Giáo án tự chọn Khối 11 ban KHTN

 nên A’ và B’ phân biệt. Ta sẽ chứng minh rằng F(d) là đường thẳng A’B’. 
Lấy điểm M thuộc d, gọi M’ = F(M). Áp dụng câu b) của bài 1, ta có: 
M Î d Û , -¥ < t < + ¥
	Û , -¥ < t < + ¥
	Û M’ thuộc đường thẳng A’B’. 
Vậy F(d)là đường thẳng A’B’. 
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là tâm đối xứng của nó và E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA như hình 4.1. Chứng minh rằng hai hình thang AEID và FBEH bằng nhau. 
* Để chứng minh hai hình bằng nhau ta chỉ ra một phép dời hình biến hình này thành hình kia. 
Giải:
Phép quay tâm I góc 900 biến FBEH thành EAHG. Phép đối xứng qua đường trung trực của AE biến EAHG thành AEID. Do đó hai hình thanh AEID và FBEH bằng nhau. 
Bài 4: Trên một vùng đồng bằng có ba thành phố A, B, C tạo thành một tam giác nhọn như hình 4.2. Người ta muốn tìm một vị trí I ở trong tam giác ABC để xây dựng một sân bay chung cho cả ba thành phố đó sao cho tổng khoảng cách từ I tới các trung tâm của ba thành phố đó là ngắn nhất. 
* Để giải các bài toán tìm điểm sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến một số điểm cho trước là ngắn nhất ta thường dùng các phép dời hình thích hợp để nối các đoạn thăẳg đang xét lại thành một đường gấp khúc. Khi đó tổng các khoảng cách là ngắn nhất khi đường gấp khúc đó thuộc một đường thẳng. 
Giải
Bài toán thực tiễn trên được đưa về bài toán hình học sau: 
Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm I nằm trong tam giác đó sao cho IA + IB + IC 
Lâấ điểm I nằm trong tam giác ABC. Phép quay tâm B góc 600 biến I thành J và biến A thành A’. 
Để ý rằng (BI, BJ) = 600, (BA’, BA) = -600. 
Ta có:
 (BI, BA)=(BI,BJ)+(BJ,BA’)+(BA’,BA)=(BJ, BA’) 
Do đó tam giác BIA bằng tam giác BIA’ (c-g-c) 
Từ đó suy ra A’J = AI 
Do đó IA + IB + IC = A’J + JI + IC ngắn nhất khi A’, J, I, C thẳng hàng, J ở giữa A’I và I giữa JC. 
Khi đó: ; 	
Vậy I nhìn các cạnh của tam giác ABC dưới góc 1200. 
Để xác định điểm I ta dựng ảnh A’ của A qua phép quay tâm B góc 600. 
Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều và (BI, BJ)=600. Ta sẽ chứng minh I là điểm cần tìm. 
Vật vậy, do nhọn nên 0 600 và = 600 nên I phải nằm trong tam giác ABC. Khi đó dễ thấy A’, J, I, C thẳng hàng, J ở giữa A’I, I ở giựa JC và IA + IB + IC = A’J + JI + IC = A’C nên nó ngắn nhất. 
Bài 5: Cho điểm A thuộc đường tròn C đường kính BC như hình 4.4. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC tam giác ABD vuông cân ở D. Gọi I là trung điểm của DB, tìm tập hợp các điểm I khi A chạy trên nửa đường tròn C. 
* Để có thể dùng phép biến hình giải các bài toán tìm tập hợp điểm ta xem tập hợp điểm đó là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến hình xác định. 
Giải:
Trên tia BD lấy điểm E sao cho BE = BA. Do (BA, BE) = 450 nên có thể em E là ảnh của A qua phép quay tâm B góc 450. Ta lại có: 
Do đó: 
Vậy I là ảnh của E qua phép vị tự tâm B tỉ số . Khi đó I là ảnh của A qua phép đồng dạng F là hợp thành của phép quay tâm B góc 450 và phép vị tự tâm B tỉ số . Do đó khi A chạy trên nửa đường tròn C, thì I chạy trên nửa đường tròn C’ là ảnh của C qua phép đồng dạng F. 
III. BÀI TẬP: 
1. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là một phép tịnh tiến. 
2. Chứng minh rằng phép dời hình biến một tia thành một tia. 
3. Cho hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ có AB = A’B’ như hình 4.5. Tìm một phép dời hình biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’. 
4. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABD và BCE. Dựng hình bình hành DCEF. Chứng minh AEF là tam giác đều. 
5. Cho hai hình vuông ABCD và AEFG như hình 4.6. Gọi I, J, L, M lần lượt là trung điểm của BD, DE, EG, GB. Chứng minh rằng tứ giác IJLM là hình vuông. 
6. Cho đường tròn C và điểm A nằm ngoài đường tròn. Với mỗi điểm B thuộc C, dựng hình vuông ABCD sao cho nếu đi dọc các cạnh theo chiều ABCD thì luôn thấy hình vuông ở bên trái như hình vẽ 4.7. Chứng minh rằng B chạy trên C thì C và D cũng chạy trên những đường tròn cố định. 
7. Cho hai điểm phân biệt A, B và đường tròn (O) không có điểm chung với đường thẳng AB. Chứng minh rằng khi điểm C chạy trên đường tròn (O) trọng tâm tam giác ABC cũng chạy trên một đường tròn cố định. 
8. Cho dây cung AB độ dài không đổi có hai đầu mút chạy trên đường tròn tâm O bán kính R và một điểm C cố định trên (O). Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC chạy trên một đường tròn cố định. 
