Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

 = ” xảy ra khi 
Do đó: - 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi 
VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: 
Ta có: S = =
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta có : 
Tương tự ta có : ; 
S 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36
Dấu “=” sảy ra khi : 
Vậy Min S = 36 khi
Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó:
Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó
VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của , ĐKXĐ : 
Bình phương hai vế ta có : A2 = 2 + 
Với . áp dụng bất đẳng thức côsi cho và ta có:
 hay 
A2 4 =>A 2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2
VD2: Tìm GTNN của biểu thức: (*)
ĐKXĐ : 
Khi đó => A > 0
Từ (*) => 
A = 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : 
Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 4: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 5: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 6: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 7:Tìm GTLN của : biết x + y = 4
Bài 8 Tìm GTNN của : 
Bài 9( 76/29) Tìm GTNN của : với x, y, z dương và x + y + z 12
Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : biết x + y = 15
Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không.
VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Giải: ĐKXĐ: Ta có: = 
Dấu “=” xảy ra khi 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số:
Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau
VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: 
Giải : Ta có 
Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : 
Vậy Min A = 8 
VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min với 
Xét Ta có : 
Dấu “=” xẩy ra khi 
Xét 
Rễ thấy: 4 – x - y ( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6
=> đạt GTNN khi x2y đạtGTLN
Ta có : =32 hay x2y 32 (2)
Từ (1) và (2) => -64 Dấu ‘=’ xảy ra khi 
VD3 . Tìm GTLN của A = x2(3 – x) biết x ≤ 3.
Giải : Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4.. .(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy cho 3 số không âm , , (3 – x) ta được : ..(3 – x) ≤ .
Do đó A ≤ 4 (1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y 6 Tìm GTNN của 
Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN của 
Bài 3( 68/ 28) Cho x , Tìm GTNN của 
Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của 
Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN của 
Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của 
Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.
VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của 
Ta có : 
Min B= 7 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyến )
Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x <1, Tìm GTLN của 
Bài 2( 73/ 29) Cho x >1, Tìm GTLN của 
Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức: 
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức: 
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức: 
(Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức: ( với x > -1 )
Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức: ( với x > 1 )
Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức: ( với x > )
Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: ( với 0 < x < 1 )
Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho:
VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức:
Ta có : +2
 	 + 2
 +2
=> 
Hay: 
=> 
Vậy Min P = 1 
Lưu ý: Nếu ta lần lượt thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào ta vẫn khử được (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời. Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất. 
VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn (a và b là hằng số dương).
Giải . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = .
Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương : .
Do đó .
 với 
Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
.
Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A.
VD3 Tìm GTNN của biết x, y, z > 0 , .
Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4: . Theo bất đẳng thức Cauchy 
.
min A = .
VẬN DỤNG BDT ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
Bài 1: Tìm GTNN của hàm số : 
Cách 1: 
Nếu: x < -1 thì 
Nếu: thì 
Nếu: x > 1 thì 
Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi 
Cách 2 : áp dụng BĐT ( Dấu “=” sảy ra khi a.b )
Ta có : 
Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi 
Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN của A = x2y
Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có : 
A = x(4 -2x ) = 2 – = 
=> Max A = 2 khi 
Cách 2: Ta có : A = . Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x, xy ta có: Thay số ta có : =A
Vậy Max A =2 khi 
 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, b, 
Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, b,
Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Chuyên đề 1: 
RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I – Phương pháp giải:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung. 
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
II – Các dạng bài toán thường gặp:
Ruùt goïn phaân thöùc.
Câu: c)
Với: y-2 và y- 
2- Chứng minh.
Câu2 : a) Hãy chứng minh: 
 Giải: 
Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x: 
 Giải:
Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x.
Câu2: c) Chứng minh rằng nếu thì trong ba số x, y, z ít nhất cũng có một cặp số đối nhau .
Giải:
Từ: 
Ta có: 
Từ đó ta có: 
Hay 
Biến đổi vế trái: 
Vậy: 
Tích ba nhân tử bằng 0 chứng tỏ rằng ít nhất phải có một nhân tử bằng 0, từ đó suy ra ít nhất có một cặp đối nhau.
3- Tính giá trị.
Câu3 : a) Tính giá trị của phân thức C = với x = 2008
Giải: C = 
 Với x = 2008 thì C = 
Câu 3: b) Cho a+b+c = 5. Tính giá trị của phân thức 
Ta có: 
Vậy: 
Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn và 
Tính: 
Giải:
Mà: 
Vậy: 
4- Tổng hợp
Câu4 : a) Cho biểu thức A = 
a1) Rút gọn A.
a2) Chứng minh rằng A dương.
a3) Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất? 
 Giải:
a1) A = 
a2) Ta có: m2 0, m.
 Nên: m2 + 2 > 0, m.
 Do đó: > 0, m.
 Vậy: A > 0, m.
a3) Ta có: m2 0, m.
 Nên: m2 + 2 2, m. 
 Do đó: , m. 
 Hay: A , m. 
