Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

2; rút gọn biểu thức A = 
Ta có : A = 
 = 
b) Cho a + b + c = 0; rút gọn biểu thức B = 
Từ a + b + c = 0 a = -(b + c) a2 = b2 + c2 + 2bc a2 - b2 - c2 = 2bc
Tương tự ta có: b2 - a2 - c2 = 2ac ; c2 - b2 - a2 = 2ab (Hoán vị vòng quanh), nên
B = (1)
a + b + c = 0 -a = (b + c) -a3 = b3 + c3 + 3bc(b + c) -a3 = b3 + c3 – 3abc 
 a3 + b3 + c3 = 3abc (2)
Thay (2) vào (1) ta có B = (Vì abc 0)
c) Cho a, b, c từng đôi một khác nhau thoả mãn: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2
Rút gọn biểu thức C = 
Từ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ab + ac + bc = 0
 a2 + 2bc = a2 + 2bc – (ab + ac + bc) = a2 – ab + bc – ac = (a – b)(a – c)
Tương tự: b2 + 2 ac = (b – a)(b – c) ; c2 + 2ab = (c – a)(c – b)
C = 
 = 
* Dạng 4: Chứng minh đẳng thức thoả mãn điều kiện của biến
1. Bài 1: Cho (1); (2).
Chứng minh rằng: a + b + c = abc 
Từ (1) suy ra 
 a + b + c = abc
2. Bài 2: Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện . 
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. 
Từ đó suy ra rằng :.
 Ta có : Û Û
Từ đó suy ra : 
 Þ .
3. Bài 3: Cho (1)
chứng minh rằng : trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau
Từ (1) 
 (c – b)(a2 – ac = ab + bc) = 0 (c – b)(a – b)( a – c) = 0 đpcm
4. Bài 4: Cho (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc); abc 0 và a b
 Chứng minh rằng: 
Từ GT a2b – b2c - a3bc + ab2c2 = ab2 – a2c – ab3c + a2bc2
 (a2b – ab2) + (a2c – b2c) = abc2(a – b) + abc(a - b)(a + b)
 (a – b)(ab + ac + bc) = abc(a – b)(a + b + c) 
5. Bài 5: 
Cho a + b + c = x + y + z = . Chứng minh rằng: ax2 + by2 + cz2 = 0
Từ x + y + z = 0 x2 = (y + z)2 ; y2 = (x + z)2 ; z2 = (y + x)2
 ax2 + by2 + cz2 = a(y + z)2 + b(x + z)2 + c (y + x)2 = 
 = (b + c)x2 + (a + c)y2 + (a + b)z2 + 2(ayz + bxz + cxy) (1)
Từ a + b + c = 0 - a = b + c; - b = a + c; - c = a + b (2)
Từ ayz + bxz + cxy = 0 (3). Thay (2), (3) vào (1); ta có: 
ax2 + by2 + cz2 = -( ax2 + by2 + cz2 ) ax2 + by2 + cz2 = 0
6. Bài 6: 
Cho ; chứng minh: 
Từ 
 (1) (Nhân hai vế với )
Tương tự, ta có: (2) ; (3)
Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm
7. Bài 7: 
Cho a + b + c = 0; chứng minh: = 9 (1)
Đặt 
(1) 
Ta có: (2)
Ta lại có: 
= (3)
Tương tự, ta có: (4) ; (5)
Thay (3), (4) và (5) vào (2) ta có: 
 + = 3 + (a3 + b3 + c3 ) (6)
Từ a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc (7) ?
