Giáo án Giải tích 11 chuẩn tiết 49 - 52: Giới hạn của dãy số

TUẦN :19
TIẾT:49; 52 (4 tiết)
CHƯƠNGIV: GIỚI HẠN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
MỤC TIÊU:
Kiến thức: Học sinh nắm được:
Định nghĩa giới hạn của dãy số, một vài giới hạn đặc biệt, giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Giới hạn tại vô cực.
Kĩ năng:
Vận dụng thành thạo tính chất của giới hạn để tìm giới hạn của dãy số.
Vận dụng giới hạn của dãy số để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Thái độ:
Tự giác tích cực học tập.
Biết phân biệt rõ các khái niệm quy tắc cộng, quy tắc nhân và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể.
Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống .
CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH:
GV: Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở, các ví dụ sinh động.
HS: Ôn lại các kiến thức đã học cấp số.
TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
TIẾT 1
% Hoạt động 1: Đặt vấn đề.
Câu hỏi 1: xét tính tăng, giảm của các dãy số sau đây:
Câu hỏi 2: xét tính bị chặn của dãy số sau đây:
.
Hãy xem xét tính đúng sai của các mệnh đề trên với 3 số hạng đầu tiên.
% Hoạt động 2: định nghĩa giới hạn của dãy số.
Thực hiện HĐ 1: hãy điền vào bảng sau 
N
1
2
3
4
5
un
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Ghi bảng
GV đưa ra các câu hỏi sau:
H1: nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi thế nào khi n trở nên rất lớn?.
H2: n bằng bao nhiêu thì khoảng cách từ un tới 0 bằng 0,01
H3: n bằng bao nhiêu thì khoảng cách từ un tới 0 bằng 0,001?.
GV đặt vấn đề: ta biết rằng dãy số đã cho là dãy số giảm.Vậy: bắt đầu từ số hạng thứ un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?
Từ đó GV cho HS phát biểu định nghĩa1, GV nhận xét rồi đưa ra định nghĩa sau: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạn nào đó trở đi. Kí hiệu hay .
Như vậy,(un) có giới hạn là 0 khi nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.
GV đưa ra các câu hỏi củng cố:
H1: đưa ra một vài ví dụ về dãy số dần tới 0 khi n dần tới vô cực.
H2: dãy số có dần tới 0 khi n dần tới vô cực hay không?
GV đưa ra nhận xét: người ta chứng minh được rằng , nghĩa là |un|có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Hỏi: xét dãy số (un) mà . Kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì: |un| < 0,01; |un| < 0,00001;
● GV nêu định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi , nếu . Kí hiệu: hay 
● Thực hiện HĐ2:
H1: chứng minh rằng: 
H2: cho dãy số (vn) với . Chứng minh rằng 
TL1: khoảng cách đó bằng 0.
TL2: n = 100
TL3: n = 1000
TL1: HS tự cho ví dụ 
TL2: có
TL1: 
Vậy 
TL2: làm tương tự như trên
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:
1. Định nghĩa:
♣ ĐỊNH NGHĨA 1:
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạn nào đó trở đi.
 Kí hiệu 
hay .
♣ ĐỊNH NGHĨA 2:
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi , nếu . 
Kí hiệu: 
hay 
Hoạt động 3: Một vài giới hạn đặc biệt.
● Giáo viên nêu các kết quả:
 với k nguyên dương
 nếu |q| < 1
Nếu un = c (c là hằng số) thì 
Cho ví dụ: tìm các giới hạn sau:
● Giáo viên nêu chú ý: từ nay về sau thay cho ta viết tắt là: 
Dựa vào các kết quả trên để trả lời
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
 với k nguyên dương
 nếu |q| < 1
Nếu un = c (c là hằng số) thì 
♣ Chú ý:
 ta viết tắt là: 
TIẾT 2
Hoạt động 1: Định lí về giới hạn hữu hạn.
Giáo viên nêu định lí:
Nếu và thì:
 nếu 
Nếu với mọi n và thì và 
● Thực hiện ví dụ : 
a)
H1: tử số và mẫu số là những đa thức bậc bao nhiêu?
H2: chia cả tử số và mẫu số cho n2 ta được biểu thức nào?
H3: dựa vào định lí hãy tìm giới hạn của dãy số
b) 
H1:Chia cả tử và mẫu cho n2 ta được biểu thức nào?
H2: Dựa vào định lí hãy tìm giới hạn của dãy số?
TL1: bậc 2
TL2: 
TL3: =3-0 =3
Và = 0.0 + 1 = 1
Nên: lim
TL1: lim
TL2: 
II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:
♣ Định lí 1:
Nếu và thì:
 nếu 
Nếu với mọi n và thì và 
Ví dụ: Tìm 
a ) lim
b ) lim
Giải
a) lim
b) lim
% Hoạt động 1: Định nghĩa giới hạn vô cực
● Thực hiện hoạt động 2:
H1: Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn
H2: Hãy giải câu b)
● GV nêu định nghĩa: 
 ◘ Ta nói dãy số (un) có giới hạn khi , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. 
 Kí hiệu: lim un = hay khi 
 ◘ Dãy số (un) được gọi là có giới hạn khi nếu lim (-un) = 
Kí hiệu: lim un = hay khi 
● GV nêu nhận xét:
lim un = lim(-un ) = 
● Thực hiện ví dụ 6: 
H1: Nhận xét về un khi n tăng lên vô hạn
H2: un > 1000 thì n >?
