Hệ thống các bài toán thường gặp về đồ thị

 phần đường thẳng ứng với .
4/ Cho hàm số . Xác định để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với các hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của và : 
Để có 3 nghiệm ta phải có: 
So sánh ,, ta có: . Do theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng , ta có: 
Thay vào , ta được .
5/ Cho hàm số . Lập phương trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi .
Giải:
Gọi là điểm cố định mà luôn đi qua .
Ta có: 
Vậy luôn đi qua hai điểm cố định 
Tại ta được tiếp tuyến 
Tại ta được tiếp tuyến 
6/ Cho hàm số . 
 a/ Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị , từ điểm .
 b/ Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị , biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .
Giải:
 a/ Gỉa sử tiếp điểm là , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
Điểm thuộc , ta được: 
Với thay vào ta được tiếp tuyến 
Với thay vào ta được tiếp tuyến 
Với thay vào ta được tiếp tuyến 
b/ Đường thẳng có hệ số góc . Từ giả thiết , ta có: . Hệ số góc tiếp tuyến là .
Với ta được tiếp tuyến 
Với ta được tiếp tuyến 
 7/ Cho hàm số . 
 Chứng tỏ rằng qua điểm có thể kẽ được ba tiếp tuyến đến . Lập phương trình các tiếp tuyến đó.
Giải:
 Gỉa sử tiếp điểm là . Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
Điểm thuộc , ta có: 
Với thay vào ta được tiếp tuyến 
Với thay vào ta được tiếp tuyến 
Với thay vào ta được tiếp tuyến 
8/ Cho hàm số 
Khảo sát vẽ .
Tìm để phương trình: có 6 nghiệm phân biệt.
Giải:
a. Đồ thị như hình vẽ:
b. 
Từ đồ thị , suy ra đồ thị hàm số 
 đồ thị trùng với .
x
-1
1
3
y
0
1
2
-
-2
-1
1
2
 đồ thị đối xứng 
với đồ thị qua trục .
 Phương trình: 
là phương trình hoành độ 
giao điểm của đồ thị 
và đường thẳng . 
Số nghiệm của phương trình (*)
chính bằng số giao điểm của đồ 
thị và đường thẳng 
 Để phương trình đã cho có 6 
nghiệm phân biệt thì đồ thị 
 và đường thẳng có 6
 giao điểm. Suy ra: .
9/ Cho hàm số 
a.Khảo sát vẽ .
b.Dùng đồ thị hàm số vừa vẽ để biện luận theo số nghiệm của phương trình: 
Giải:
a/ Đồ thị như hình vẽ
b/ Phương trình 
Đặt . Phương trình trở thành 
 phương trình vô nghiệm. Suy ra không là nghiệm
 , phương trình 
 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng .
Đồ thị là phần đồ thị đã vẽ nhưng chỉ lấy trong .
Ta có: , phương trình không có nghiệm . Suy ra phương trình vô nghiệm
 , phương trình có nghiệm . 
 Suy ra là một họ nghiệm của phương trình .
 , phương trình có cũng chỉ có một nghiệm .
 Với là hai họ nghiệm của phương trình .
10/ Tìm diện tích của miền giới hạn bởi hai đường ?
Giải: Phương trình của cả hai đường là chẵn đối với . Vì vậy, miền có trục đối xứng là . Gọi là phần của nằm bên phải , khi đó diện tích cần tìm là:
Dựng . 
hình chữ nhật \ tam giác vuông tam giác cong tam giác cong .
x
8
5
3
y
1
-1
.
.
.
-3
1
-1
Suy ra , trong đó 
là phương trình của cạnh cong .
(đvdt)
x
3
y
2
2
11/ Tính diện tích của miền biết:
Giải:
 Tính diện tích miền theo biến ,
Ta có:. 
Cạnh cong có 
phương trình , cạnh cong
 có phương trình .
Diện tích cần tìm là: 
 . Đặt . Đổi cận: 
; .
 Vậy diện tích cần tìm là: (đvdt)
x
9
3
9
6
3
y
0
 12/ Tính diện tích của miền giới hạn bởi ?
 Giải:
Phương trình hoành độ của là:
 . 
Phương trình hoành độ của là: 
. cắt tại .
Phương trình hoành độ của là:
 . cắt tại .
Dựng các giao điểm .
Dựng 3 đường cong qua 3 giao điểm . 
Miền ( cho bởi hình vẽ bên)
 Diện tích cần tìm: 
 (đvdt)
13/ Cho là miền giới hạn bởi các đường và nằm ngoài parabol: . Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi ta quay quanh trục ?
 Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của các đường: 
 ; (loại do )
 (loại do ).
Thể tích cần tìm là:
Vậy thể tích cần tìm là (đvtt)
14/ Cho là miền giới hạn bởi các đường . Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi ta quay quanh trục ?
 Giải: 
Ta có: 
Phương trình tung độ giao điểm của hai đường: .
Do nên (loại).
 Thể tích cần tìm giới hạn bởi các đường (Hình vẽ minh họa ) là:
 (đvtt)
 Mỗi bài toán về đồ thị đòi hỏi chúng ta suy luận nên chọn cách giải nào phù hợp, các kiến thức nào được áp dụng là hay nhất, phù hợp nhất . Tùy vào từng bài tập cụ thể, ta linh hoạt giải các dạng toán về đồ thị một cách tốt nhất.
 Chọn Lọc Các Bài Toán Thường Gặp Về Đồø Thị trong kỳ thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao Đẳng các năm gần đây
Bài 1 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt và tam giác cân tại gốc tọa độ .
 (Đại Học Khối A năm 2009)
 Đáp số: .
Bài 2 Cho hàm số .
a/ Khảo sát vẽ đồ thị . 
b/ Với các giá trị nào của , phương trình có đúng 6 nghiệm phân biệt?
 (Đại Học Khối B năm 2009)
 Đáp số: 
 Bài 3 Cho hàm số , là tham số.
a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi . 
b/ Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
 (Đại Học Khối D năm 2009)
 Đáp số: .
Bài 4 Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt sao cho .
 (Đại Học Khối B năm 2009)
 Đáp số: 
Bài 5 Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị hàm số 
 tại hai điểm phân biệt sao cho trung điểm của đoạn thẳng thuộc trục tung.
 (Đại Học Khối D năm 2009)
 Đáp số: .
Bài 6 Cho hàm số .
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số . 
 b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm .
 (Đại Học Khối B năm 2008)
 Đáp số: Các tiếp tuyến cần tìm là: 
Bài 7 Cho hàm số .
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số . 
 b/ Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc đều cắt đồ thị của hàm số tại ba điểm phân biệt đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng .
 (Đại Học Khối D năm 2008)
Bài 8 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
 b/ Tìm tọa độ điểm thuộc , biết tiếp tuyến của cắt 2 trục tại và tam giác có diện tích bằng .
 (Đại Học Khối D năm 2007)
 Đáp số: .
Bài 9 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị . 
 b/ Với các giá trị nào của , phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: . (Đại Học Khối A năm 2006)
 Đáp số: 
Bài 10 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị 
 b/ Gọi là đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc là . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
 (Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2006)
 Đáp số: 
Bài 11 Cho hàm số 
 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị , biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của ?
 (Đại Học, Cao Đẳng Khối B năm 2006) 
 Đáp số: Phương trình 2 tiếp tuyến cần tìm là: 
Bài 12 Cho hàm số 
 Tìm các điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của ?
 (Cao Đẳng Y Tế I năm 2006) 
 Đáp số: 
Bài 13 Cho hàm số 
 Tìm các giá trị để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa chúng bằng ?
 (Cao Đẳng Sư Phạm Hải Dương năm 2006) 
 Đáp số: 
Bài 14 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị 
 b/ Tìm để đường thẳng , là tham số cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương.
 (Cao Đẳng Sư Phạm Trà Vinh năm 2006)
 Đáp số: 
Bài 15 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị khi . 
 b/ Gọi là điểm thuộc có hoành độ bằng . Tìm để tiếp tuyến của tại điểm song song với đường thẳng .
 (Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2005)
 Đáp số: 
Bài 16 Cho hàm số 
 Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt . Xác định sao cho độ dài là nhỏ nhất?
 (Cao Đẳng Kinh Tế Kỷ Thuật I năm 2005) 
 Đáp số: 
Bài 17 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị 
 b/ Tìm để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
 (Cao Đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2005)
 Đáp số: 
Bài 18 Cho hàm số 
 Xác định để đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến của tại song song nhau?
 (Cao Đẳng Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh năm 2005) 
 Đáp số: 
Bài 19 Cho hàm số 
 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng ?
 (Cao Đẳng Khối A-B năm 2005) 
 Đáp số: Phương trình 2 tiếp tuyến cần tìm là: 
Bài 20 Cho hàm số , là tham số
 Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt sao cho ?
 (Đại Học , Cao Đẳng Khối A năm 2004) 
 Đáp số: .
 Bài 21 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị 
 b/ Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của có hệ số góc nhỏ nhất.
 (Đại Học , Cao Đẳng Khối B năm 2004)
 Đáp số: Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn: 
Bài 22 Cho hàm số , là tham số
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị khi 
 b/ Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương?
 (Đại Học , Cao Đẳng Khối A năm 2003) 
 Đáp số: .
Bài 23 Cho hàm số , là tham số
 Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt?
 (Đại Học , Cao Đẳng Khối D năm 2003) 
 Đáp số: .
Bài 24 Cho hàm số ,