Giáo án Toán Lớp 9 - Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình - Nguyễn Văn Nhì

ố mới đã đổi chỗ hai chữ số là 10y + x
Theo đầu bài ta có hệ 
Giải hệ này ta đợc nghiệm là: 
Vậy số đã cho là: 18
Ví dụ 6 : 
Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1006 nếu lấy số lớn chia cho số bé được thương là 2 và số dư 124.
Nam , P Anh , Phúc,Thoan , Hạ , Bình Dung : 712, 294
Hướng dẫn giải
Gọi số lớn là x gọi số bé là y đ/k x, y thuộc N
Ta có hệ phương trình 
Giải ra ta được số lớn là 712 số bé là 294
Ví dụ 7 :
Tìm một số có hai chữ số nếu chia số đó cho tổng hai chữ số 
được thương là 6 nếu cộng tích hai chữ số với 25 thì được số mới khi đổi 2 chữ số cho nhau
Hướng dẫn giải
Gọi chữ số hàng chục là x chữ số hàng đơn vị là y
Nếu chia số đó cho tổng 2 chữ số ta có 
 nếu lấy tích cộng thêm 25 ta có xy +25= 10y + x
Theo bài ra ta có HPT : 
Giải ra ta được số đó là 54
Ví dụ 9: 
Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai chữ số của nó có phân số tối giản là và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ số với nó nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27.
Bạn nào có kết quả nhanh nhất chính xác sẽ nhận được quà nhé ! 
Phúc :96, Hạ : 96
Hướng dẫn
Gọi số cần tìm là với .
Theo giả thiết: 
Giải hệ ta có (loại). Suy ra .
Vâỵ số cần tìm là 96.
Ví dụ 10 : ( về nhà )
Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34.
Hướng dẫn giải 
Gọi chữ số phải tìm là ; 0 a,b 9, a # 0.
Vì chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 2 do đó ta có phương trình: a–b = 2.
Vì tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34, do đó ta có phương trình: a.b – ( a + b) = 34.
Theo bài ra ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta được : 
Vậy số phải tìm là 86.
Bài tự luyện
Bài 43: Cho một tự nhiên có hai chữ số nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 36 tổng của số đã cho và số mới tạo thành là 110 . Tìm số đã cho .
	Hướng dẫn giải 
	( 3 ;7 )
Bài 44: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số là 16 , nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới nhỏ hơn của số ban đầu là 18 đơn vị .
Hướng dẫn giải 
	( 9; 7)
Bài 45 : Tổng của hai số bằng 59 hai lần của số này bé hơn 3 lần của số kia là 7. Tìm hai số đó.
	Hướng dẫn giải 
	( 34 ; 25)
Bài 46: Tìm 2 hai số biết rằng hiệu của chúng bằng 1275 và nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 3 và số dư là 125 .
Hướng dẫn giải 
	( 1850 ; 575 )
Dạng 2: Bài toán về chuyển động
Kiến thức cần nhớ :
Chú ý các công thức:
, trong đó S là quãng đường, v là vận tốc và t là thời gian.
Hai vật chuyển động cùng chiều trên quãng đường AB : SA+SB=AB
Hai vật chuyển động ngược chiều trên quãng đường AB (VA>VB) : SA-SB=AB
Trong bài toán chuyển động trên mặt nước, ta có
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước.
Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực – vận tốc dòng nước.
Vận tốc thực luôn lớn hơn vận tốc dòng nước.
Ví dụ 1 :
Một ô tô đi từ A đến B cách nhau km gồm hai đoạn đường nhựa và đường sỏi. Thời gian xe đi trên đoạn đường nhựa và sỏi lần lượt là giờ và giờ. Tính vận tốc của ô tô đi trên từng đoạn đường, biết trên đoạn đường nhựa vận tốc ô tô lớn hơn trên đoạn đường sỏi là km /h.
Lời giải
Gọi vận tốc ôtô đi trên đoạn đường nhựa là ( km/h) đk 
Vận tốc của xe đi trên đoạn đường sỏi là ( km/h) đk 
Do trên đoạn đường nhựa vận tốc ô tô lớn hơn trên đoạn đường sỏi là km /h nên ta có phương trình: x-y = 25 (1)
Quãng đường nhựa ô tô đi sau 1 giờ là : x (km)
Quãng đường sỏi ô tô đi sau 2 giờ là : 2y (km)
Tổng quãng đường nhựa và đường sỏi là 115 km nên ta có phương trình : x+ 2y = 115 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có hpt: (TMĐK).
Vậy vận tốc ô tô trên đoạn đường nhựa và đường sỏi lần lượt là km/h và km/h. 
Ví dụ 2 :
Một ô tô xuất phát từ tỉnh A và đi đến tỉnh B với vận tốc là km/h. Sau khi đến B người đó quay trở về A với vận tốc km/h. Tính thời gian của ô tô lúc đi và lúc về, biết tổng thời gian cả đi lẫn về là giờ.
Lời giải
Gọi thời gian ôtô lúc đi và về lần lượt là , (giờ) đk 
Tổng thời gian cả đi và về là 7 giờ nên ta có pt : x+y =7 ( 1)
Quãng đường ô tô đi từ A đến B : 30x ( km)
Quãng đường ô tô đi từ B về A : 40y ( km)
Do quãng đường AB và BA là như nhau nên ta có pt : 30x=40y
Kết hợp (1) và (2) ta có hpt : (TMĐK).
Vậy thời gian lúc đi là giờ, lúc về là giờ.
Ví dụ 3 :
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm km/h thì đến B sớm hơn dự định giờ . Nếu người đó giảm vận tốc km/h thì đến B muộn hơn giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định và độ dài quãng đường AB.
Lời giải
Gọi vận tốc dự định lần lượt là (km/h); (ĐK: ).
Gọi thời gian dự định lần lượt là y (km/h); (Đk ).
Quãng đường AB là xy ( km)
Nếu người đó tăng vận tốc thêm km/h thì đến B sớm hơn dự định giờ nên ta có pt : 
 (x+20)(y-1)=xy (1)
Nếu người đó giảm vận tốc km/h thì đến B muộn hơn giờ nên ta có pt :
 (x-10)(y+1)=xy (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: Vậy, vận tốc dự định là km/h, thời gian dự định giờ, quãng đường AB: km. 
Ví dụ 4 :
Một người đi xe máy dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định, nếu người này tăng tốc thêm km/h thì sẽ đến B sớm hơn giờ, còn nếu xe chạy với vận tốc giảm đi km/h thì sẽ đến B chậm hơn giờ. Tính quãng đường AB.
Lời giải
Gọi vận tốc và thời gian dự định lần lượt là (km/h); (h). (ĐK: ;).
Ta có hệ phương trình: .
Giải hệ phương trình, ta được 
Vậy,vận tốc dự định là km/h, thời gian dự định giờ, quãng đường AB: km. 
Một ca nô chạy trên sông trong giờ xuôi dòng km và ngược dòng km. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó ca nô này chạy trong giờ xuôi dòng km và ngược dòng km. Hãy tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước, biết rằng các vận tốc này không đổi. 
Lời giải.
Gọi vận tốc riêng của ca nô (km/h), x > y
Vận tốc dòng nước là y (km/h) đk y > 0
Vận tốc xuôi dòng : x+y ( km/h)
Vận tốc ngược dòng : x-y (km/h)
Thời gian xuôi dòng 38km là : 
Thời gian ngược dòng 64km là : 
Tổng thời gian đi xuôi và ngược trên đoạn đường đó hết 3 giờ nên ta có phương trình :
	 (1)
Trong giờ xuôi dòng km và ngược dòng km nên ta có phương trình :
 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
Đặt Ta được hệ . Giải HPT ta được .
Từ đó tìm được: , (TMĐK).
Vậy vận tốc ca nô là km/h, vận tốc dòng nước là km/h.
Ví dụ 7 :
Hai bến sông A, B cách nhau km. Một ca nô xuôi dòng từ bên A đến bến B rồi ngược từ B trở về A hết tổng thời gian là giờ. Biết thời gian ca nô xuôi dòng km bằng thời gian ca nô ngược dòng km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng và vận tốc của dòng nước.
Lời giải
Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Đặt . Giải HPT ta được .
Từ đó tìm được: , (TMĐK).
Vậy vận tốc ca nô là km/h, vận tốc dòng nước là km/h.
Ví dụ 8 :
Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau km, đi ngược chiều và gặp nhau sau giờ. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai giờ phút thì hai xe gặp nhau khi xe thứ hai đi được phút. Tìm vận tốc của mỗi xe.
Lời giải
Gọi vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Giải HPT ta được . (TMĐK).
Vậy vận tốc xe thứ nhất là km/h, vận tốc xe thứ hai là km/h. 
Ví dụ 9 :
Hai địa điểm A và B cách nhau km. Một xe đạp và xe máy khởi hành cùng lúc đi từ A đến B, sau giờ thì khoảng cách giữa hai xe là km. Tìm vận tốc hai xe, biết thời gian để đi hết quãng đường AB của xe đạp nhiều hơn xe máy là giờ.
Lời giải
Gọi vận tốc của xe máy và xe đạp lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Giải HPT ta được (TMĐK).
Vậy vận tốc xe máy là km/h, vận tốc xe đạp là km/h. 
Ví dụ 10 :
Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
Lời giải
Gọi vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Giải HPT ta được (TMĐK).
Vậy vận tốc ô tô là km/h, vận tốc xe máy là km/h. 
Ví dụ 11 :
Một xe khách và một xe Du lịch khởi hành cùng một lúc từ Hà Nội đi đến Hải Phòng. Xe Du lịch có vận tốc lớn hơn xe khách là km/h, do đó xe đã đến Hải Phòng trước xe khách phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết khoảng cách giữa Hà Nội và Hải Phòng là km.
Lời giải
Gọi vận tốc của xe du lịch và xe khách lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Giải HPT ta được (TMĐK).
Vậy vận tốc xe Du lịch là km/h, vận tốc xe khách là km/h. 
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hai số có tổng bằng . Bốn lần của số bé lớn hơn lần của số lớn là . Tìm hai số đã cho. 	ĐS: và .
Bài 2. Tìm số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là , số dư là .	ĐS: và .
Bài 3. Cho một số có hai chữ số, nếu đổi chỗ hai chữ số của nó ta được một số mới lớn hơn số đã cho là . Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là . Tìm số đã cho.	ĐS: .
Bài 4. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm km/h thì đến B sớm hơn dự định giờ. Nếu người đó giảm vận tốc km/h thì đến B muộn hơn giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định và độ dài quãng đường AB.	
	ĐS: km/h, giờ, km.
Bài 5. Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B, cách nhau km, đi ngược chiều và gặp nhau sau giờ. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai giờ phút thì hai xe gặp nhau khi xe thứ hai đi được giờ. Tìm vận tốc của mỗi xe.	ĐS: km/h và km/h.
Bài 6. Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng km và ngược dòng km hết tất cả giờ. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó, xuôi dòng km và ngược dòng km hết tất cả giờ. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.	ĐS: km/h và km/h.
Bài 7. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy giờ. Tính vận tốc mỗi xe.	ĐS: km/h và km/h.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