Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp - Đại học môn Toán - Chuyên đề: Cực trị của hàm số

 Cực trị của hàm số
Tóm tắt kiến thức cần nhớ:
1.ĐIều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Hàm số y =f(x) có đạo hàm tại xo và đạt cực trị tại xo ị f '(xo) = 0.
2.ĐIều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
ĐL1:Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) có chứa xo và có đạo hàm trên các khoảng (a;xo) và (xo;b)
 f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đI qua xo ị hàm số đạt cực tiểu tại xo.
x
a xo b 
f '(x)
 - +
f(x)
 f(xo)
 (ct)
 f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đI qua xo ị hàm số đạt cực đại tại xo.
x
a xo b
f '(x)
 + -
f(x)
 f(xo)
 (cđ)
ĐL2:Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 1trên khoảng (a;b) chứa đIểm xo,
f '(xo) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại đIểm xo .
 f ''(xo) < 0 ị hàm số đạt cực đại tại xo.
 f ''(xo) >0 ị hàm số đạt cực tiểu tại xo.
VD1.áp dụng qui tắc 1,tìm cực trị của mỗi hàm số sau
a. y = -x3 + 3x2 - 6 b. y = -x4 + 8x2 - 7
c. c. y = - x3 + 3x2 - 4x +4
d. y = -x4 - 2x2 +3 e. 
VD2.áp dụng qui tắc 2,tìm cực trị của mỗi hàm số sau:
a.y =x + cos x + b.y = 2sinx + sin2x
c.y = 2sinx +cos2x, xẻ[0;p] d. y = ,xẻ[0;4p]
Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị
BàI 1.Tìm m để hàm số y = x3 - (m+3)x2+mx+5 đạt cực tiểu tại x=2
BàI 2.Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=2
BàI 3.Tìm m để hàm số y=x3/3+mx2+(m+6)x-(2m-1) có cực đại và cực tiểu
BàI 4.Tìm m để hàm số y=(m+2)x3+3x2+mx-5 có cực đại và cực tiểu
BàI 5.Cho hàm số y=x4-2mx2+2m+m4 (Cm).Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểu đồng thời các đIểm cực đại ,cực tiểu lập thành tam giác đều.
BàI 6.Tìm m để hàm số y=mx4+(m-1)x2+(1-2m) chỉ có đúng một cực trị.
BàI 7.Xác định m để hàm số có cực đại ,cực tiểu.
BàI 8.Xác định m để hàm số không có cực trị.
BàI 9.Tìm m để đồ thị hàm số y=x3-3mx2+(m2+2m-3)x+4 có cực đại ,cực tiểu nằm ở về hai phía của trục tung.
BàI 10. Tìm m để hàm số có hai cực trị trong miền x>0
BàI 11.Tìm m để đồ thị hàm sốsau có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy
BàI 12.Tìm m để hàm số có hai cực trị tráI dấu nhau.
BàI 13. Tìm m để hàm số có hai cực trị tráI dấu nhau.
BàI 14.Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểu cùng dấu.
BàI 15.Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểu cùng dấu.
BàI 16.Cho hàm số: y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m +1)x +1
CMR với mọi m hàm số luôn đạt cực trị tại x1,x2 với x2 - x1 không phụ thuộc m 
BàI 17.Cho hàm số y = 2x3 + 3(m - 3)x2 +11 - 3m.Tìm m để hàm số có hai cực trị.Gọi M1,M2 là các đIểm cực trị,tìm m để M1,M2 và B(0;-1) thẳng hàng.
BàI 18.Cho hàm số y = 4x3 - mx2 - 3x + m.CMR với mọi m hàm số luôn có cực đại ,cực tiểu đồng thời CMR hoành độ cực đại và hoành độ cực tiểu luôn tráI dấu.
Dạng 2: Phương trình đường thẳng nối cực đại, cực tiểu 
1.Đối với hàm số .Gọi (x0,y0) là đIểm cực trị của đồ thị hàm số,đặt f(x) = ax2 + bx +c.Ta có
Vậy pt đường thẳng đI qua đIểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số là:
 y = 2mx0 + n +mp/q
2.Đối với hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx +d: Lấy f(x) chia cho f '(x) ta được
f(x) = f '(x).r(x) + mx +n, gọi (xo,y0) là đIểm cực trị của hàm số.Ta có
.Vậy đường thẳng đI qua đIểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số là: y = mx + n.
BàI 1. Cho hàm số y = x3 - 3(m+1)x2 +2(m2 + 7m +2)x - 2m(m+2).Tìm m để đồ thị hàm số có CĐ,CT và viết phương trình đường thẳng đI qua đIểm CĐ,CT của đồ thị hàm số. 
BàI 2. Xác định m để hàm số có cực trị,khi đó viết ptđt qua cđ,ct của đồ thị hàm số. 
BàI 3.Cho hàm số .Tìm m để hàm số có cực trị.Tìm m để (yCĐ.yCT) nhỏ nhất.
BàI 4.Cho hàm số .Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểuvà khoảng cách từ hai đIểm CĐ,CT của đồ thị hàm số đến đường thẳng x + y + 2 =0 là bằng nhau.
BàI 5. Cho hàm số .Tìm m để hàm số có CĐ,CT nằm về hai phía của đường thẳng: 9x - 7y - 1 = 0.
BàI 6. Tìm m để hàm số có 
BàI 7.Cho hàm số: .Xác định m để hàm số có cực đại,cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
BàI 8.Cho hàm số y = x3 -2x2 + m2x + m.Xác định m để hàm số có cđ,ct và đIểm cđ,ct của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng .
BàI 9.Cho hàm số y = x3/3 - mx2 - x +m + 1.CMR với mọi m hàm số đã cho luôn có cđ,ct.Hãy xđ m để khoảng cách giữa các đIểm cđ,ct nhỏ nhất.
BàI 10.Cho hàm số: y = mx3 - 3mx2 + (2m + 1)x +3 - m.Xác định m để hàm số có cđ,ct.CMR khi đó đường thẳng nối cđ,ct luôn đI qua 1 đIểm cố địmh.
BàI 11.Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2a .Xác định a để cđ,ct của đồ thị hàm số ở về hai phía khác nhau của đường tròn: x2 + y2 - 2ax - 4ay + 5a2 - 1 = 0 
BàI 12.Cho hàm số .Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cđ,ct đồng thời yCĐ.yCT >0
BàI 13. Tìm m để hàm số có 
BàI 14.Xác định m để hàm số có cđ,ct đồng thời giá trị cđ và giá trị ct cùng dấu.
BàI 15.Cho hàm số Tìm m để hàm số có 1 cực trị