Khai thác 73 nội dung từ một bài toán hình học

ng thời có OQ 
// SA VÀ PQ // SB  ( OPQ ) // ( SAB) mà BC  ( SAB ) (câu 1)  BC  ( OPQ). 
12) AB  AD ( gt hv), AB  SA ( SA  ( ABCD)  AB  ( SAD) 
 OQ và OM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và ABC nên đồng thời có 
OQ // SA VÀ OM // BC//AD  ( OMQ ) // ( SAD) lại có AB  ( SAD) ( cmt)  AB  ( OMQ) 
13) AD  AB ( gt hv), AD  SA ( SA  ( ABCD)  AD  ( SAB) 
 OQ và ON lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và ABD nên đồng thời có OQ 
// SA VÀ ON//AB  ( ONQ ) // ( SAB) lại có AD  ( SAB) ( cmt)  AB  ( OMQ) 
14) SC  ( AHK) ( câu 5))  A,H,I,K đồng phẳng  ( AHIK)  SC  SC  IH . 
Trong mp (SBC) có HI  SC, BJ  SC  BJ // HI, lại có BD // HK  ( JBD) // ( AHIK), ta lại 
có ( AHIK)  SC ( cmt) nên SC (JBD). 
B. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 
1) BC  SB 2) CD  SD 3) BD  SO 4) BD  SC 5) AH  SC 
6) AK  SC 7) AI  HK 8) DJ  SC 
1) BC  (SAB) ( câu 1 phần A), SB  (SAB)  BC  SB. 
2) CD  (SAD) ( câu 2 phần A), SD  (SAD)  CD  SD. 
3) BD  (SAC) ( câu 6 phần A), SO  (SAC)  BD  SO 
4) BD  (SAC) ( câu 6 phần A), SC  (SAC)  BD  SC 
5) AH  (SBC) ( câu 3 phần A), SC  (SBC)  AH  SC 
6) AK  (SCD) ( câu 4 phần A), SC  (SCD)  AK  SC 
7) AI  ( SAC) , HK  ( SAC ) ( câu 8 phần A)  HK  AI 
8) SC  ( JDB) ( câu 14 phần A), DJ  ( JDB)  DJ  SC. 
C. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 
1) (SBC)  ( SAB) 2) (SCD)  ( SAD) 3) (AHK)  (SBC) 4) (AHK)  ( SCD) 5) (SBD)  (SAC) 
6) (AHK) (SAC) 7) (OQM) (SAB) 8) (OQN) (SAD) 9) (OPQ)  ( (SBC) 10) (SAC)  ( JBD) 
11) (SBC) ( JBD) 12) (SCD) (JBD) 
1) BC  (SAB) ( câu 1 phần A), BC  (SBC)  (SBC) (SAB) 
2) CD  (SAD) ( câu 2 phần A), CD  (SCD)  (SCD) (SAD) 
3) AH  (SBC) ( câu 3 phần A), AH  (AHK)  (AHK) (SBC) 
4) AK  (SCD) ( câu 4 phần A), AK  (AHK)  (AHK) (SCD) 
5) BD  (SAC) ( câu 6 phần A), BD  (SBD)  (SBD) (SAC) 
www.vnmath.com 
www.vnmath.com 
4 
6) SC  (AHK) ( câu 5 phần A), SC  (SAC)  (AHK) (SAC) 
7) OM  ( SAB) ( câu 9 phần A), OM  (OQM ) (OQM) ( SAB). 
8) ON  ( SAD)( câu 10 phần A), ON  (ONQ) ( ONQ)  (SAD). 
9) BC  ( OPQ)( câu 11 phần A) , BC  (SBC)  ( OPQ)  (SBC). 
10) SC  ( JBD)( câu 14 phần A) , SC  (SAC)  ( SAC)  (JBD) 
11) SC  ( JBD)( câu 14 phần A) , SC  (SBC)  ( SBC)  (JBD). 
12) SC  ( JBD)( câu 14 phần A) , SC  (SCD)  ( SCD)  (JBD). 
D. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng 
1) C; (SAB) 2) C; (SAD) 3) A; (SBC) 4) A; (SCD) 5) A; (SBD) 
6) O; (SAB) 7) O; (SAD) 8) O; (SBC) 9) O; (SCD) 10) S; (AHK) 
11) S; (JBD) 12) Q; (ABCD) 
1) CB  ( SAB) ( câu 1 phần A)  d( C,(SAB) = CB = a. 
2) CD  ( SAD) ( câu 2 phần A)  d( ,(SAD) = CD = a. 
3) AH  ( SBC) ( câu 3 phần A)  d( A,(SBC) = AH. 
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 4 3
23 3
aAH
AH SA AB AH a a a
        