 Vậy: A đạt giá trị lớn nhất khi A = 
 Suy ra: m2 + 2 = 2 hay m = 0
Câu4: b) Cho M = .
b1) Rút gọn biểu thức M.
b2) Tìm giá trị của M với x = 2008.
b3) Với giá trị nào của x thì M < 0 ?
b4) Với giá trị nào của x thì M nhận giá trị nguyên?
Giải:
b1) Điều kiện: x0, x-1, x
M = 
b2) Với x = 2008.
M = 
b3) M < 0 khi x – 1 < 0 tức là x < 1. Kết hợp với điều kiện. 
Vậy: M nhận giá trị âm với mọi x < 1 trừ các giá trị 0, -1, .
b4) M nhận giá trị nguyên khi (x-1) 3 hay x -1 = 3k (k Z)
Vậy: x = 3k +1 (kZ)
Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau:
M = 
Giải:
 M = 
Câu5: b) Chứng tỏ: 
 , 
Giải:
Ta có: (1)
Chia cả hai vế của (1) cho 2(a2+1), ta được:
Do đó: 
Vậy: , 
Câu5: c) Tính giá trị của biểu thức sau:
 với 
Giải:
Với , ta có:
Ta lại có:
Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = 0
Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau:
A = 
Với a, b, c đôi một khác nhau.	
Giải:
A = 
 (a, b, c đôi một khác nhau)
 Câu6: b) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c.
B = 
Với a, b, c đôi một khác nhau.	
Giải:
 ( a, b, c đôi một khác nhau )
Câu6: c) Tính giá trị của biểu thức sau:
 với 
Giải:
Thay vào P ta có:
CHUYÊN ĐỀ 2:
PHƯƠNG TRÌNH 
CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1) Nhắc lại giá trị tuyệt đối: 
	Ví dụ:
2) Giải phương trình: 
 a) Cách giải phương trình: 
Ví dụ:
Giải phương trình: 
	Giải
b) Cách giải phương trình: 
Cách 1: 
Cách 2: 
Ví dụ: Giải phương trình: 
	Giải
(Nhaän)
(Loaïi)
3, Giải phương trình dạng: 
Cách giải: 
Ví dụ: Giải phương trình: 
	Giải
4,: Giải phương trình: 
Cách giải 1: 	
	Bước 1: Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối
	Bước 2: Giải các phương trình theo các khoảng trong bảng
Ví dụ: Giải phương trình: 
	Giải
	Bước 1: Lập bảng phá dấu 
x
 -1 1
 -x-1 0 x+1
x+1
 -x+1
 -x+1 0 x-1
+
 -2x
 2
 2x
	Böôùc 2: Giaûi caùc phöông trình theo caùc khoaûng
x<-1: -2x=10 x=-5 thoả đk x<-1
 Vô nghiệm
X>1: 2x=10 x=5 thoã đk x>1
Vậy phương trình có 2 nghiệm x=5 và x=-5
Cách giải 2: Đưa về 4 trường hợp sau
TH1: ta giải phương trình A(x) + B(x) =b 
TH 2: 	Ta giải phương trình A(x) – B(x) =b
TH 3: 	Ta giải phương trình – A(x) + B(x) = b
TH 4: 	Ta giai phương trình sau –A(x) – B(x) = b
Ví dụ: Giải phương trình : (*)
	Giải
TH1: 
Phương trình(*) tương đương với phương trình x+1+x-1=10 x=5 thoã
TH 2: 
	(*) Vô nghiệm
TH 3: : Không xãy ra
TH 4: 
	(*) thoã đk x<-1
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x=5 và x=-5
Ví dụ 2: Giải phương trình: (1)
	Giải
 Lập bảng phá dấu:
x
 0 1
 -2x 0 2x 
 2x
 -(1-x)
 -(1-x) 0 -(x-1)
+2
 -x+1
 3x+1
 x+3
x<0 : (1) -x+1=0 x=1 không thoã x<0
: (1) 3x+1=0 không thoã 
x>1 : (1) x+3 =0 x=-3 không thoã x>1 
Vậy phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Cách giải tương tự như các ví dụ trên.
 Chuyên đề 3:
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC 
CỦA GÓC NHỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN
 I. Mục tiêu:
1/Kiến thức cơ bản:
Hình thành các công thức định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Quan hệ giữa các tỉ số này đối với hai góc phụ nhau.
Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tính các tỉ số lượng giác khi biết góc hoặc ngược lại tìm góc khi biết một trong các tỉ số lượng giác của nó.
Từ định nghĩa của các tỉ số lượng giác của góc nhọn, xây dựng các hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông. Bên cạnh các hệ thức này, đầu chương còn xây dựng các hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao, cạnh và hình chiếu của cạnh, của tam giác vuông.
Aùp dụng các nội dung trên để tính chiều cao và khoảng cách của vật thể trong thực tế.
 Nắm vững các công thức định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn. Hiểu và nắm vững các hệ thức liên hệ giữa cạnh, góc, đường cao, hình chiếu trong tam giác vuông. Hiểu cấu trúc của bảng lượng giác. Nắm vững cách sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tính “xuôi” và tính “ngược”. Hiểu cách giải thích kết quả trong các hoạt động thực tế.