Thay (7) vào (6) ta có: + . 3abc = 3 + 6 = 9	
Bài tập về nhà:
Bài 1:
Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 0; A > 0
Bài 2:
Cho biểu thức B = 
a) Rút gọn B
b) Tìm số nguyên y để có giá trị nguyên
c) Tìm số nguyên y để B 1
Bài 3 :
cho ; tính giá trị biểu thức A = 
HD: A = ; vận dụng a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 4:
 Cho a3 + b3 + c3 = 3abc ; Tính giá trị biểu thức A = 
Bài 5:
 Cho x + y + z = 0; chứng minh rằng: 
Bài 6:
Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1; . Chứng minh xy + yz + xz = 0
CHUYÊN ĐỀ 8 - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT
Ngày soạn: 06 – 03 - 2012
Ngày dạy: 09 - 03 - 2012 
A.Kiến thức:
1. Định lí Ta-lét:
* Định lí Talét 
* Hệ quả: MN // BC 
B. Bài tập áp dụng:
1. Bài 1:
Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở G
a) chứng minh: EG // CD
b) Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB2 = CD. EG
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD
a) Vì AE // BC (1)
 BG // AC (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: EG // CD
b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên
Bài 2: 
Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng:
a) AH = AK
b) AH2 = BH. CK
Giải 
Đặt AB = c, AC = b. 
BD // AC (cùng vuông góc với AB) 
nên 
Hay (1)
AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên 
Hay (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK
b) Từ và suy ra (Vì AH = AK)
 AH2 = BH . KC
3. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:
a) AE2 = EK. EG 
b) 
c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi
Giải
a) Vì ABCD là hình bình hành và K BC nên
AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
b) Ta có: ; nên
 (ñpcm)
c) Ta có: (1); (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: không đổi (Vì a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi)
4. Bài 4: 
 Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:
a) EG = FH
b) EG vuông góc với FH 
Giải
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG
Ta có CM = CF = BC 
EM // AC (1)
T­¬ng tù, ta cã: NF // BD (2)
mà AC = BD (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)
Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = AC (b)
Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC BD EM MG (4)
Tương tự, ta có: (5)
Từ (4) và (5) suy ra (c)
Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH
b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì 
 mà (đối đỉnh), (EMG = FNH)
Suy ra EO OP EG FH
5. Bài 5: 
Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại M và AB tại K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại P. Chứng minh rằng
a) MP // AB
b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy
Giải
a) EP // AC (1)
 AK // CD (2)
 các tứ giác AFCD, DCBK la các hình bình hành nên 
AF = DC, FB = AK (3)
Kết hợp (1), (2) và (3) ta có MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4)
b) Gọi I là giao điểm của BD và CF, ta có: = 
Mà (Do FB // DC) IP // DC // AB (5)
Từ (4) và (5) suy ra : qua P có hai đường thẳng IP, PM cùng song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít thì ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP đi qua giao điểm của CF và DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy
6. Bài 6:
Cho ABC có BC < BA. Qua C kẻ đường thẳng vuông goác với tia phân giác BE của ; đường thẳng này cắt BE tại F và cắt trung tuyến BD tại G. Chứng minh rằng đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần bằng nhau
Giải
Gọi K là giao điểm của CF và AB; M là giao điểm của DF và BC
KBC có BF vừa là phân giác vừa là đường cao nên KBC cân tại B BK = BC và FC = FK
Mặt khác D là trung điểm AC nên DF là đường trung bình của AKC DF // AK hay DM // AB
Suy ra M là trung điểm của BC 
DF = AK (DF là đường trung bình của AKC), ta có
( do DF // BK) (1)
Mổt khác (Vì AD = DC) 
Hay (vì = : Do DF // AB)
Suy ra (Do DF = AK) (2)
Từ (1) và (2) suy ra = EG // BC
Gọi giao điểm của EG và DF là O ta có OG = OE 
Bài tập về nhà
Bài 1: 
 Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với BC cắt AB ở E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD tại F
a) Chứng minh FE // BD
b) Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD tại G và H. 
Chứng minh: CG. DH = BG. CH
Bài 2: 
Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN = CM; các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự tại E, F. 
