Giáo trình bồi dưỡng hsg – giải toán trên máy tính cầm tay (casio 570vn plus)

2 – 3x + 2) + 0
* Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta được thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r. Theo sơ đồ Hornơ ta có:
a1
a3
a2
a0
r
b2
b1
a 
b0
=ab2 + a3
=ab1 + a2
= ab0 + a1
= a0
3. Lưu ý
Nếu đa thức f(x) có bậc n thì f(x) được biểu diễn như sau:
 (Với n+1 hệ số a)
Nếu f(x) có hệ số của bậc cao nhất là a và có các nghiệm thì f(x) được biểu diễn như sau:
 (Với là các số đã biết)
II. VÍ DỤ
Dạng 1. Tính giá trị của đa thức: 
Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …
Phương pháp: Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính Hoặc sử dụng biến nhớ (Bộ nhớ)
Ví dụ : Tính khi x = 1,8165
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ 
Ấn phím: 18165
Nhập vào màn hình:
Ấn Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ 
Ấn phím: 18165
Nhập vào màn hình:
 Ấn Kết quả: 1.498465582
Ví dụ 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
 	Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P()
H.Dẫn: Lập công thức P(x)
- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng 
- Kết quả: 	P(1,25) = ; P(4,327) = 
 	P(-5,1289) = ; P() =
Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 tại x = 0,53241
H.Dẫn: Áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta có:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 = 
Từ đó tính P(0,53241) = 
Dạng 2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b 
Trường hợp 1: Tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho ax + b
* Tồn tại đa thức q(x) sao cho: f(x) = (ax + b) . q (x) + r (r là dư; )
Trước hết ta tìm x sao cho (Tìm được ) 
Suy ra f() = 0. q () + r 
Vậy r = f()
Ví dụ 1: Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5)
Hướng dẫn: Ta có: 2x – 5 = 0 Þ
Tính trên máy ta được: r = = 
Ví dụ 2: Tìm số dư trong phép chia: cho x – 1,624
Số dư r = f(1,624) = 85,92136979
Trường hợp 2: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)
* Để tìm dư: Ta giải như dạng toán 1
* Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép chia đa thức P(x) cho (x +) sau đó nhân vào thương đó với ta được đa thức thương cần tìm.
Ví dụ 1: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)
Hướng dẫn: Ta có: 2x – 1Þ, Thực hiện phép chia P(x) cho bằng sơ đồ Hoocner ta được:
P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = . Từ đó ta phân tích:
P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2... 
 = (2x - 1). 
Trường hợp 3: Tìm dư của phép chia f(x) cho (x–a)
* Ta có: r = f(a)
* Ngoài cách tính thông thường ta có thể dùng Hoocner tìm.
	Ví dụ: Tìm Thương và số dư của phép chia đa thức f(x) = x3 -5x2+11x-19 cho (x-2)
Sơ đồ Hocner:
Vậy : x3 -5x2+11x-19 = ( x-2)( x2 -3x +5 ) - 9
 Thương là : x2 -3x +5 Số dư là: - 9
Trường hợp 4: Tìm dư của phép chia cho 
Dư của có dạng Ax + B với à Từ đó tìm được A và B
(Với là 2 nghiệm của )
Ví dụ: Tìm số dư 
Hướng dẫn: Ta có nghiệm của mẫu số là -6 và 1 nên
	P(-6) = -185= A(-6) +B
	P(1) = 4 = A(1)+B
	Suy ra: A = 27, B=-23.
	Số dư là 27x-23
Dạng 3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m
Trường hợp 1: Xác định tham số m để đa thức f(x) = P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b 
Ta có: 
	f(x) chia hết cho ax+b khi là nghiệm của f(x) hay
Vậy: .
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2
H.Dẫn: Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó: 
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P(x) = (3x + 2).H(x) Hay P1(x) + m = (3x + 2).H(x)
Ta có: 
Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại ta được m = 
Ví dụ 2: Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?
Hướng dẫn: Ta tính r = p (- 3) = - 757 
Þ a2 = -r = 757 
=> 
Trường hợp 2: Xác định tham số m để đa thức P(x) + m có nghiệm là a.
Phương pháp: Nếu a là nghiệm của P(x) + m thì 
P(a) + m=0 
Þ m = - P(a)
Ví dụ: Với giá trị nào của m thì A(x)= có nghiệm bằng 3.
Hướng dẫn: Đặt B(x)= khi đó A(x)= B(x) - m
Vì 3 là nghiệm của A(x) nên 	
A(3)=0 
Þ B(3) - m =0
Þ - m = - B(3) Þ m = B(3) = =…
Dạng 4. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Phương pháp: Áp dụng lược đồ Hoocner ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x - c: 
 P(x) = r0 + r1(x-c) + r2(x-c)2 +…+ rn(x-c)n.
Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
Hướng dẫn: Trước tiên thực hiện phép chia P(x) = q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Hoocner để được thương q1(x) và số dư r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1
-3
0
1
-2
 x4 - 3x2 + x - 2
3
1
0
0
1
1
q1(x)=x3+1, r0 = 1
3
1
3
9
28
q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28
3
1
6
27
q3(x)=x+6, r2 = 27
3
1
9
q4(x)=1=a0, r3 = 9
Vậy: x4 – 3x3 + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4.
