Chuyên đề luyện thi Tốt nghiệp THPT và Đại học, Cao đẳng 2009 môn Toán - Bài toán liên quan đến cực trị và tiệm cận hàm số

u kiện để đường cong có cực trị. 
Khi có cực trị, hoành độ x1, x2 của nó là No của (1). 
 Ta có: + = +( )1 2
1 2
1 1 1 x x
x x 2
 +1 2
1 2
x x
x x
 = +( )1 21 x x2 
 2(x1 + x2) = x1 x2 (x1 + x2) 
 (x1 + x2)(2- x1 x2) = 0 
 * Nếu x1 + x2 = 0. Theo định lý Viet ta có: 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4 
− =( )4 1 m 0
3
 m = 1 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
 Giá trị m = 1 thỏa mãn (2). 
 * Nếu x1 x2 = 2. Theo định lý Viet ta có: 
 − + =
2m 4m 1 2
3
 m2 – 4m – 5 = 0 
 m= -1 hoặc m = 5 
 Ta nhận thấy m= -1 không thỏa mãn (2), còn m= 5 thỏa mãn (2). 
Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là: m= 1 và m= 5. 
Chú ý: Đây là VD chứng minh rằng nếu bỏ qua điều kiện cần (tìm điều kiện để có cực trị) 
thì sẽ dẫn đến thừa No (ở đây thừa No m = -1). 
Ví dụ 4: 
 Cho F(x) = − + +
3 2x x mx 1
3 2
 G(x)= + + +
3
2x x 3mx
3
m 
 Tìm m để mỗi hàm số có 2 cực trị, vì giữa 2 hoành độ cực trị của hàm số này có một 
hoành độ cực trị của hàm số kia. 
 Ta có: F’(x) = x2 – x + m 
 G’(x)= x2 + 2x + 3m. 
 Trước hết ta cần tìm điều kiện để F(x) và G(x), mỗi hàm số đều có cực trị. Điều kiện 
đó là các PT: F’(x) = 0 và G’(x) = 0 đều có 2 No phân biệt. 
 Nói khác đi ta cần có: 
 m < 
⎧Δ = − >⎪⎪⎨⎪Δ = − >⎪⎩
1
2
1 4m 0
1 3m 0
1
4
 (1) 
Với điều kiện (1) thì: F(x) có 2 cực trị tại x1, x2 (x1 < x2). 
 G(x) có 2 cực trị tại x3, x4 (x3 < x4). 
Theo bài ra ta cần có: Hoặc 
⎡ < < <⎣
⎡ < < <⎣
3 1 4 2
1 3 4
x x x x
x x x x2
 Hay PT: H(x) = F’(x) = x2 – x + m = 0 có 2 No phân biệt x1, x2 sao cho giữa 2 No 
x1, x2 và ngoài khoảng 2 No này chứa x3, x4. Theo định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 ta 
cần có: 
 H(x3)H(x4) < 0. 
 (x23 – x3 + m) (x24 – x4 + m) < 0 (2) 
Để ý rằng: 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
 x23 – x3 + m = (x23 + 2x3 + 3m) – (3x3 + 2m) = - (3x3 + 2m). 
 x24 – x4 + m = (x24 + 2x4 + 3m) – (3x4 + 2m) = - (3x4 + 2m). 
(Do x3, x4 là 2 No của PT: G’(x)= x2 + 2x + 3m = 0). 
Thay lại vào 2 ta có: 
 (3x3 + 2m) (3x4 + 2m) < 0 
 9x3x4 + 6m(x3+ x4) + 4m2 < 0 (3) 
áp dụng định lý Viet với PT: x2 + 2x + 3m = 0 ta có: 
 x3+ x4 = -2; x3x4 = 3m. (4) 
Thay (4) vào (3) ta có: 27m – 12m - + 4m2 = 0 
 4m2 + 15m < 0 
 − < <15 m 0
4
 (5) 
Rõ ràng (5) thỏa mãn điều kiện cần của (1). Đó chính là các giá trị cần tìm của tham số m. 
Ví dụ 5: Cho hàm số: 
 Y = +−
2x m
1 x
x 
 Tìm m để khoản cách giữa 2 điểm cực trị bằng 10? 
 Bài giải 
Ta có: y’ = − + +
−( )
2
2
x 2x m
1 x
Trước hết tìm điều kiện để đường cong có 2 cực trị: 
Điều này xảy ra khi PT: y’ = 0 có 2 No phân biệt # 1. Tức là hệ PT: 
 Có 2 No phân biệt. 
⎧ ≠⎪⎪⎨⎪ = − + + =⎪⎩
( )
( ) 2
f 1 0
f x x 2x m 0
 Hay m > -1 (1) 
⎧⎪Δ = + >⎪⎨⎪ + ≠⎪⎩
' 1 m 0
1 m 0
Với điều kiện (1), giả sử đừơng cong có 2 cực trị tại các điểm x1, x2. 
Khi đó x1, x2 là 2 No của PT: 
 - x2 + 2x + m = 0 (2) 
Giả sử M(x1, y1), N(x2, y2) là các điểm cực trị. Ta có: 
 y1= 
+ = − −− 1
2x m 2x m
1
 (Thay x= x1). 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 6 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Tương tự: y2 = 
+ = − −− 2
2x m 2x m
1
 (Thay x= x2). 
Theo bài ra ta cần có: MN = 10 
 MN2 = 100 
 (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = 100 
 (x2 – x1)2 + 4(x2 – x1)2 = 100 
 (x2 – x1)2 = 20 
 (x2 + x1)2 – 4x1x2 = 20 (2) 
áp dụng định lý Viet với (2) ta có: (x2 + x1) = 2; x1x2 = -m. 
Thay vào (2) ta có: 4 + 4m = 20 => m = 4. 
Giá trị m = 4 thỏa mãn điều kiện (1) nên là giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. 
Ví dụ 6: Cho hàm số: 
 y = − + +−
2x 2mx
x 1
5 
Tìm m để cực đại, cực tiểu của hàm số nằm về 2 phía của y = 2x? 
Bài giải 
Ta có: y’ = − + − −
−
( )
( )
2
2
x 2x 2m 5
x 1
Trước hết tìm điều kiện để hàm số có cực trị. PT: y’ = 0 có 2 No phân biệt #1. Tức là hệ PT 
sau có 2 No: 
⎧ ≠⎪⎪⎨⎪ = − + − − =⎪⎩
( )
( ) ( )2
f 1 0
f x x 2x 2m 5 0
 m <-3 (1) 
⎧⎪Δ = − + >⎪⎨⎪− + ≠⎪⎩
' 2m 6 0
2m 6 0
Với điều kiện (1) hàm số có 2 cực trị: M(x1, y1), N(x2, y2) với x1, x2 là 2 No của PT: - 
x2 + 2x –(2m-5) = 0. 
 Ta có: 
 y1= 
− + = − +12x 2m 2x 2m1 (Thay x= x1). 
Tương tự: y2 = 
− + = − +22x m 2x 2m1 (Thay x= x2). 
Vậy 2 điểm cực trị là: M(x1, -2x1 + 2m), N(x2, -2x2 + 2m). 
 Hai điểm (ỏ1; õ1), (ỏ2; õ2) bất kỳ nằm về 2 phía của đường thẳng: 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 7 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
 ax + by + c = 0 khi và chỉ khi: 
 (a ỏ1 + b õ1 + c)(a ỏ2 + b õ2 + c) < 0 
áp dụng vào bài toán ta có: M, N nằm về 2 phía của đường thẳng y = 2x 
(2x-y = 0) khi và chỉ khi: 
 (2x1 – y1) (2x2 – y2) <0. 
 (4x1 – 2m) (4x2 – 2m) < 0 
 (2x1 - m) (2x2 - m) < 0 
 4 x1x2 – 2m(x1 + x2) + m2 < 0 (2) 
áp dụng định lý Viet với (2) ta có: (x2 + x1) = 2; x1x2 = 2m - 5. 
Thay vào (2) ta có: 4(2m – 5) – 4m + m2 < 0 
 m2 + 4m – 20 < 0 
 -2 - 2 6 < m < -2 + 2 6 (3) 
Giá trị m = 4 thỏa mãn điều kiện (1) nên là giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. 
3. Các bài toán tiệm cận. 
Tiệm cận là một đặc trưng của hàm phân thức, vì lẽ đó lớp các bài toán về tiệm cận 
đối với hàm phân thức khá đa dạng. Ta hãy xét trước tiên các bài toán mô tả tính chất của 
các tiệm cận. 
Thí dụ 1: Cho hàm số y = )(
2
12 C
x
x
−
+ 
M là một điểm tuỳ ý nằm trên (C). Tiếp tuyến với (C) tại M cắt tiệm cận ngang và 
tiệm cận đứng tại A và B. 
1. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB 
2. Chứng minh rằng khi M di động trên (C) thì tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận 
ngang và tiệm cận đứng một tam giác có diện tích không đổi. 
3. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) lại đi qua giao điểm của hai 
đường tiệm cận. 
Dễ thấy (C) có hai tiệm cận ngang và đứng lần lượt là: 
y = 2 và x = 2 . 
Giả sử M ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
+
2
12
,
0
0
0 x
xx với x0 > 2 là điểm tuỳ ý nằm trên (C) 
(khi x0 < 2 xét hoàn toàn tương tự). 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 8 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Ta có y’(x0) = 2
0 )2(
5
−
−
x
,vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là: 
y = )(
)2(
5
2
12
02
00
0 xx
xx
x −−
−=−
+ hay y = 2
0
0
2
0
2
0 )2(
222
)2(
5
−
−++−
−
x
xx
x
x . (1) 
Ta tìm toạ độ các điểm A, B 
Thay x = 2 vào (1), ta có y = 2
0
0
2
0
2
0
0
2
0
)2(
1222
)2(
22210
−
−+=−
−++−
x
xx
x
xx 
Vậy B (x0, 2
0
0
2
0
)2(
1222
−
−+
x
xx ) . 
Từ (1) xét phương trình (ẩn x) 
2
0
0
2
0
2
0 )2(
222
)2(
5
−
−++−
−
x
xx
x
x = 2 
Ù 2
0 )2(
5
−
−
x
x = 2 - 2
0
0
2
0
)2(
222
−
−+
x
xx 
Ù - 5x = 2x20 - 8x0 + 8 - 2x02 - 2x0 + 2 
Ù - 5x = -10x0 + 10 . Từ đó ta có : 02x x 2.= − .Vậy . 0(2 2, 2)A x −
Do B, M, A nằm trên đường thẳng (1), mà 
 0 02 (2 2) 2 2 .B A Mx x x x+ = + − = = x 
Vậy M là trung điểm của AB. 
Gọi I (2,2) là giao điểm của tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của hàm số đã cho. 
Ta có: IA = )2(2222 00 −=−−=− xxxx IA (do x0 > 2) 
IB = 2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
)2(
)2(10
)2(
2010
2
)2(
1222
−
−=−
−=−−
−+=−
x
x
x
x
x
xxyy IB 
Vậy SIAB = 2
1 IA. IB = 10 = const , tức là tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận của 
hàm số một tam giác có diện tích không đổi. 
Xét điểm I (2, 2) là giao của hai tiệm cận: 
Thay x = 2 vào vế phải của (1) ta có 
VF = 2
44
1222
)2(
1222
0
2
0
0
2
0
2
0
0
2
0 ≠+−
−+=−
−+−
xx
xx
x
xx 20 ≠∀x . 
Thay y = 2 vào vế phải của (1) ta có: VT = 2 . 
Vì lẽ đó I không nằm trên đường thẳng (1) 20 ≠∀x . 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 9 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Điều đó có nghĩa là: Mọi tiếp tuyến của (C) không bao giờ đi qua giao điểm của 2 
đường tiệm cận. 
Nhận xét: 
- Các hàm phân thức quen thuộc: 
y = 
'' bxa
bax
+
+ và y = 
''
2
bxa
cbxax
+
++ (a, a’ 0≠ ) cũng có các tính chất như trên . 
Cách chứng minh cho dạng tổng quát với cả hai loại trên giống hệt như cách chúng 
tôi đã trình bày trong thí dụ vừa xét.. 
Thí dụ 2: Cho đường cong y =
2 3 1
2
x x
x
+ −
− (C) . 
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kì trên (C) đến hai tiệm 
cận của (C) là một hằng số. 
Dễ thấy 
2 2
2 2
3 1 3 1lim , lim
2 2x x
x x x x
x x+ −→ →
+ − + −= +∞ = −∞− − , vậy x=2 là tiệm cận đứng. 
Viết lại y dưới dạng y = x + 5 + 
2
9
−x 
Ta có 
2 3 1 9lim ( 5) lim 0
2 2x x
x x x
x x→∞ →∞
⎡ ⎤+ − − + = =⎢ ⎥− −⎣ ⎦
 , vậy y=x+5 là tiệm cận xiên. 
Lấy M (x0, x0 + 5 + 2
9
0 −x
) là điểm tuỳ ý trên (C) 
Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên x - y + 5 = 0 là 
d1 = 
22
9
2
5
2
95
0
0
00
−=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−++−
x
x
xx
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x = 2 là d2 = 20 −x . 
Từ đó suy ra d1, d2 = =
2
9 const => đ.pc.m 
Chú ý: Ta đã sử dụng công thức sau (cần nhớ). Khoảng cách từ điểm 
 0 0( , )M x y tới đường thẳng x = c là d = cx −0 . 
Tương tự khoảng cách từ điểm M (x0, y0) tới đường thẳng y = a là 
d = ay −0 .Từ thí dụ trên ta lại có thêm một tính chất nữa của tiếp tuyến và đường 
tiệm cận của hàm phân thức. 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 10 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Với y = 
'' bxa
bax
+
+ và y = 
''
2
bxa
cbxax
+
++ (a và a’≠ 0) là hai hàm phân thức thông 
dụng,khi đó tính các khoảng cách từ một điểm M bất kì trên đường cong tới hai tiệm cận nó 
là một hằng số. Cách chứng minh đói với đường tổng quát cũng giống như cách ta đã làm 
trong thí dụ cụ thể trên.. 
Thí dụ 3: Cho y = 
1
12
−
+−
x
xx (C) 
Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M tới giao điểm I của hai đường tiệm 
cận là bé nhất. 
Bằng phép tính tương tự như trên , dễ dàng thấy rằng (C) nhận x=1 là tiệm cận đứng 
và y=x là tiệm cận ngang. Do đó g