H3: un > 10000 thì n >?
● GV nêu chú ý trong SGK: Người ta chứng minh được rằng lim un = , nghĩa là un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi
TL1: Dãy un dần tới vô cực
TL2: n = 384. 108
TL1: un rất lớn
 Với n = 1, ta có A1 = 0 3
TL2: n > 31
TL3: n > 101
IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC:
1. Định nghĩa:
 ◘ Ta nói dãy số (un) có giới hạn khi , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. 
 Kí hiệu: lim un = hay khi 
 ◘ Dãy số (un) được gọi là có giới hạn khi nếu lim (-un) = 
Kí hiệu: lim un = hay khi 
♣ Nhận xét:
lim un = lim(-un ) = 
Hoạt động 2: Một vài giới hạn đặc biệt
GV nêu một số kết quả thừa nhận:
a) lim nk = với k nguyên dương;
b) lim qk = nếu q >1
H1: Tìm giới hạn của dãy số 
 lim 12n.
H2: Tìm giới hạn của dãy số
 lim 
TL1: lim 12n = 
TL2: lim = 
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
a) lim nk = với k nguyên dương;
b) lim qk = nếu q >1
Hoạt động 3: Định lí
● GV nêu định lí thừa nhận sau đây:
a) Nếu lim un = a và lim vn = thì 
b) Nếu lim un = a >0, lim vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì 
c) Nếu lim un = và lim vn = a >0 thì 
3. Định lí:
a) Nếu lim un = a và lim vn = thì 
b) Nếu lim un = a >0, lim vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì 
c) Nếu lim un = và lim vn = a >0 thì 
Củng cố. Củng cố.
Bài tập củng cố:
Tìm giới hạn của các dãy số sau:
 Dặn dò: - Học kỹ lí thuyết , xem lại các ví dụ
 - Đọc trước bài mới.
 Hướng dẫn giải bài tập 1 trang 121
( Sử dụngđịnh nghĩa dãy số, phương pháp quy nạp toán học)
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
NỘI DUNG
H1: Hãy tìm 3 số hạng đầu tiên của dãy số
H2: Hãy dự đoán công thức dãy số và chứng minh bằng quy nạp
H3: Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0
H4: Hãy giải câu c)
TL1: 
TL2: ▪ Dự đoán: 
 ▪ Chúng minh dự đoán trên bằng quy nạp 
TL3: Vì nên (un) hội tụ về 0 (theo tính chất lim qn =0 nếu |q| < 1 )
TL4: , ta cần chọn n0 sao cho 
Chẳng hạn, với n0 = 36, thì 236 = (24)9 = 169 > 109. Nói cách khác sau chu kì thứ 36 (nghĩa là sau 36.24000 = 864000 năm) chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại
10-6g = 10-6.10-3kg = kg
a) 
Dự đoán: 
Chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp qui nạp (có thể bỏ qua bước này)
b) (theo tính chất limqn =0 nếu |q| < 1)
c) 10-6g = 10-6.10-3kg = kg
Vì , nên có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Như vậy, |un| nhỏ hơn kể từ chu kì n0 nào đó. Nghĩa là sau một số năm ứng với chu kì này, khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại đối với con người
Hoạt động 2: Hướng dẫn giải bài tập 2 trang 121
(Sử dụng các tính chất của giới hạn dãy số)
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
NỘI DUNG
H1: hãy tìm lim
H2: Chứng minh rằng lim un=1
TL1: lim =0
TL2: Học sinh tự chứng minh
Vì lim=0 nên có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, ta có với mọi n
Từ đó suy ra |un -1| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim(un-1) = 0. Do đó, limun =1
Hoạt động 3: Hướng dẫn giải bài tập 3 trang 121
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
(Sử dụng các tính chất của giới hạn dãy số)
a) 2 b) c) 5 d) 
Hoạt động 4: Hướng dẫn giải bài tập 4 trang 122
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
NỘI DUNG
Xem hình vẽ 51 – SGK
H1: Tính u1 , u2 , u3, u4,., un.
H2: Hãy tính tổng Sn
TL1: u1 = , u2 = , u3 = , u4 =, , un = 
TL2: lim Sn = 
a) u1 = , u2 = , u3 = , , un = 
b) lim Sn = 
Hoạt động 5: Hướng dẫn giải bài tập 5 trang 122
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
NỘI DUNG
H1: Nhận xét về các số hạng của dãy tổng
H2: Hãy tính tổng Sn
TL1: Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn 
TL2: Sn = 
Hoạt động 6: Hướng dẫn giải bài tập 6 trang 122
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
Dựa vào cấp số nhân lùi vô hạn, yêu cẩu học sinh tự giải
(Vì là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội )
% Củng cố.
Nhắc lại các dạng bài tập thường gặp
% Dặn dò:
- Học kỹ lí thuyết , xem lại các bài tập đã giải
- Làm tiếp các bài tập 7, 8 trang 122 (kq: 7/ a. ; b. ; c. ; d. 
 8/ a. 2; b. 0)
- Đọc trước §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Tổ trưởng ký duyệt :