Dạng 5. Tìm các hệ số của đa thức
Trường hợp 1: Xác định các hệ số a1; a2; …an của đa thức F(x) khi biết các giá trị F(x1) , F(x1), …F(xn) 
(Số hệ số chưa biết bằng với số điều kiện: Giải bằng cách lập hệ phương trình hoặc dự đoán)
Cách 1: Đưa về hệ phương trình dạng chính tắt để giải
Ví dụ 1: Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.Tìm f(10) = ? 
H.Dẫn: Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 
Nên
Thế d=10 vào 3 phương trình cuối và giải hệ gồm 3 phương trình ẩn a, b, c trên MTBT cho ta kết quả: Þ
Ví dụ 2: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư là 6 
Và f(-1) = -18. Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
- Giải tương tự Ví dụ 1, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x . Từ đó tính được f(2005) = 
Cách 2: Dự đoán biểu thức sinh ra giá trị của F(a) , F(b), F(c)…
Ví dụ 1: Cho đa thức P( x ) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e . 
Biết P( 1 ) = 1, P( 2 ) = 4, P( 3 ) = 9, P( 4 ) = 16, P( 5 ) = 25. 
 Tính các giá trị P( 6 ), P( 7 ), P( 8 ), P( 9 )
H.Dẫn 
a/ Ta có : P( 1 ) = 1, P( 2 ) = 4, P( 3 ) = 9, P( 4 ) = 16, P( 5 ) = 25. (Có dạng x2)
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2 
Dễ thấy : Q( 1 ) = 0 ,Q( 2 ) = 0 ,Q( 3 ) = 0, Q( 4 ) = 0, Q( 5 ) = 0
Suy ra : 1, 2, 3, 4, 5 là nghiệm của đa thức Q(x) 
Vì hệ số của x5 là 1 nên suy ra Q(x) có dạng : 
Q(x) = ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 )( x – 4 )( x – 5 ) 
Do Q(x) = P(x) – x2 
Þ P(x) = Q(x) + x2 
 =( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 )( x – 4 )( x – 5 ) + x2 
	 	 = x5 - 15x4 + 85x3 - 284x2 + 274x – 120
Suy ra : 	P(6) = 5.4.3.2.1+62 = 156
	P(7) = 6.5.4.3.2.1 +72= 769
	P(8) = 7.6.5.4.3.2.1+82 = 2584
	P(9) = 8.7.6.5.4.3.2.1 +92= 6801
Ví dụ 2 Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q .Biết Q(1) = 5, Q(2) = 7, Q(3) = 9, Q(4) = 11 .Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) 
Hướng dẫn 
Q(1) = 5 = 2.1 + 3; 
Q(2) = 7 = 2.2 + 3; 
Q(3) = 9 = 2.3 + 3 ; 
Q(4) = 11 = 2.4 + 3
Xét đa thức P(x) = Q(x) – (2x + 3)
Dễ thấy P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức P(x).
Vì hệ số của x4 bằng 1 nên P(x) có dạng:
P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4).
Q(x) = Px + 2x + 3 = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4).+ 2x +3
Tính Q(10)……….
Trường hợp 2: Xác định các hệ số a1; a2; …an của đa thức F(x) khi biết các giá trị F(x1),F(x1), …F(xn-1)
(Số hệ số chưa biết nhiều hơn số điều kiện)
Ví dụ 1: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:
 f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.Dẫn: Ta có: 	
Xét đa thức g(x) = f(x) - (x2 + 2). Ta thấy 1; 3; 5 là các nghiệm của g(x) mặt khác f(x) có bậc 4 và có hệ số của bậc cao nhất là 1 nên: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - α) Suy ra:
 (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - α) = f(x) - (x2 + 2)
Vậy f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - α) + x2 + 2.
Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = 
Ví dụ 2: Cho đa thức P(x) = 
Biết 
Tính 
Hướng dẫn:
Giả sử 
Vì P(5) = 28 nên : 28 = 25 + 4.3.2.1.(5 - ). Từ đó tìm được = 
Vậy 
Kết quả : 
III. BÀI TẬP
Bài 1: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi cia P(x) cho 3x-2 và phân tích P(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.
d. Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
Bài 2: Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
b. Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy nhất.
Bài 3: Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.
a. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
b. Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5
c. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
b. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
Bài 4 a. Tính với x= -7,1254
b. .Cho x=2,1835 và y= -7,0216. Tính 
c. Tìm số dư r của phép chia :
Bài 5 Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. Tính:
a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4.
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7.
d. Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).
Bài 6 a. Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48.
Tính P(2002)?
b. Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)?
Bài 7 Cho hai đa thức P(x) = x4 +5x3 – 6x2 + 3x + m v Q(x) = 5x3 – 4x2 + 3x + 2n.
a) Tìm giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 3 .
b) Với m và n vừa tìm được , hãy giải phương trình P(x) - Q(x) = 0 
c) Cho phương trình : 2,5x5 – 3,1x4 +2,7x3 +1,7x2 – (5m – 1,7)x + 6,5m – 2,8 có một nghiệm là 
x =0,6 . Tính giá trị của m chính xác đến 4 chữ số thập phân
 Bài 8 Cho đa thức f(x) bậc 4 , hệ số cao nhất là 1 thỏa mãn :
 f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
Bài 9 Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 
Tính P(2) 
Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3
Bài 10 Cho P(x) = x5+ax4 +bx3+cx2+dx+e. Tìm a, b, c