Chứng minh: 
a) AE2 = EB. FE
b) EB =. EF
CHUYÊN ĐỀ 9 – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
Ngày soạn: 07 – 3 - 2013
Ngày dạy: - 03 - 2013
A. Kiến thức:
1. Định lí Ta-lét:
* Định lí Talét 
* Hệ quả: MN // BC 
2. Tính chất đường phân giác: 
ABC ,AD là phân giác góc A 
AD’là phân giác góc ngoài tại A: 
B. Bài tập vận dụng
1. Bài 1:
Cho ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD
a) Tính độ dài BD, CD
b) Tia phân giác BI của góc B cắt AD ở I; tính tỉ số: 
Giải
a) AD laø phaân giaùc cuûa neân 
Do ñoù CD = a - = 
b) BI laø phaân giaùc cuûa neân 
2. Baøi 2:
Cho ABC, coù < 600 phaân giaùc AD
a) Chöùng minh AD < AB
b) Goïi AM laø phaân giaùc cuûa ADC. Chöùng minh raèng BC > 4 DM
Giaûi
a)Ta coù > = 
 > AD < AB
 b) Goïi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d
Trong ADC, AM laø phaân giaùc ta coù
 DM = ; CD = ( Vaän duïng baøi 1) DM = 
Ñeå c/m BC > 4 DM ta c/m a > hay (b + d)(b + c) > 4bd (1)
Thaät vaäy : do c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd . Baát ñaúng thöùc (1) ñöôïc c/m
Baøi 3:
Cho ABC, trung tuyeán AM, caùc tia phaân giaùc cuûa caùc goùc AMB , AMC caét AB, AC theo thöù töï ôû D vaø E
a) Chöùng minh DE // BC
b) Cho BC = a, AM = m. Tính ñoä daøi DE
c) Tìm taäp hôïp caùc giao dieåm I cuûa AM vaø DE neáu ABC coù BC coá ñònh, AM = m khoâng ñoåi
d) ABC coù ñieàu kieän gì thì DE laø ñöôøng trung bình cuûa noù
Giaûi
a) MD laø phaân giaùc cuûa neân (1)
 ME laø phaân giaùc cuûa neân (2)
Töø (1), (2) vaø giaû thieát MB = MC ta suy ra DE // BC
b) DE // BC . Ñaët DE = x 
c) Ta coù: MI = DE = khoâng ñoåi I luoân caùch M moät ñoaïn khoâng ñoåi neân taäp hôïp caùc ñieåm I laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính MI = (Tröø giao ñieåm cuûa noù vôùi BC
d) DE laø ñöôøng trung bình cuûa ABC DA = DB MA = MB ABC vuoâng ôû A
4. Baøi 4: 
Cho ABC ( AB < AC) caùc phaân giaùc BD, CE
a) Ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi BC caét AB ôû K, chöùng minh E naèm giöõa B vaø K
b) Chöùng minh: CD > DE > BE
Giaûi
a) BD laø phaân giaùc neân 
 (1)
Maët khaùc KD // BC neân (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra 
 E naèm giöõa K vaø B
b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa DE vaø CB. Ta coù (so le trong)
 maø E naèm giöõa K vaø B neân > > > EB < DE
Ta laïi coù > > (Vì = )
Suy ra: CD > ED CD > ED > BE
5. Baøi 5: Cho ABC . Ba ñöôøng phaân giaùc AD, BE, CF. Chöùng minh
a. .
b. . 
Giaûi
a)AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa neân ta coù: (1)
Töông töï: vôùi caùc phaân giaùc BE, CF ta coù: (2) ; (3)
Töø (1); (2); (3) suy ra: = 1
b) §Æt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. 
Qua C kÎ ®­êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë H. 
Theo §L TalÐt ta cã: 
Do CH < AC + AH = 2b nªn: 
Chøng minh t­¬ng tù ta cã : Vµ Nªn: 
 ( ®pcm )
Bµi tËp vÒ nhµ
Cho ABC coù BC = a, AC = b, AB = c (b > c), caùc phaân giaùc BD, CE
a) Tính ñoä daøi CD, BE roài suy ra CD > BE
b) Veõ hình bình haønh BEKD. Chöùng minh: CE > EK
c) Chöùng minh CE > BD
CHUYEÂN ÑEÀ 10 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG
Ngaøy soaïn:15 – 3 - 2013
Ngaøy daïy: 18 - 03 - 2013
A. Kieán thöùc: