Giáo án dạy thêm Đại số 11 - Chương 3 - Bài 2: Dãy số

§2 DÃY SỐ
KIẾN THỨC
BÀI TẬP
I.ĐỊNH NGHĨA:
1. Đn: hs u xđ trên tập N*, đgl dãy số vô hạn
+ dạng khai triển dãy (un) : 
u1: số hạng đầu; un: số hạng tổng quát.
2. Đn dãy hữu hạn: (sgk)
II. CÁCH CHO DÃY SỐ:
1. Cho dãy số bằng công thức của số hạng TQ:
t.tự cho câu b,c.
2. cho dãy bằng pp truy hồi:
+ cho số hạng đầu ( hay vài số hạng đầu)
+ cho công thức truy hồi: biểu thị số hạng thứ n qua các số hạng trước.
3. cho dãy số bằng pp mô tả:
III. BIỂU DIỄN HH: (sgk)
VD1: xác định số hạng đầu và số hạng t. quát
a. dãy (un): 2;4;6;;2n;
b. dãy (vn): 1;4;9;;n2;.
c. dãy (an): 
d. dãy hằng: 2;2;2;;2;
VD2: xác định dãy (un) biết số hạng tổng quát:
: 
với n = 1: u1= 1; với n = 2: 
với n = 3: ; với n =4: ; 
nên dãy (un) : 
: 
VD3: xác định dãy số biết: 
a. với 
ta có u3 = u2 + u1 = 1+1 = 2;
u4 = u3 + u2 = 2+1 =3; .
Nên dãy (un): 1;1;2;3;5;.
b. 
(un): 3;5;7;
c. (un): 
(un): 1;2;4;8;
VD4: a. dựa vào số cho dãy số
Ta có sô 3,141592654
Lấy u1= 3,14; u2= 3,141; u3= 3,1415; 
Suy ra dãy (un) dựa theo số 
 b. dựa vào số .
IV. DÃY SỐ TĂNG, GIẢM VÀ DÃY BỊ CHẶN
1. dãy số tăng, giảm:
Dãy (un) tăng 
Dãy (un) giảm 
2. dãy bị chặn:
Dãy (un) bị chặn trên 
Dãy (un) bị chặn dưới 
Dãy (un) bị chặn 
Cách c/m dãy tăng giảm: 
+ Xét > 0 thì dãy tăng
+ Xét < 0 thì dãy giảm.
VD5: xét tính tăng giảm của dãy sau:
a. dãy (un) có số hạng tổng quát: un = 2 – 2n
ta có: un = 2 – 2n; un+1 = 2 – 2(n+1) = – 2n.
nên .
Do đó dãy (un) giảm.
; 
Câu b) tương tự
c) dãy (vn): Þdãy k tăng; k giảm
Cách c/m dãy bị chặn: 
+ Chỉ ra sự tồn tại của M hoặc m.
+ Nên viết các số hạng của dãy để dự đoán;
+ dựa vào số hạng tổng quát để c/m
Chú ý: 
VD6: Xét tính bị chặn của dãy (un) biết :
. Ta có (un): 
+, ta có: Þdãy bị chặn trên bởi số 1.
+ ,ta có: Þdãy bị chặn dưới bởi 0.
Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.
. Ta có (un): 
+ , 
Suy ra dãy (un) bị chặn dưới bởi số 1.
+ ta có: ; nên dãy bị chặn trên bởi số 2.
Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.
c. dãy Phibonaxi: 1;1;2;3;5; d. 
Bài 1: Viết 5 số hạng đầu của dãy (un) biết:
a) số hạng TQ là: 
với n =1: ; 
với n=2: ; 
với n=3: ; 
với n=4: ;
với n=5: 
nên 5 số hạng đầu là: 
T.tự cho câu b,c,d.
Bài 2: Cho dãy (un) biết: u1= –1; un+1 = un+3 với 
a) viết 5 số hạng đầu của dãy?
(tương tự bài 1) ta có 5 số hạng là: –1;2;5;8;11.
b) c/m bằng qui nạp, số hạng tổng quát của dãy là: un=3n – 4.
B1: với n = 1: ta có u1= 3.1 – 4 = –1 ( đúng)
B2: giả sử dãy có số hạng thứ k là: uk = 3k – 4.
Ta c/m dãy đúng với n = k + 1, tức là: uk+1 = 3(k+1) – 4= 3k – 1 thật vậy: uk+1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = 3k – 1
Vậy số hạng TQ của dãy là: un=3n – 4.
Bài 3: Cho dãy (un) biết: u1= 3; un+1 = 
a) viết 5 số hạng đầu của dãy?
Ta có n = 2: 
Ta có n = 3: 
Ta có n = 4: 
Ta có n = 5: 
b) từ xđ trên suy ra số hạng TQ là: 
Bài 4: xét tính tăng, giảm của các dãy sau:
a) 
dãy 
ta có ; và 
xét 
nên dãy (un) là dãy giảm.
b) 
dãy (un): 
ta có: ; 
xét:
nên dãy (un) là dãy tăng.
T.Tự cho câu d.
Lưu ý: câu c là dãy không tăng, kg giảm.
Bài 5: trong các dãy số (un) sau, dãy nào bị chặn trên? Chặn dưới? bị chặn?
a) 
dãy (un) : 1; 7; 17; ; ; .
+ ( bình phương 2 vế dương)
 nên dãy(un) bị chặn dưới bởi số 1.
+ dãy (un) không bị chặn trên.
b) 
dãy (un): 
+ 
Hay Þ dãy (un) bị chặn trên bởi số .
+ 
Hay Þ dãy (un) bị chặn dưới bởi số 0.
Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.
c) T.tự.
d) chú ý công thức: 
Nên 
Bài 1 : Viết 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau . 
Bài 2 : Xét tính tăng , giảm và bị chặn của các dãy số sau :