4) AK  ( SCD) ( câu 4 phần A)  d( A,(SCD) = AK 
5) (SAC) ( SBD) (câu 5 phần C.) (SAC)  ( SBD) = SO , hạ AE  SO  AE  (SBD) 
 SAO vuông tại A nên có 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 7
3 3AE SA AO a a a
      
d( A,(SBD) = AE = 
21
7
a
6)OM  (SAB) ( câu 9 phần A)  d( O,(SAB) ) = OM = 
2
a
7)ON  (SAD) ( câu 10 phần A)  d( O,(SAB) ) = ON = 
2
a
8)(OPQ)  ( (SBC) ( câu 9 phần C), (OPQ)  ( (SBC) = PQ, OPQ vuông tại O nên hạ AF  PQ thì AF  
(SBC)  d( O,( SBC) ) = AF. 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 4 16 3
4AF 3 3
aAF
OP OQ a a a
       , 
9)Dễ thấy d( O,(SCD) = d( O,(SBC) = 3
4
a
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 4 3
23 3
aAK
AK SA AD AH a a a
       
www.vnmath.com 
www.vnmath.com 
5
10)  Câu 1 phần A có được BC  (SAB)  ( SBC)  (SAB) mà ( SAB)  (SBC ) = SB. Trong mặt 
phẳng ( SAB) có AH  SB  ( SAB)  ( SBC)  AH  SC. 
  Câu 2 phần A có được CD  (SAD)  ( SCD)  (SAD) mà ( SAD)  (SCD ) = SD. Trong mặt 
phẳng ( SAD) có AK  SD  ( SAD)  ( SCD)  AK  SC. 
 AK  ( AHK) 
  SC  AK, SC  AI  SC ( AKI)  SC  ( AHK ) = I  d( S, (AHK) ) = SI 
  Tam giác SBC vuông tại B, tam giác SHI vuông tại I, hai tam giác này đồng dạng 
 Tính toán SB = 2 2 2SA AB a  , SC = 2 2 2 23 2 5SA AC a a a    
 *)SH.SB = 2SA  SH = 
2 23 3
2 2
SA a a
SB a
  
 *) SIH SBC nên ta có 
3 .2. 3 52
55
a aSI SH SH SB aSI
SB SC SC a
     
Vậy d( S,(AHK) = 3 5
5
a
11)Tính d(S,(JBD)? 
 SJBSBC nên có 
2 24 4 5
55
SB a aSJ
SC a
   
12) OQ là đường trung bình của  SAC nên OQ = 1
2
SA a 
E. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng 
1) A; SC 2) O; SC 3)O;SB 4)O;SD 5) 
1) Ta có AI  SC (gt)  SAC vuông tại A nên hạ AI SC 
 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
3 2 6AI SA AC a a a
     
