Hàm số và các ứng dụng của hàm số - Trương Nhật Lý

= (H). 
	 Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc với 	 đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = - x3 – 3x2 + 4
 	 biết tiếp tuyến qua P(1;0).
Bài 5: Cho (C): y = x3 – 3x2 + 2. 
	a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(
	b) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị 	 	 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 6: Cho (Cm): y = 	
	Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x0 = 4 thì
	song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục tọa độ.
Bài 7: Cho hàm số y = 2x + (H) 
	Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H)
	1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) 
	2) Chứng minh rằng:
	a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm 	của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi.
	b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số.
	c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên.
Bài 8: Cho hàm số y = (H)
	Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp tuyến 	tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng:
	1) M là trung điểm của PQ
	2) Tam giác AIB có diện tích không đổi
	3) IQ.IP không đổi.
VẤN ĐỀ 2
TÍNH DƠN ĐIỆU & CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI & ĐIỂM CỰC TIỂU
Bài 1: Cho hàm số y = – x3 + mx2 – m. Tìm m để hàm số đồng biến trong 
 khoảng (1; 2). ĐS : 
Bài 2: Tìm m để hàm số trên khoảng 
Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2
	 Tìm để hàm số luôn đồng biến. ĐS : 
Bài 4: Cho hàm số 
	 Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ 	 lớn hơn m. (ĐS : m < -2)
Bài 5: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm có hoành độ x > m. 
Bài 6: Cho hàm số 
	 Tìm m để hàm số có cực trị (ĐS : |m| < 1)
Bài 7: Định m để hàm số có ba điểm cực trị.
ĐS : 
Bai 8: Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên  ?	 	
Bài 9: Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. (ĐS: m = 1)
Bài 10: Định m để hàm số có các điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung (ĐS: m > 0).
Bài 11: Định m để hàm số có độ dài khoảng nghịch biến bằng . ĐS: .
Bài 12: Định m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu. 
Bài 13: Cho hàm số Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2
Bài 14: Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m. Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu thỏa mãn: 
Bài 15: Tìm m để hàm số có hai cực trị thuộc khoảng (-2, 3).
DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ
Bài 1: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 3m – 5
	a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
	b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
	HD: a) .	b) y = 2(3-m2)x + 6m – 5, 
Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3x2 - 9x + m 
	a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị 
	b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
	HD: a) m	b) y = -8x + m - 3
Bài 3: Cho hàm số 
a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT. 
b) Tìm m để yCĐ.yCT > 0 (ĐS: )
c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
	(ĐS : y=2x+m+1)
Bài 4: Cho hàm số . Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu 
 thỏa mãn: |yCĐ – yCT| > 8 	(ĐS: )
Bài 5: Cho hàm số 
a) Tìm m để hàm số có cực trị 
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
c) Tìm m để ymax + ymin = 2
ĐS: 
VẤN ĐỀ 3
TÍNH LỒI LÕM ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ (Ban NC)
Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số 
	 có 3 điểm uốn thẳng hàng. (Ba điểm uốn : A(1,1), B(-2,-1), C(,0))
Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3(m - 1)x2 + 3x – 5
a) Tìm m để (-5; 2) là khoảng lồi của hàm số 
b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x0 > m2 – 2m – 5 
ĐS: a) m3, b) -1 < m < 4
Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0): Thì hệ số góc 	 của tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị sẽ lớn nhất nếu a 0, khi so với hệ số góc các tiếp tuyến tại điểm khác.
	Bài 4: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + x – 4. Tìm a, b để M(2; -6) là điểm uốn.
	ĐS: a = 
Bài 5: Cho hàm số (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1. 
VẤN ĐỀ 4
TRỤC ĐỐI XỨNG – TÂM ĐỐI XỨNG – CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG
 DẠNG 1: Đồ thị (cặp điểm) nhận Ox, Oy, O: Làm Trục - Tâm đối xứng
A. Phương pháp:
	+ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Û f(x) = f(-x) 
	(Hàm số chẵn đối với x)
	+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
	+ Đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng Û f(x) = - f(x)
	(Hàm số chẵn đối với y)
B. Bài tập tự luyện:
	Bài 1: Cho (C): y = 2x3 + 3mx2 - 3m + 1
	Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O.
	ĐS: m 1/3
	Bài 2: Cho (C): 
	Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O.
	ĐS: 
	Bài 3: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + (m2 + 2m - 3)x + 4 	 (Cm)	
	Tìm m để (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía 	của trục tung. (ĐS: - 3 < m < 1) 
	(ĐH A.N HN K.D)
	Bài 4: Tìm hai điểm phân biệt của (Cm): y = x3 – 3x2 - (m-2)x + m + 1
	đối xứng nhau qua trục tung sao cho MN = 4.
DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM
	Cho (C): y = f(x)
	2) Chứng tỏ (C) nhận I(x0; y0) làm tâm đối xứng	(1)
	1) Chứng tỏ (C) có một tâm đối xứng	(2)
A. Phương pháp:
	 - Đổi trục tọa độ , ta được phương trình mới Y = g(X)
	 + Nếu Y = g(X) là hàm lẻ thì (C) nhận I(x0; y0) làm tâm đối xứng Þ (1)
	 + Buộc Y = g(X) là hàm số lẻ hay ta tính được x0, y0.	 Þ (2)
B. Bài tập tự luyện: 
	Bài 1: Chứng tỏ (H): có tâm đối xứng là giao điểm 	 của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(1, -1))
Bài 2: Chứng tỏ (H): có tâm đối xứng là giao điểm 	 của 2 đường tiệm cận. 	(ĐS: I(-2, 2))
Bài 3: Cho (Cm): 
	 Tìm m để (Cm) nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng. (ĐS: m = 1)
 DẠNG 3: ĐỐI XỨNG TRỤC 
	Cho (C): y = f(x). 
	1) Chứng tỏ (C) nhận (d): x = x0 làm trục đối xứng 	(1’)
	2) Chứng tỏ (C) có một trục đối xứng có phương Oy	(2’)
A. Phương pháp: - Bài toán này chưa cho x0, y0 chưa được cho trước
	+ Ta đổi trục tọa độ , ta được phương trình mới Y = g(X)
	+ Nếu Y = g(X) là hàm chẵn thì (C) nhận (d): x = x0 làm trục đối 	 xứng Þ (1’) 
	+ Buộc Y = g(X) là hàm chẵn ta tính được x0 Þ (2’) 
 B. Bài tập tự luyện:
	Bài 1: Chứng tỏ (C): y = x4 – 4x3 + 4x2 nhận đường thẳng x = 1 làm 	trục đối xứng.
	Bài 2: Cho (Cm): 
1) Với m = 4, Chứng tỏ (C4) có trục đối xứng (ĐS: x = -1)
2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có trục đối xứng // Oy 
ĐS : m = 4, x = -1
	Bài 3: Cho hàm số y = x4 + 4ax3 – 2x2 – 12ax (Ca)
	Tìm a để (Ca) có trục đối xứng song song với Oy.
	ĐS : a = 0, x = 0 ; a = , x = 
VẤN ĐỀ 5
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
(XEM CHUYÊN ĐỀ: BĐT – GTLN & GTNN)
VẤN ĐỀ 6
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
A. Phương pháp:
	· Cho hai đường: 
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’) là: f(x) = g(x) (1)
	· Nhận xét: 
 	 - Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của (C) và (C’).
 - Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C) và 
 (C’). Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hay y0 = g(x0).
· Biện luận: 
	 ¨ (1) có n nghiệm đơn Û (C) và (C’) cắt nhau tại n điểm.
	 ¨ (1) có nghiệm bội k ³ 2 Û (C) và (C’) tiếp xúc nhau
	 ¨ (1) vô nghiệm Û (C) và (C’) không có điểm chung.
	· CHÚ Ý: 
	 ¨ Điều kiện tiếp xúc: 
	(C) tiếp xúc (C’) Û Hệ có nghiệm
	 ¨ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục tung (Oy): 
	Cho x = 0 Þ y
	 ¨ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục hoành (Ox): 
	Cho y = 0 Þ x
	 ¨ Với (Cm): y = f(x, m), ta có thể biện luận được số điểm 	 chung của (Cm) với trục hoành nhờ vào dạng của (Cm) và 	 vị trí của (Cm) đối với hệ trục.
 Đặc biệt chú ý đồ thị của hàm số bậc ba giao với Ox:
	Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C)
	(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Û 
	(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương Û 
	(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm Û 
	(C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm) Û
	(C) cắt trục hoành tại 1 điểm Û
 Dạng đồ thị của hàm trùng phương giao với Ox: 
 	Bài giảng
 	 Chú ý về bài toán “tìm tham số m để phương trình có n nghiệm”
Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng lý luận sau đây:
 · Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f(x).
 · Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm f(x) với đường 	thẳng (d): y = g(m).
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Xét sự tương giao của hai đường:
	(C): y = x3 + 9x	và 	(C’): y = 6x2 + 4
Bài 2: Cho (C): y = và đường thẳng (d): y = -2x + m + 1
Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 3: Biện luận theo m sự tương giao của: 
	(C): y = x3 - 6x2 + 9x - 6	và 	(C’): y = mx – 2m – 4
Bài 4: Tìm m để (Cm) tiếp xúc với hoành, biết:
	a) (Cm): y = x3 - mx + m – 1
	b) (Cm): y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx – 8
	c) (Cm): y = 2x3 + 3mx2 - 2m + 1
Bài 5: Cho (Cm): y = 2x3 – 3(m + 2)x2 + 6(m + 1)x – 3m + 6
	Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau
Bài 6: Cho (Cm): 
	Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ đều dương
Bài 7: Cho (Cm): y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m +1
	Định m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành 1
 	cấp số cộng.
Bài 8: Cho (C): và (P): y = x2 + a
	Tìm a để (C) tiếp xúc với (P)
Bài 9: Cho các đường (C): 
	(Δ1): y = - x + m	và	(Δ2): y = x + 3	
	Tìm m để (Δ1) cắt (C) tại hai điểm A và B đối xứng nhau qua (Δ2)
Bài 10: Chứng minh rằng, nếu đồ thị của hàm số: y = x3 + ax2 + bx + c 	
	 cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành.
Bài 11: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x – 6 (C). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 3 	 điểm phân biệt x1, x2, x3 sao cho 2x2 = x1 + x3. Tìm 3 nghiệm đó
Bài 12: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x3 - 3x + m = 0
	ĐS: -1< m < 1
Bài 13: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m
Bài 14: Cho phương trình: 
	 a) Giải phương trình với m = 3
	 b) Tìm m để PT có nghiệm
Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m	
Bài 16: Cho phương trình: 	
	 a) Giải phương trình với m = -	
	 b) Tìm m để PT có nghiệm	
Bài 17: Tìm m để PT sau có nghiệm thực: 3 	
	(Đại học K