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x	k) y = 
Bài 2 : Tính đạo hàm các hàm số sau
a/ y = ( x + 1)ex b/ y = x2 c/ y = d/ y = e/ y = 3x3 + 2x sinx g/ y = 
Bài 3 . Tìm đạo hàm của các hàm số logarit
a) y = x.lnx	b) y = x2lnx - c) ln( )	d) y = log3(x2- 1)
e) y = ln2(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3)
Bài 4 . Tính đạo hàm các hàm số sau
a/ y = ( x + 1)lnx b/ y = x2 lnx2 c/ y = d/ y = e/ y = 3x3 + sinx . g/ y = 
Vấn đề 3: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số mũ và loga:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a/ y= lnx– x b/ y= e-xcosx trên c/ f(x) = x – e2x trên đoạn [-1 ; 0]
Bài 2: Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất :y =f(x)= lg2x + 
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2; 0].
(Đề thi TN THPT năm 2009)
Baøi 5: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
1/ Một số phương pháp giải phương trình mũ và loga:
· Dạng cơ bản:
= Û f(x) = g(x) 
= 1 Û ( u -1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )
= b ( với b > 0 ) Û f(x) = logb
logf(x) = logg(x) Û
dạng: Û f(x) = 
 = b Û 
· Đặt ẩn phụ : 
a. +b. + g = 0 ; Đặt : t = Đk t > 0
 a.+b.+ g = 0 ; Đặt : t = Đk t > 0
a.+b.+ g = 0 và a.b = 1; Đặt: t = ;=
a.+b.+ g. = 0 ; Đặt t = 
· Logarit hoá hai vế :
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
	a./ 	b./ 
	Giải:	 
a./ 	 
	b./ 
Bài 2: Giải các phương trình sau
	a./ 	b./ 
Giải: 
	a./ 
	b./ 
Bài 3: Giải các phương trình sau
	a./ 	b./ 
	c./ 
Giải: 
	a./ 
	Đặt t = 5x, t >0 ta có phương trình: t2 – 2t – 15= 0
	b./ 	
 c./ 
	Đặt , ta có 
Bài 4: Giải các phương trình sau:
	a./ 	b./ 
	Giải:
	a./ (1)
	ĐK: 
	b./ (1) 	ĐK: x>0
	x=3>0 thỏa điều kiện . Vậy phương trình có nghiệm là x=3
Bài 5: Giải các phương trình sau:
	a./ 	b./ 
	c./ 	d./ 
Giải:
	Thỏa điều kiện x>0 . Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 và x=1/4
	b./ (1)
	ĐK:
	Đặt: , ta có : 
	 thỏa (*)
	Vậy phương trình có nghiệm là : x = 3 và x = 5/4.
	c./ (1)
	ĐK: x>0 (*)
	Đặt: t= lgx , ta có: thỏa (*)
	Vậy phương trình có nghiệm là: x = 10 và x = 107
	d./ 
	ĐK: (*)
	Đặt: , ta có: . Thỏa (*)
Vậy phương trình có nghiệm là x=2.
B/ Bài tập tự giải: 
 Vaán ñeà 1: Phöông trình muõ
Daïng 1. Ñöa veà cuøng cô soá 
Baøi 1 : Giaûi aùc phöông trình sau 
a) 	b) 	 c) 
d) 	e) 52x + 1 – 3. 52x -1 = 110 f) 
f) 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2	 g) (1,25)1 – x = 
Daïng 2. ñaët aån phuï 
Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình
a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12	b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0 c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 	
d) e) 	 f) 
g) 	 i) 
j) k/ l/ .
Daïng 3. Logarit hoùaï 
Baøi 3 Giaûi caùc phöông trình
	a) 2x - 2 = 3	b) 3x + 1 = 5x – 2	 c) 3x – 3 = 
	d) 	e) f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x
Daïng 4. söû duïng tính ñôn ñieäu 
Baøi 4: giaûi caùc phöông trình
	a) 3x + 4 x = 5x	b) 3x – 12x = 4x	c) 1 + 3x/2 = 2x
Vaán ñeà 2: Phöông trình logarit
Daïng 1. Ñöa veà cuøng cô soá 
Baøi 5: giaûi caùc phöông trình
a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log4x + log2x + 2log16x = 5	 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0
e) log3x = log9(4x + 5) + ½ 	 f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2
g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)	
h) 
Daïng 2. ñaët aån phuï 
Baøi 6: giaûi phöông trình 
a) 	b) logx2 + log2x = 5/2 
c) logx + 17 + log9x7 = 0	d) log2x + 
e) log1/3x + 5/2 = logx3	f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x
g) 	h) 
Daïng 3 muõ hoùa 
Baøi 7: giaûi caùc phöông trình
a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x)	b) log3(3x – 8) = 2 – x
Baøi 6: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
I/Một số phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit
· Dạng cơ bản :
10 > Û 
20 > b Û Nếu b £ 0 có nghiệm "x
	 Nếu b > 0 f(x) > logb nếu a > 1
	 f(x) < logb nếu 0 < a < 1 
 30 < b Û Nếu b £ 0 thì pt vô nghiệm
	 Nếu b > 0 ; f(x) 1
	 f(x) > logb nếu 0 < a < 1 
·logf(x) > logg(x) Û Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ¹ 1
 (a-1)[ f(x) - g(x) ] > 0 
·logf(x) > b 	Û * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > 
	 * Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < 
·logf(x) 1 : bpt là 0 < f(x) < 	 
 * Nếu 0 
·> 1 Û u(x) > 0 và [ u(x) -1 ].v(x) > 0 
· 0 và [ u(x) -1 ].v(x) < 0 
Lưu ý: 
 *) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dang hơn.
10 > ó (a-1)(f(x) - g(x)) > 0.
20 logf(x) > logg(x) ó (a-1)(f(x) - g(x)) > 0.
 *) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên.
 *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau
	a./ 	b./ 
	c./ 
	Giải:
	a./ (1)
	ĐK: 
	Kết hợp với ĐK (*) ta có nghiệm là : 
	b./ (1)
	ĐK: 
	Kết hợp với ĐK (*) ta có nghiệm: 	
	c./ (1)
	ĐK: 
	Kết hợp với ĐK (*) ta có nghiệm là: 2 < x < 5. 
Bài 2: Giải các bất phương trình sau: 
	a./ 	b./ 
	c./ 
	Giải: 
	a./ (1)
	ĐK: x >0	Đặt : . Ta có bất PT: 
Kết hợp ĐK ta có nghiệm là 
b./ (1)
ĐK: (*)
Đặt : ta có : 
. Kết hợp ĐK (*) ta có nghiệm là : 
c./ (1)
ĐK: x >0 (*)
Đặt . Ta có 
Kết hợp ĐK (*). Ta có nghiệm là 
Bài 3: Giải các bất phương trình sau
	Giải:
a./ 
	b./ 
	c./ 
	 (1)
	Ta có 
	Vậy (1)
Bài 4: Giải các bất phương trình sau
	Giải: 
	Đặt . Ta có: 
	Đặt . Ta được: 
	Chia hai vế cho ta được: 
Đặt t = >0 ta được : 
B/ Bài tập tự giải: 
 Vaán ñeà 1: Baát Phöông trình muõ
Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình
a) 16x – 4 ≥ 8	 b) 	c) d) 	 e) 
f) g/ 	i/ j/
 k/ l/ 
Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình
a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17	 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3	 c) d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x 	 
e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x h/ 	
i) j/ 	k/ l) 52x + 2 > 3. 5x 
Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình
 a) 3x +1 > 5	 b) (