Vậy d( A,SC) = AI = 30
5
a
2) Vì O là trung điểm AC nên d( O,SC ) = 1 30OJ ( , )
2 10
ad A SC= = 
3) SO =
2
2 2 5
2
aSA AO 
2
2
2
aOB   d(O,SB) = 
2 2
OS. 15
6
OB a
SO OB
=
+
4) d(O,CD) = d(O,SB) = 15
6
a 
F. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng 
1) AD; SC 2) AB; SC 3) BC; SA 4) CD; SA 5) AB; SO 
6) CD; SO 7) BC; SD 8) AD; SB 
www.vnmath.com 
www.vnmath.com 
6 
1) AD// BC (gt hình vuông) (SBC) //AD  d( AD,SC) = d( A , (SBC)) = AH = 3
2
a= ( Câu 3 
phần A) 
2) AB // CD  (SCD) // AB  d( AB,SC) = d( A, (SCD)) = AK = 3
2
a 
3) AB  SA,AB  BC nên d( BC,SA) = AB = a 
4) AD  SA,AD  CD nên d( CD,SA) = AD = a 
5) NP//AB SO  ( SNP) //AB  d( AB,SO) = d( A, ( SNP)) 
 Hạ AN’ SN ,NP // CD mà DC  (SAD) nên NP  ( SAD)  AN’ NP  AN’  (SNP) 
  d( AB,SO) = d( A, ( SNP) = AN’ 
  Tính 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 13
' 3 3AN SA AN a a a
= + = + =  AN= 39
3
a 
 6)Hạ DD’  SN  DD’ // AN’ nên DND’ =  ANN’  DD’ = AN’ 
  d( CD,SO ) = DD’ = AN’ = 39
3
a 
7)BC//AD  BC // ( SAD ) chứa SD d( BC,SD ) = d( BC,(SAD) = d( C,(SAD) ) = CD = a. 
8)AD// BC (gt hình vuông) (SBC) //AD  d( AD,SB) = d( A , (SBC)) = AH = 3
2
a= ( Câu 3 
phần A) 
G. Tính góc giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng 
1) SB; (ABCD) 2) SC; (ABCD) 3) SD; (ABCD) 4) SO; (ABCD) 5) SC; (SAB) 
6) SC;( SAD) 7)SO;(SAB) 8)SO;(SAD) 9) SA;(SCD) 10)SA;(SBC) 
1) SA  (ABCD) (gt)  AB là hình chiếu của SB trên ( ABCD)  ·( ,( ))SB ABCD = 
· · · 0tan 3 60SASBA SBA SBA
AB
Þ = = Þ = 
2) SA  (ABCD) (gt)  AC là hình chiếu của SC trên ( ABCD)  ·( ,( ))SC ABCD = 
· ·
0
6tan
2
SASCA SCA
AC
Þ = = 
3) SA  (ABCD) (gt)  AD là hình chiếu của SD trên ( ABCD)  ·( ,( ))SD ABCD = 
· · · 0tan 3 60SASDA SDA SDA
AD
Þ = = Þ = 
4) SA  (ABCD) (gt)  AO là hình chiếu của SO trên ( ABCD)  ·( ,( ))SO ABCD = 
· ·tan 6SASOA SOA a
AO
Þ = = 
5) BC  ( SAB)  SB là hình chiếu của SC trên ( SAB)  · · ·( ,( )) ( ,SC SAB SC SB CSB= = 
· 1tan
2 2
BC aCSB
SB a
= = = 
www.vnmath.com 
www.vnmath.com 
7
6) CD  ( SAD)  SD là hình chiếu của SC trên ( SAD)  · · ·( ,( )) ( , )SC SAD SC SD CSD= = 
· 1tan
2 2
CD aCSB
SD a
= = = 
7) OM  ( SAB)  SM là hình chiếu của SO trên ( SAB)  · · ·( ,( )) ( , )SO SAB SO SM OSM= = 
·tan OMOSM
SM
= , OM = 
2
a ,SM = 
2
2 2 2 133
4 2
a aSA AM a+ = + = 
8)ON  ( SAD)  SN là hình chiếu của SO trên ( SAD)  · · ·( ,( )) ( , )SO SAD SO SN OSN= = 
·tan ONOSN
SN
= , OM = 
2
a ,SN= 
2
2 2 2 133
4 2
a aSA AN a+ = + = 
9) AK  ( SCD)  SK là hình chiếu của SA trên ( SCD)  · · ·( ,( )) ( , )SA SCD SA AK ASK= = 
·tan AKASK
SK
= , SK= 3
2
a ,AK = 3
2
a · · 01tan 30
3
AKASK ASK
SK
Þ = = Þ = 
10) AH  ( SBC)  SH là hình chiếu của SA trên ( SBC)  · · ·( ,( )) ( , )SA SBC SA AH ASH= = 
·tan AHASH
SH
= , SH= 3
2
a ,AH = 3
2
a · · 01tan 30
3
AHASH ASH
SH
Þ = = Þ = 
H. Tính góc giữa 2 mặt phẳng 
1) (SBC); (ABCD) 2) (SCD); (ABCD) 3) (SBD); (ABCD) 4) (SBC); (SAB) 5) (SCD); (SAD) 
6) (SCD); (SAB) 7) (SBC); (SCD) 8) (SBD); (SCD) 9) (SBD); (SBC) 
1)  (SBC)  (ABCD) = BC ,BC AB ( gt hv) (1) 
BC SA(do SA  ( ABCD) ,BC AB ( gthv)  BC  (SAB)  BC  SB (2) 
 Từ (1) và (2) ta có   (( ), ( )) ( , )SBC ABCD AB SB SBA  và tan   03 60SASBA SBA
AB
    
