Giáo án day thêm môn Toán 8

ng rồi nhúm :
f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
          = (x + 2)(3x + 2)
   f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2)
c)     Cỏch 3 (tỏch hạng tử tự do c)
-       Tỏch thành 4 số hạng rồi nhúm thành hai nhúm:
   f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)
Cỏch 4 (tỏch 2 số hạng, 3 số hạng)
        f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
        f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)
Cỏch 5 (nhẩm nghiệm): Xem phần III.
Chỳ ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c cú dạng A2 ± 2AB + c thỡ ta tỏch như sau :
                f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Vớ dụ 6. Phõn tớch đa thức f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhõn tử.
Hướng dẫn
Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x. Từ đú ta cần thờm và bớt 12 = 1 để xuất hiện hằng đẳng thức.
Lời giải
f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)
Vớ dụ 7. Phõn tớch đa thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhõn tử.
Lời giải
Cỏch 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)
               = (3x – 1)(3x + 5)
    Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)
2. Đối với đa thức bậc từ 3 trở lờn (Xem mục III. Phương phỏp nhẩm nghiệm)
3. Đối với đa thức nhiờ̀u biờ́n
Vớ dụ 11. Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử
a)     2x2 - 5xy + 2y2 ;
b)    x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Hướng dẫn
Phõn tích đa thức này tương tự như phõn tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c.
Ta tách hạng tử thứ 2 :
2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)
Nhọ̃n xét z - x = -(y - z) - (x - y). Vì vọ̃y ta tách hạng tử thứ hai của đa thức :
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)
= (x - y)(y - z)(x - z)
Chú ý :
1) Ở cõu b) ta có thờ̉ tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))
2) Đa thức ở cõu b) là mụ̣t trong những đa thức có dạng đa thức đặc biợ̀t. Khi ta thay x = y (y = z hoặc  z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0. Vì vọ̃y, ngoài cách phõn tích bằng cách tách như trờn, ta còn cách phõn tích bằng cách xét giá trị riờng (Xem phõ̀n VII).
 PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆM
Trước hết, ta chỳ ý đến một định lớ quan trọng sau :
        Định lớ : Nếu f(x) cú nghiệm x = a thỡ f(a) = 0. Khi đú, f(x) cú một nhõn tử là x – a và f(x) cú thể
viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
        Lỳc đú tỏch cỏc số hạng của f(x) thành cỏc nhúm, mỗi nhúm đều chứa nhõn tử là        x – a. Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyờn của đa thức, nếu cú, phải là một ước của hệ số tự do.
        Vớ dụ 8. Phõn tớch đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhõn tử.
Lời giải
        Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2,  4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa thức f(x) cú một nghiệm x = –2, do đú nú chứa một nhõn tử là x + 2. Từ đú, ta tỏch như sau
Cỏch 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
                  = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cỏch 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
                  = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cỏch 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
                 = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cỏch 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
                 = (x + 2)(x2 – x + 2).
       Từ định lớ trờn, ta cú cỏc hệ quả sau :
Hệ quả 1. Nếu f(x) cú  tổng cỏc hệ số bằng 0 thỡ f(x) cú một nghiệm là x = 1. Từ đú f(x) cú một nhõn tử là x – 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 cú 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nờn x = 1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức cú một nhõn tử là x – 1. Ta phõn tớch như sau :
f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
     = (x – 1)( x – 2)2
Hệ quả 2. Nếu f(x) cú tổng cỏc hệ số của cỏc luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng cỏc hệ số của cỏc luỹ thừa bậc lẻ thỡ f(x) cú một nghiệm x = –1. Từ đú f(x) cú một nhõn tử là  x + 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 cú 1 + 3 = –5 + 9 nờn x = –1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức cú một nhõn tử là x + 1. Ta phõn tớch như sau :
f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)       = (x + 1)( x – 3)2 Hệ quả 3. Nếu f(x) cú nghiệm nguyờn x = a và f(1) và f(–1) khỏc 0 thỡ và đều là số nguyờn.
Vớ dụ 9. Phõn tớch đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhõn tử.
Hướng dẫn
Cỏc ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.
f(1) = –18, f(–1) = –44, nờn ± 1 khụng phải là nghiệm của f(x).
Dễ thấy  khụng là số nguyờn nờn –3, ± 6, ± 9, ± 18 khụng là nghiệm của f(x). Chỉ cũn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Do đú, ta tỏch cỏc hạng tử như sau :               = (x – 3)(4x2 – x + 6)
Hệ quả 4. Nếu  (là cỏc số nguyờn) cú nghiệm hữu tỉ  , trong đú p, q  Z
và (p , q)=1, thỡ p là ước a0, q là ước dương của an .
Vớ dụ 10. Phõn tớch đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 thành nhõn tử.
Hướng dẫn
        Cỏc ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy cỏc số này khụng là nghiệm của f(x). Như vậy
f(x) khụng cú nghiệm nghuyờn. Xột cỏc số , ta thấy  là nghiệm của đa thức, do đú đa thức
cú một nhõn tử là 3x – 1. Ta phõn tớch như sau :
        f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5).
PHƯƠNG PHÁP THấM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
Thờm và bớt cựng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bỡnh ph ương
        Vớ dụ 12. Phõn tớch đa thức x4 + x2 + 1 thành nhõn tử
Lời giải
Cỏch 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
   Cỏch 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x +                               = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cỏch 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)
                                    = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Vớ dụ 13. Phõn tớch đa thức x4 + 16 thành nhõn tử
Lời giải
Cỏch 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Cỏch 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)
                         = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Thờm và bớt cựng một hạng tử làm xuất hiện nhõn tử chung
        Vớ dụ 14. Phõn tích đa thức x5 + x - 1 thành nhõn tử
Lời giải
        Cách 1. x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1
 = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)= (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Cách 2. Thờm và bớt x2 :
x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Vớ dụ 15. Phõn tích đa thức x7 + x + 1 thành nhõn tử
Lời giải
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
                         = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)                    
  = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
                         = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2  - x + 1)
Lưu ý : Các đa thức dạng  x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đờ̀u chứa nhõn tử là x2 + x + 1.
V.  PHƯƠNG PHÁP Đễ̉I BIấ́N
Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai  rồi sử dụng các phương phỏp cơ bản.
Vớ dụ 16. Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :
        (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)
                                         = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
        Nhận xột: Nhờ phương phỏp đổi biến ta đó đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y.
        Vớ dụ 17. Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.
Lời giải
        Cách 1. Giả sử x ≠ 0. Ta viờ́t đa thức dưới dạng :
        .
        Đặt  thì . Do đó :
        A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
            =  = (x2 + 3x - 1)2.
        Dạng phõn tích này cũng đúng với x = 0.
        Cách 2. A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1)
   = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.
VI.  PHƯƠNG PHÁP Hậ́ Sễ́ BẤT ĐỊNH
        Vớ dụ 18. Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3
Lời giải
        Thử với x= ±1; ±3 khụng là nghiệm của đa thức, đa thức khụng có nghiệm nguyờn cũng khụng có nghiệm hữu tỷ. Như vọ̃y đa thức trờn phõn tích được thành nhõn tử thì phải cú dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd
                                       = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3.
        Đụ̀ng nhṍt các hợ̀ sụ́ ta được :
        Xét bd= 3 với b, d ẻ Z, b ẻ {± 1, ± 3}. Với b = 3 thì d = 1, hợ̀ điờ̀u kiợ̀n trờn trở thành
  2c = -14 - (-6) = -8. Do đó c = -4, a = -2.
Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3     = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).
VII.  PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIấNG
        Trong phương pháp này, trước hờ́t ta xác định dạng các nhõn tử chứa biờ́n của đa thức, rụ̀i gán cho các biờ́n các giá trị cụ thờ̉ đờ̉ xác định các nhõn tử còn lại.
        Vớ dụ 19. Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y).
Lời giải
  Thay x bởi y thỡ P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0. Như vậy P chứa thừa số (x – y).
  Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thỡ p khụng đổi (đa thức P cú thể hoỏn vị vũng quanh). Do đú nếu P đó chứa thừa số (x – y) thỡ cũng chứa thừa số (y – z),   (z – x). Vậy P cú dạng k(x – y)(y – z)(z – x).
  Ta thấy k phải là hằng số vỡ P cú bậc 3 đối với tập hợp cỏc biến x, y, z, cũn tớch         (x – y)(y – z)(z – x) cũng cú bậc 3 đối với tập hợp cỏc biến x, y, z.
  Vỡ đẳng thức  x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đỳng với mọi x, y, z nờn ta gỏn cho cỏc biến x ,y, z cỏc giỏ trị riờng, chẳng hạn x = 2, y = 1,