Hình không gian 11 – Quan hệ song song

t diện là hình gì? 
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AND) và (PBC). 
 Hướng dẫn: 
a) Ta áp dụng tính chất:”Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai 
đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với 
hai đường thẳng đó” 
Ta có:  
 
MN AC
MNQ MN
ACD AC



 

với 
 
 
Q MNQ
Q ACD



 (MNQ)  (ACD) = Qx thì 
Qx // MN // AC. Trong mp(ACD) gọi P = Qx  AD  P = AD  
(MNQ). Tứ giác MNQP là thiết diện của tứ diện ABCD với mp(MNQ). 
MNQP là hình bình hành vì MN // PQ và MN = PQ = 1
2
AC. 
b) Ta có N  BC  N  (PBC)  N  (PBC)  (AND) Ta có P  AD  P  (AND)  P  (AND)  
(PBC)  NP = (AND)  (PBC). 
6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm 
AD, BC. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. 
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG). 
b) Xác định thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với 
AB và CD để thiết diện là hình bình hành. 
 Hướng dẫn: 
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ SONG SONG. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 12 
a) Ta có:  
 
IJ AB
IJG IJ
SAB AB



 

Với G  (IJG)  (SAB) 
 (IJG)  SAB) = Gx thì Gx // IJ // AB 
Trong mp(SAB) gọi B = Gx  SB và A = Gx  SA  
AB = (SAB)  (IJG) 
b) ABJI là thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là 
hình thang vì có AB // IJ. 
Để ABJI là hình bình hành khi AB = IJ. SAB có G là trọng tâm nên 
' ' ' 2
3
SB A B
SB AB
   AB= IJ = 2
3
AB = 1
2
(AB + CD)  4AB = 3AB + 3CD  AB = 3CD 
7) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC và P là điểm thuộc đoạn BD. 
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và (ABD) 
b) Gọi Q là giao điểm của AD với mặt phẳng (MNP). Xác định vị trí P để MNPQ là hình bình hành. 
c) Trong trường hợp MQ và NP cắt nhau tại I, hãy xác định giao tuyến của hai mp (MNP) và (ABI). 
 Hướng dẫn: 
a) Ta có:  
 
MN AB
MNP MN
ABD AB



 

, Với P  (MNP)  (ABD)  
Px = (MNP)  (ABD) thì Px // MN // AB. Trong 
mp(ABD) gọi Q = Px  AD  PQ = (MNQ)  (ABD) 
b) MNPQ là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNP). 
MNPQ là hình thang vì MN // PQ. Để MNPQ là hình bình 
hành khi MN = PQ = 1
2
AB  P là trung điểm BD. 
c) Ta có:  
 
MN AB
MNP MN
ABI AB



 

, Với I  (MNP)  (ABI), gọi d qua I và d // AB // MN thì d = (MNP)  (ABI) 
8) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên 
BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD 
a) Chứng minh PQ // SA; 
b) Gọi K= MN  PQ. Chứng minh K nằm trên một đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC. 
 Hướng dẫn: 
a) DQ CM CN DP
DA CB CS DS
   , Theo Talét đảo  PQ // SA 
b) (SAD)  (SBC) = Sx  Sx // BC // AD. Ta có K = MN  
PQ 
 
 
 
 
maø
MN SBC K SBCK MN
K PQ PQ SAD K SAD
      
     
 K  Sx hay K  SJ với SJCB là hình bình hành. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ SONG SONG. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 13 
§3. ĐƯỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG SONG SONG. 
1) ĐỊNH NGHĨA: 
 Đường thẳng a và mặt phẳng () gọi là song song với nhau 
nếu chúng không có điểm chung. 
Ta có: a // ()  a  () =  
2) TÍNH CHẤT: 
ĐL1:Nếu đường thẳng d không 
nằm trên mp(P) và song song 
với đường thẳng a nằm trên 
mp(P) thì đường thẳng d song 
song với mp(P) 
( )
/ / / /( )
( )
d P
d a d P
a P



 
d
a
(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song 
song với mp(P) thì mọi mp(Q) 
chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo 
giao tuyến song song với a. 
/ /( )
( ) / /
( ) ( )
a P
a Q d a
P Q d


 
  
 d
a
(Q)
(P)
HQ: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau 
cùng song song với một đường 
thẳng thì giao tuyến của chúng 
song song với đường thẳng đó. 
( ) ( )
( ) / / / /
( ) / /
P Q d
P a d a
Q a
 




a
d
Q
P
ĐL3: Hai đường thẳng chéo 
nhau có duy nhất một mặt phẳng 
chứa đường thẳng này song song 
đường thẳng kia. 
!( )
( ) / /
 cheùo 
P a
a b
P b
 
 

b
a
b'P 
3) CÁC DẠNG TOÁN: 
a) Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng song song với một đường 
thẳng nào đó có trong mặt phẳng. 
 1Vd Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD và I là điểm 
tuỳ ý trên NP. Chứng minh MI // mp(BCD) 
Giải: Ta có 1AM AN AP AI
MB NC PD IK
    Theo định lý Talét đảo  MI // 
BK mà BK  (BCD)  MI // (BCD) 
b) Tìm thiết diện song song với một đường thẳng cho trước: Sử dụng tính chất 2: Đường thẳng a song 
song mặt phẳng () và mặt phẳng () đi qua a thì giao tuyến b của hai mặt phẳng () và () song song 
đường thẳng a. 
 2Vd Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng () song song với AC và BD đi qua điểm P trên BC, cắt 
cạnh AB, AD, CD lần lượt tại Q, R, S. 
a) Chứng minh PQRS là hình bình hành. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ SONG SONG. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 14 
b) Xác định vị trí của Q để PQRS là hình thoi. 
Giải: 
a) () // AC, ()  (ABC) = PQ  PQ // AC 
() // AC, ()  (ACD) = RS  RS // AC 
() // BD, ()  (BCD) = PS  PS // BD 
() // BD, ()  (ABD) = QR  QR // BD 
 PQRS là hình bình hành 
b) Kẻ AK // BD , DK cắt AB ở Q và AK = AC, ta có: 
QR DR RS
AK DA AC
   QR = RS  PQRS là hình thoi. 
BÀI TẬP. 
1) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trên một mặt phẳng. 
a) Gọi O và O lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO 
song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE) 
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song 
với mặt phẳng (CEF). 
 Hướng dẫn: 
a) Xét DBF có O trung điểm BD, O trung điểm BF  
OO // DF mà DF  (ADF)  OO // (ADF) 
Xét ACE có O trung điểm AC, O trung điểm AE  OO 
// CE mà CE  (BCE)  OO // (BCE) 
b) CD // EF  xác định một mp(CDEF) và ED  (CDEF). 
Gọi I trung điểm AB. Xét ABD có M là trọng tâm  DI 
qua M. Xét ABE có N là trọng tâm  EI qua N. Ta có 
1
3
IM IN
ID IE
   MN // DE mà DE(CEF) MN//(CEF). 
2) Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Cho ( ) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường 
thẳng AC và BD. 
a) Tìm giao tuyến của ( ) với các mặt của tứ diện. 
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng ( ) là hình gì ? 
 Hướng dẫn: 
a) ( )  (ABC) = Mx  Mx // AC. 
Trong mp(ABC) gọi N = Mx  BC  ( )  (ABC) = MN. 
Tương tự các giao tuyến còn lại là MQ, QP, NP. 
b) Thiết diện là hình bình hành MNPQ. 
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và 
BD. Xác định thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng ( ) qua O, song song với AB và SC. Thiết diện 
đó là hình gì ? 
 Hướng dẫn: 
Ta có 
 
 
   
AB
AB ABCD
MN ABCD





  

 MN // AB 
Ta có 
 
 
   
SC
SC SBC
NP SBC





  

 NP // SC 
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ SONG SONG. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 15 
Ta có 
 
 
   
AB
AB SAB
PQ SAB





  

 PQ // AB. Vậy MN // PQ. Tứ giác MNPQ là hình thang. 
4) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. 
a) Xét vị trí tương đối của đường thẳng MN và mp(BCD). 
b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị 
trí tương đối của d và mp(ABC) 
 Hướng dẫn: 
a) MN là đường trung bình ABC  MN // BC  MN // (BCD) 
b) (DMN)  (DBC) = d  d // MN // BC  d // (ABC) 
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt 
phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song BD và SA. 
 Hướng dẫn: 
Gọi M, N, P, R lần lượt là trung điểm của AB, AD, SD, SB  
MN // PR // BD và NP // MR // SA 
Trong mp(ABCD) gọi I = NM  CB  
 
 
I MNPRI MN
I BC I SBC
  
  
. 
Trong mp(SBC) gọi Q = IR  SC  
 
 
Q MNPRQ IR
Q SC Q SBC
  
  
 IQ = (MNPR)  (SBC) 
 MNPQR là thiết diện của S.ABCD với mặt phẳng qua trung 
điểm M của AB và song song với BD và SA. 
6) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AD // BC). Gọi E, F lần lượt là trọng tâm SAB và SDC. 
Chứng minh EF song song cả ba mặt phẳng (ABCD), (SBC), (SAD). 
 Hướng dẫn: 
Gọi M, N lần lượt trung điểm AB và CD, ta có E, F lần lượt là trọng 
tâm SAB và SCD  2
3
SE SF
SM SN
   EF // MN, mà MN  
(ABCD)  EF // (ABCD) 
Ta có MN là đường trung bình hình thang ABCD  MN // BC // AD 
 EF // BC // AD  EF // (SBC) và EF // (SAD). 
7) Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AD, N là điểm bất kỳ trên cạnh BC, () là mặt phẳng chứa 
MN và song song với CD. 
a) Xác định thiết diện của () với tứ diện ABCD. 
b) Chỉ ra vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành. 
 Hướng dẫn: 
a) Ta có: ()  MN và () // CD  ()  (ACD) = MI thì MI // CD  I 
trung điểm AC. 
Ta có: ()  MN và () // CD  ()  (BCD) = NK thì NK // CD 
 Thiết diện là hình thang MKNI (MI // NK) 
b) Hình thang MKNI là hình bình hành khi MI = NK = 1
2
CD 
 N trung điểm BC. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ SONG SONG. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 16 
8) Cho tứ diện ABCD. Một mp( ) di động luôn song song AB và CD lần lượt cắt các cạnh AC, AD, BD, 
BC tại M, N, P, Q. 
a) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. 
b) Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành MNPQ. 
 Hướng dẫn: 
a) 
   
   
 
ABC MQ
ABD NP
AB



 

 

 
 MQ // NP // AB, ta có: 
   
   
 
ACD MN
BCD PQ
CD



 

 

 
 MN // PQ // CD 
 MNPQ là hình bình hành. 
b) I là tâm hình bình hành MNPQ  I  KJ với K, J lần lượt là 
trung điểm AB, CD. Thật vậy: , vì MQ // NP // AB  L, G 
chạy trên CK và DK. Vì LG // MN // PQ // CD, I là tâm hình bình hành MNPQ nên I là trung điểm của 
LG chạy trên KJ. 
Đảo lại: I 