CHỦ ĐỀ 4:
QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 
I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC 
A. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: 
- Đường thẳng cắt mặt phẳng 
- Đường thẳng song song với mặt phẳng 
- Đường thẳng nằm trong mặt phẳng 
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: 
	- Hai mặt phẳng cắt nhau 
	- Hai mặt phẳng song song với nhau 
	- Hai mặt phẳng trùng nhau. 
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: 
- Hai đường thẳng chéo nhau (không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng) 
- Hai đường thẳng cắt nhau 
- Hai đường thẳng song song nhau 
- Hai đường thẳng trùng nhau 
4. Các xác định một mặt phẳng
Một mặt phẳng được xác định bởi: 
	- Ba điểm phân biệt không thẳng hàng 
	- Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó
	- Hai đường thẳng cắt nhau 
	- Hai đường thẳng song song 
B. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 
5. Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 
6. Nếu d’ nằm trong mặt phẳng (a) và d song song d’ thì d // (a) hoặc d chứa trong (a)
7. Cho d song song với (a). Nếu (b) chứa d và cắt (a) theo giao tuyến d’ thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với d. 
C. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG: 
9. Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung 
10. Nếu (a) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với (b) thì (a) song song với (b). 
11. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. 
12. Cho hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. 
13. Định lý Ta – lét:
- Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn tương ứng tỉ lệ. 
- Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a’ lần lượt lấy các điểm A, B, C và A’,B’,C’ sao cho: 
Khi đó ba đường AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song sng với một mặt phẳng. 
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: 
1. Các xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: 
* - Cách 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. 
 - Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và tìm phương của giao tuyến. 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB > CD). Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: 
a) (SAC) và (SBD) 
b) (SAD) và (SBC)
c) (SAB) và (SCD). 
Giải 
Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. 
a. Vì S và O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) nên 
(SAC)Ç(SBD)=SO
b. Tương tự, (SAD)Ç(SBC)=SI
C. S là điểm chung của (SAB) và (SCD), hơn nữa (SAB) và (SCD) lần lượt chứa AB và CD song song với nhau nên giao tuyến là đường thẳng D đi qua S và song song với AB và CD. 
2. Tìm tập hợp giao điểm: 
Bài 2: Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là tứ giác sao cho AD cắt BC tại E, M là điểm thuộc đoạn SC. 
a. Tìm giao điểm N của SD và (MAB). 
b. Gọi I là giao điểm của AM và BN. Khi M di động trên đoạn SC thì điểm I chạy trên đường nào? 
Giải:
a. Gọi F là giao điểm của BM và SE; N là giao điểm của FA và SD.
Ta có: N Î AF và AF Ì (ABM) suy ra N Î (ABM) 
Do đó: N = SD Ç (ABM) 
b. Ta có: I = AM Ç BN . Do đó I Î (SAC) Ç (SBD) 
Vì (SAC) Ç (SBD) = SO (O là giao điểm của AC và BD) nên I Î SO. 
Nhận xét rằng trong mặt phẳng (SAC), ta thấy 
Khi M º S thì I º S, khi M º C thì I º O 
Vậy điểm I chạy trên đoạn SO. 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD. Một mặt phẳng (a) quay quanh IJ cắt cạnh AD và AC lần lượt tại K và L. 
a. Trong trường hợp IL và JK cắt nhau tại M thì điểm M chạy trên đường nào?
b. Gọi N là giao điểm của IK và JK thì điểm N chạy trên đường nào? 
Giải:
a. Ta có M = IL Ç JK 
Do đó M Î AB = (ABC) Ç (ABD) 
Nhận xét rằng khi mặt phẳng (a) đi qua trung điểm E của đoạn AC thì (a) không cắt đường thẳng AB.
Khi L di động từ A tới E thì M di động trên tia Ax
Khi L di động từ C tới E thì M di động trên tia By
Vậy M chạy trên hai tia Ax, By 
b. Ta có N = IK Ç JL 
Nên N Î (IAD) Ç (JAC)
Gọi O là giao điểm của ID và CJ, thì (IAD) Ç (JAC) = AO
Ta có: N Î AO 
Ta thấy, trong mặt phẳng (IAD) khi K º D thì N º O. 
Vậy điểm N chạy trên đoạn AO. 
3.Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng cố định 
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. M, N là hai điểm lần lượt thuộc đoạn BF và AC với . Chứng minh MN song song với mặt phẳng (CD, EF) 
Giải
Xét 3 đoạn thẳng MN, AB, CF 
Từ giả thiết ta suy ra: . 
Theo định lí Ta – lét đảo ta có: MN,AN, CF cùng song song với một mặt phẳng. Mặt khác CF Ì (CFD) và AB // CD, suy ra AB // (CFD). Vì AB và CF chéo nhau nên (CFD) là mặt phẳng duy nhất chứa CF mà song song với AB. 
Vậy MN, AB, CF cùng song song với mặt phẳng (a) nào đó mà (a) song song với mặt phẳng (CFD) 
Vậy MN // (CFD) hay MN // (CD, FE) 
Bài 5:Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi M, N là hai điểm di động trên hai đoạn AD và BE sao cho . 
Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. 
Giải:
Trong mặt phẳng (ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại P, ta có: nên PN // CE 
Ta có (MNP) // (DCE) (Vì MP // DC và PN // CE) 
Mà MN nằm trong (MNP) nên MN song song với (DCE) (cố định) 
* Chú ý: Ta có thể sử dụng định lý Ta – lét đảo trong không gia để giải bài này. 
III. BÀI TẬP: 
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành 
a. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). 
b. Một mặt phẳng (a) thay đổi qua BC cắt cạnh SA tại A’ (A’ không trùng với S và A) và cắt cạnh SD tại