2)  (SCD)  (ABCD) = CD ,CD AD ( gt hv) (1) 
CD SA(do SA  ( ABCD) ,CD AD ( gthv)  CD  (SAD)  CD  SD (2) 
 Từ (1) và (2) ta có   (( ), ( )) ( , )SCD ABCD AD SD SDA  và tan   03 60SASDA SDA
AD
    
3)  (SBD)  (ABCD) = BD ,BD AC ( gt hv) (1) 
  SAB = SAD ( c.g.c)   SBD cân tại S và O là trung điểm BD  SO  BD (2) 
 Từ (1) và (2) ta có   (( ), ( )) ( , )SBD ABCD AO SO SOA  và tan  6SASDA
AO
  
4)  SA ( ABCD)  SA  BC, BC AB  BC  ( SAB) . Lại có BC  ( SBC)  ( SBC)  ( 
SAB) hay  0(( ), ( )) 90SAB SBC  . 
5)  SA ( ABCD)  SA  CD, CD AB  CD  ( SAD) . Lại có CD  ( SCD)  ( SCD)  ( 
SAD) hay  0(( ), ( )) 90SAD SCD  . 
6)  SA ( ABCD)  SA  CD, CD AB  CD  ( SAD) . 
Lại có AK SD, AK  CD(do CD (SAD)) AK  ( SCD) (1) 
 SA ( ABCD)  SA  AD, AD AB  AD  ( SAB)(2) 
www.vnmath.com 
www.vnmath.com 
8 
 Từ (1) và (2) ta có   (( ), ( )) ( , )SCD SAB AD AK DAK  và do 
  0 0tan 3 60 30SDA SDA DAK     
7) Ta đã có (SBC)  ( SCD) = SC , SC  ( JBD) (cmt)    (( ), ( )) 2SBC SCD BJD BJO  
*) Tam giác OBJ vuông tại J có tan  15
3
OBBJO
JO
  . 
8) AK ( (SCD), AE  ( (SBD)    (( ), ( )) ( , )SCD SBD AK AE EAK  , cos  2 7
7
AEEAK
AK
  
9) AH ( (SBC), AE  ( (SBD)    (( ), ( )) ( , )SBC SBD AH AE EAH  , cos  2 7
7
AEEAH
AH
  
K.Các câu hỏi mang tính tổng hợp 
Bài 1:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. SA (ABCD), SA = 3a . 
Gọi H, I, K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. 
Chứng minh rằng 
1) AH,AK,AI cùng nằm trên một mặt phẳng. 
2) Tứ giác AKIH có hai đường chéo vuông góc 
3)Tính diện tích thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC 
4) Tính thể tích khối chóp S.AKIH 
5)Tính diện tích thiết diện cắt bởi hình chóp và mặt phẳng đi qua BD và vuông góc với SC tại J. 
6) Tính thể tích khối chóp S.BDJ 
7) Gọi G là giao điểm của BN và AC.Tính thể tích khối chóp QAGB. 
8)Tính thể tích tứ diện C.JDB 
Bài giải: 
1)Trong phần A từ câu 1),2