Phân loại và phương pháp giải Toán 12 - Bài 3: Tìm giá trị lớn nhât và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Lê Văn Đoàn

̀ dạng quen thuộc nếu chỉ còn một biến”. Hãy chiêm nghiệm câu nói trên và đối chiếu với lời giải sau.
Đặt . Theo giả thiết, ta có: 
. 
Lời bình 2: Để thực hiện mục tiêu quy bài toán về một biến, ta cần tìm ra một phép thế P theo S hoặc S theo P. Từ hệ thức , ta thấy ngay nếu rút P theo S sẽ đơn giản hơn rất nhiều.
Thật vậy: .
Theo đề, ta có: 
.
Thay vào , ta được: .
Từ , nhận thấy để tìm giá trị lớn nhất của A, ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của S, tức là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Theo bất đẳng thức Cauchy : 
.
 ; 
.
Dấu “=” xảy ra khi .
Vây giá trị lớn nhất của biểu thức là: .
Lời bình 3: Đây không phải là lời giải ngắn nhất nhưng là cách làm tự nhiên và “dễ nghĩ ra” nhất, bởi kể cả những bài toán tương tự, bề ngoài khác một chút ta vẫn hoàn toàn sử dụng ý tưởng: “định hướng tổng tích để quy về cùng một biến”. 
Sau đây là lời giải bằng phương pháp bất đẳng thức Cauchy kết hợp với kỹ thuật biến đổi đại số (chủ đề này sẽ được đề cập ở dạng toán 2 cùng chuyên đề) từ diễn đàn: ebook.here.vn (tôi xin giới thiệu thêm một số diễn đàn học tập bổ ích khác như: mathvn.com, chuyenhungvuong.net, violet.com, hocmai.vn, để các bạn học sinh có thể tham khảo thêm tài liệu nhằm hoàn thiện kiến thức của mình).
Đặt . Từ giả thiết ta được: 
.
Ta có . Kết hợp (1) ta được: .
Theo BĐT Cauchy, ta có: .
Mặt khác theo, ta có: 
.
Kết hợp giữata được: .
Từ .
Ví dụ 5. (Trích đề thi dự bị Đại học khối A năm 2005)
Cholà các số thực dương thỏa mãn . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Bài giải tham khảo
Đặt , ta có: .
.
Lúc đó: .
.
.
Xét hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng.
Ta có: .
.
Ví dụ 6. (Trích đề tuyển chọn học sinh giỏi toán QG năm 2006 – 2007).
Cholà những số thực thỏa mãn: .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài giải tham khảo
Lời bình: Để giải được bài toán này, ta cần nắm vững những đẳng thức suy luận quen thuộc như:
Áp dụng 2 đẳng thức trên và kết hợp với điều kiện , biểu thức được viết lại là:
Đặt .
Do: .
Biểu thức được viết lại là: .
Xét hàm số xác định và liên tục trên đoạn.
Tìm: .
Tính: .
 hoặc các hoán vị.
 hoặc các hoán vị.
Ví dụ 7. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2008)
Cholà các số thực thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm biểu thức: .
Bài giải tham khảo
Lời bình: Quan sát biểu thức, ta liên tưởng đến hệ phương trình đẳng cấp bậc hai và phương pháp giải chúng là đặt với . Liệu có sử dụng phương pháp đó cho bất đẳng thức ?
Do nên.
Nếu Biểu thức không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Nếu . Đặt .
Xét hàm số xác định và liên tục trên.
Ta có: .
Mặt khác: . Nên ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên:
.
.
Ví dụ 8. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2007).
Cho ba số thực dươngthay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
.
Bài giải tham khảo
.
Ta có: .
Từ .
.
Xét hàm số liên tục và xác định trên.
Ta có: .
Bảng biến thiên: 
Dựa vào bảng biến thiên: . Dấuxảy ra khi và chỉ khi.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là.
Ví dụ 9. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2007)
Cho. Chứng minh rằng: .
Bài giải tham khảo
Bất đẳng thức đã cho.
Xét hàm sốliên tục và xác định trên.
Ta có: luôn nghịch biến trên.
Do nghịch biến trênvànên.
Ví dụ 10. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2009).
Cho là các số thực dương thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: 
 Lời bình: Đây có thể xem là bài bất đẳng thức “khó nhất” trong các kỳ thi đai học ở nước ta từ trước đến nay. Chúng ta hãy thử xem liệu lần này, ý tưởng “giảm biến” còn phát huy tác dụng không nhé !
Do tính đồng bậc của bài toán nên ta hoàn toàn có thể giả sử: . 
Từ giả thiết của bài toán: , nó sẽ trở thành giả thiết mới: . Nhận xét rằng bất đẳng thức đề bài đối xứng với và . Quan sát cả điều kiện, một cách tự nhiên ta sẽ đoán được rằng nếu muốn quy bài toán về một ẩn thì ẩn đó chỉ có thể làhoặc . Do nên thực ra ta chọn ẩn nào cũng là tương đương. Tuy nhiên, ta sẽ chọnvới lí do nhìn “nhỏ gọn”, “dễ viết” hơn so với .
Chọn được ẩn rồi, ta sẽ tiến hành bước thứ hai, đó là khai thác dữ kiện của bài toán, kết hợp với các bất đẳng thức quen thuộc để thiết lập điều kiện cho ẩn (Chủ yếu là Cauchy).
Do trong biểu thức chứa nên ta sử dụng hằng đẳng thức và biến đổi tương đương để quy những đại lượng trong biểu thức theo ẩn, thực hiện bước 3.
Bài giải tham khảo
Cách giải 1: 
Do tính đồng bậc của bài toán, nên ta giả sử .
Ta có: .
Chọn biến mới là và tìm điều kiện cho biến mới (bước 2):
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta được: 
Mà nên: 
Mặc khác, do là các số thực dương và 
Từ 
 Áp dụng hằng đẳng thức: cho và kết hợp với giả thiết , ta được: 
	.
Mặc khác, ta có: 
Và: .
Từ Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
Từ đúng. Bài toán được CM xong. Dấu “=” xảy ra khi . 
Lời bình: Trên các diễn đàn toán học Việt Nam, tồn tại khoảng hơn 10 lời giải cho bài toán này. Tuy nhiên, đa số các lời giải có ý tưởng xuất phát thiếu tự nhiên, thường chỉ dựa vào những kĩ năng của một số cá nhân giàu kinh nghiệm. Trên đây, tôi đã trình bày lời giải chi tiết, một lời giải tự nhiên và phù hợp với mọi đối tượng học sinh. Tiếp sau là một số lời giải khác.
Cách giải 2:
Vì giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh: là những biểu thức đẳng cấp, chúng đối xứng đối với và nên ta nghĩ đến cách đặt: .
Khi đó, 
Lúc đó: 
Vì là những biểu thức đối xứng đối với và nên ta nghĩ đến việc đặt 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: 
Do đó, mối quan hệ giữa S và P là: 
 .
Khi đó : .
Thayvàothì biểu thức cần chứng minh tương đương với: 
Đúng dương 
Luôn đúng 
Vậy bài toán đã được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi 
Cách giải 3: 
Dễ thấy: 
Từ giả thiết: 
Ta sẽ chứng minh: 
Thật vây: 
Dễ dàng chứng minh được: 
.
 .
Từ .
Từ . 
Cách giải 4: 
Đặt: 
Từ giả thiết: .
Đẳng thức cần chứng minh 
Từ .
Mặt khác: .
Từ .
Đẳng thức xảy ra khi .Bài tập áp dụng dạng 1
Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng kỹ thuật Y tế 1 khối B – 2006).
Cho 2 số thựcthay đổi thỏa mãn điều kiện: và .
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: .
ĐS: và .
Bài 2. Chovà. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: .
ĐS: .
Bài 3. Cho hai số thựcthay đổi và thỏa mãn điều kiện. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
ĐS: .
Bài 4. Cho hai sốthỏa mãn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
ĐS: .
Bài 5. Cholà hai số dương thỏa mãn điều kiện. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
ĐS: .
Bài 6. (Trích đề thi tuyển sinh Cao Đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Cần Thơ khối A – 2006).
Cho 3 số dương thoả mãn. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	.
ĐS: .
Bài 7. Cho hai số không âmthỏa mãn điều kiện. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
ĐS: và .
Bài 8. Cho hai số thựcthay đổi thỏa mãn điều kiện. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
ĐS: .
Bài 9. Cho hai số thựcthỏa mãn điều kiện: . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
ĐS: và .
Bài 10. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học Đà Nẵng khối A – 2001 đợt 1)
	Cho ba số thực dươngthỏa mãn điều kiện: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .	ĐS: .
Bài 11. Cho hai số thựcthay đổi thỏa mãn điều kiện. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
ĐS: và .
Bài 12. Cho hai số không âmthay đổi thỏa mãn điều kiện: . 
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
ĐS: .
Bài 13. (Trích đề thi tuyển sinh Cao Đẳng Giao Thông Vận Tải 3 – 2005)
Chothỏa mãn điều kiện. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
ĐS: và .
2 – Dạng 2. Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức cổ điển (5 kỹ thuật dùng bất đẳng thức Côsi và 2 kĩ thuật dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki).
a/ Kỹ thuật 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại (Côsi ngược) trong 
	 BĐT Cauchy.
Với thì . Dấuxảy ra khi .
Với thì . Dấuxảy ra khi .
Với thì . Dấuxảy ra khi .
Mở rộng cho n số không âm ta có: . 
Dấuxảy ra khi .
Trong đó:
Bất đẳng thức: Đáng giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ().
Bất đẳng thức: Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng (Côsi ngược: ).
Lưu ý: Về bản chất tìm GTLN và GTNN của biểu thức và bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể xem là tương đương nhau. Bài toán tìm GTLN, GTNN nếu ta phán đoán được kết quả thì bài toán trở thành chứng minh bất đẳng thức.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: ta có .
Bài giải tham khảo
Sử dụng BĐT Cauchy: , ta có: 
nhân
.
Lời bình: Ta chỉ nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả được bất đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm. Nếu không tuân thủ theo nguyên tắc ấy thì rất dễ sai lầm. Cụ thể ở thí dụ trên:
Sử dụng: thì .
 (đúng)	 (đúng)
Nhân	 (đúng)	Ví dụ: (đúng)
 (đúng)	 	 (đúng)
Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ,