Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi toán

14- 2 = 12 tuổi
Vậy tuổi anh là: 12 : 37,5 × 100 = 32 (tuổi)
75% tuổi em hiện nay là: 32 - 14 = 18 (tuổi) 
Tuổi em hiện nay là: 18 : 75 × 100 = 24 (tuổi)
§ 4. TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU
Bài 1:
Hai thành phố cách nhau 186 km. Lúc 6 giờ một người đi xe máy từ A với vận tốc 30 km/giờ bề B, lúc 7 giờ một người đi xe máy từ B với vận tốc 35 km/giờ về A. Hỏi lúc mấy giờ thì hai người gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km?
30 km
156 km
C
B
A
 Hd: 
Khi người thứ 2 xuất phát thì người thứ nhất cách B là 186 – 30 = 156 (km).
Quãng đường 2 người đi được trong 1 giờ là 30 + 35 = 65 (km).
Thời gian để 2 người gặp nhau là phút. 
7h + 2h 24 = 9h 24. Vậy hai người gặp nhau lúc 9 giờ 24 phút.
Quãng đường từ A đến địa điểm gặp nhau là .
Bài 2:
 	Một ô tô chạy từ A đến B. Nếu chạy mỗi giờ 60 km thì ô tô sẽ đến B lúc 14 giờ. Nếu chạy mỗi giờ 40 km thì ô tô sẽ đến B lúc 16 giờ. Hãy tính quãng đường AB và tìm xem trung bình mỗi giờ ô tô phải chạy bao nhiêu km để đến B lúc 15 giờ?
 Hd:
Do trên cùng một quãng đường vận tốc tăng lên bao nhiêu lần thì thời gian giảm đi bấy nhiêu lần nên ta có: Thời gian đi với vận tốc 40 km/h gấp 1, 5 lần thời gian đi với vận tốc 40 km/h. Ta có sơ đồ sau: 
2 giờ
Thời gian đi với vận tốc 60 km/h:
Thời gian đi với vận tốc 40 km/h:
Quãng đường AB dài là 60 ´ 2 ´ 2 = 240 (km).
Để đến B lúc 15 giờ, mỗi ôtô phải chạy 240 : 5 = 48 (km)
Bài 3:
Một ô tô chạy từ A đến B mất 2 giờ. Một xe máy chạy từ B đến A mất 3 giờ. Hãy tính quãng đường AB, biết vận tốc của ô tô hơn vận tốc của xe máy là 20km/giờ. Nếu hai xe khởi hành cùng một lúc thì chúng gặp nhau tại cùng một địa điểm cách A bao nhiêu km? 
 Hd:
 Tỉ số thời gian của ô tô và xe máy là . Do trên cùng một quãng đường thời gian tăng lên bao nhiêu lần thì vận tốc giảm đi bấy nhiêu lần nên ta có sơ đồ: 
20 km/h
Vận tốc xe máy:
Vận tốc ô tô: 
Vận tốc ô tô là : 20 ´ 3 = 60 (km/giờ).
Vận tốc xe máy là 60 – 20 = 40 (km/giờ). 
Quãng đường AB là 60 ´ 2 = 120 (km).
Nếu hai xe khởi hành cùng một lúc thì sẽ gặp nhau sau một thời gian là 
 120 : (60 + 40) = 1,2 (giờ)
Địa điểm gặp nhau cách A là 60 ´ 1,2 = 70 (km). 
Bài 4:
Một ô tô chạy từ A đến B. Nếu chạy mỗi giờ 55 km thì ô tô sẽ đến B lúc 15 giờ. Nếu chạy mỗi giờ 45 km thì ô tô sẽ đến B lúc 17 giờ. Hãy tính quãng đường AB và tìm xem trung bình mỗi giờ ô tô phải chạy bao nhiêu km để đến B lúc 16 giờ?
 Hd:
Tỉ số vận tốc của ô tô và xe máy đi trên quãng đường AB là . Do trên cùng một quãng đường vận tốc tăng lên bao nhiêu lần thì thời gian giảm đi bấy nhiêu lần nên ta có: Thời gian đi với vận tốc 45 km/h bằng lần thời gian đi với vận tốc 55 km/h . Do đó ta có sơ đồ: 
2 giờ
Thời gian đi với vận tốc 55 km/h:
Thời gian đi với vận tốc 45 km/h:
Quãng đường AB dài là 55 ´ (2 : 2) ´ 9 = 495 (km).
Để đến B lúc 15 giờ, mỗi ô tô phải chạy 495 : 10 = 49,5 (km). 
Bài 5:
Một ô tô đi từ A qua B đến C hết 8 giờ. Thời gian đi từ A đến B gấp 3 lần đi từ B đến C và quãng đường từ A đến B dài hơn từ B đến C là 130 km. Biết rằng muốn đi được đúng thời gian đã định, từ B đến C ô tô phải tăng vận tốc thêm 5 km một giờ. Hỏi quãng đường BC dài bao nhiêu km?
 Hd:
v1
8 giờ
v2= v1+5km
B
C
A
	Theo bài ra ta có:Trên quãng đường AB = BC + 130 km ô tô đi với vận tốc v1 trong 6 giờ, còn trên quãng đường BC ô tô đi với vận tốc v2 trong 2 giờ.
 Do đó suy ra ô tô đi với vận tốc v1 trong 2 giờ đi được quãng đường bằng quãng đường BC bớt đi là: 5 ´ 2 = 10 km 
Vậy ô tô đi với vận tốc v1 trong 4 giờ đi được quãng đường tương ứng là: 
130 + 10 = 140 (km).
Vận tốc ban đầu của ô tô là: 140 : 4 = 35 (km/h)
Quãng đường BC là 80 km. 
Bài 6:
Lúc 5 giờ 30 phút, một người đi xe máy khởi hành từ tỉnh A với vận tốc 40km/giờ và đến tỉnh B lúc 8 giờ 15 phút, người đó nghỉ lại tỉnh B là 30 phút rồi quay về tỉnh A với vận tốc cũ. Lúc 7 giờ 45 phút một người khác đi xe đạp khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 10km/giờ. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ và chỗ gặp nhau cách tỉnh B bao nhiêu km? 
 Hd:
Thời gian người đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B là:
 8 giờ 15 phút - 5 giờ 30 phút = 2 giờ 45 phút = 2,75 giờ.
Quãng đườmg từ A đến B là: 40 ´ 2,75 = 110 (km)
Người đi xe máy rời tỉnh B lúc 8 giờ 15 phút + 30 phút = 8 giờ 45 phút
Thời gian người đi xe đạp đi từ 7 giờ 45 phút đến 8 giờ 45 phút là:
 8 giờ 45 phút - 7 giờ 45 phút = 1 giờ. 
Đến 8 giờ 45 phút người đi xe đạp đã đi được 10km.
Lúc 8 giờ 45 phút hai người cách nhau là 110 – 10 = 100 (km).
Thời gian hai người gặp nhau là: 100 : (40 + 10) = 2 (giờ)
Hai người gặp nhau lúc 8 giờ 45 phút + 2 = 10 giờ 45 phút. 
Chỗ gặp nhau cách B là: 40 × 2 = 80 (km). 
Bài 7:
Xe thứ nhất đi từ A đến B hết 3 giờ 20 phút. Xe thứ hai đi từ B đến A hết 2 giờ 48 phút. Biết rằng hai xe cùng khởi hành và sau 1 giờ 15 phút thì chúng còn cách nhau 25 km. Tính vận tốc mỗi xe. 
 Hd:
Đổi đơn vị thời gian: 3 giờ 20 phút = 200 phút = 10/3 giờ; 2 giờ 48 phút = 168 phút = 14/5 giờ; 1 giờ 15 phút = 75 phút;
+ Tính phân số chỉ phần đường đi được sau 75 phút của hai xe là:
 (quãng đường AB). 
+ Tính phân số chỉ phần đường còn lại là (quãng đường AB).
+ Vì quãng đường AB biểu thị 25km nên quãng đường AB dài là:
25 : 5 ´ 28 = 140 (km).
+ Vận tốc của xe thứ nhất là .
+ Vận tốc của xe thứ hai là . 
Bài 8:
Hai bạn Việt và Nam đi xe đạp xuất phát cùng lúc từ A đến B, Việt đi với vận tốc 12 km/giờ, Nam đi với vận tốc 10 km/giờ. Đi được 1, 5 giờ, để đợi Nam, Việt đã giảm vận tốc xuống còn 7 km/giờ. Tính quãng đường AB, biết rằng lúc gặp nhau cũng là lúc Việt và Nam cùng đến B.
 Hd:
Sau 1,5 giờ Việt cách xa Nam là 12 ´ 1, 5 - 10 ´ 1, 5 = 18 – 15 = 3 (km).
Lúc đó Việt đi với vận tốc 7 km/giờ và Nam đi với vận tốc 10 km/giờ nên thời gian chuyển động để Nam đuổi kịp Việt là 3 : (10 – 7) = 1 (giờ).
Quãng đường AB dài là 18 + 7 ´ 1 = 25 (km). 
Bài 9:
Một ca nô xuôi một khúc sông hết 3 giờ và ngược khúc sông đó hết 5 giờ. Tính chiều dài khúc sông, biết vận tốc dòng nước là 50 m/ ph.
 Hd:
Ta thấy: Mỗi giờ ca nô xuôi dòng được khúc sông và mỗi giờ ca nô ngược dòng được khúc sông. Mỗi giờ dòng nước xuôi được (khúc sông)
Thời gian dòng nước xuôi từ A đến B là (giờ)
Vì 50m/ph = 3km/h nên khúc sông dài là 3 ´ 15 = 45(km). 
Bài 10:
Một đoàn tàu chạy ngang qua một cột điện hết 10 giây. Cùng với vận tốc đó, đoàn tàu chạy ngang qua một đường hầm dài 210 m hết 52 giây. Tính chiều dài và vận tốc tàu.
 Hd:
Trong khoảng thời gian 10 giây tàu đi được quãng đường là chiều dài tàu
Trong khoảng thời gian 52 giây tàu đi được quãng đường là chiều dài tàu cộng với chiều dài hầm(210 m).
Vậy thời gian để tàu đi được quãng đường 210 m là:
 52 – 8 = 42 (giây). 
Vận tốc tàu là: 210 : 42 = 5(m/s) (= 18km/h)
Chiều dài đoàn tàu là: 5 ´ 10 = 40 (m). 
Bài 11:
Một hành khách ngồi trên một chiếc xe lửa đang chay với vận tốc 36km/h nhìn thấy một chiếc xe lửa tốc hành dài 75 mét đi ngược chiều qua mặt mình hết 3 giây. Tính vận tốc của xe lửa tốc hành.
3 s
3 s
75 m
30 m
 Hd:
	Đổi đơn vị: 36 km/h = 10 m/s 
Trong khoảng thời gian 3 giây người ngồi trên xe lửa đi được quãng đường là:
 	10 ´ 3 = 30 (m)
Trong khoảng thời gian 3 giây xe lửa tốc hành đi được quãng đường là chiều dài tàu trừ đi 30 m.Vậy vận tốc của xe lửa tốc hành là:
 (75 – 30) : 3 = 15(m/s) = 54( km/h)
Bài 12:
	Một xe lửa chạy qua một cầu dài 181 mét hết 47 giây. Biết cùng vận tốc ấy xe lửa lướt qua một người đi bộ ngược chiều trong 9 giây. Tính vận tốc và chiều dài xe lửa, biết vận tốc người đi bộ là 1 m/s.
47 s
181 m
 Hd:
9 s
9 s
9 m
Trong khoảng thời gian 47 giây xe lửa đi được quãng đường là chiều dài xe lửa cộng chiều dài cầu (181m)	
Trong khoảng thời gian 9 giây xe lửa đi được quãng đường là chiều dài tàu bớt đi 9 m, tức là nếu thêm vào 9 m thì xe lửa đi được quãng đường là chiều dài xe lửa.
Vậy thời gian để tàu đi được quãng đường (181 + 9) = 190 m là: 47 – 9 = 38 (s)
Vận tốc của xe lửa là: 190 : 38 = 5 (m/s) = 18 (km/h)
Chiều dài của xe lửa là: 5 ´ 9 = 45 (m) 
Bài 13:
	Một người đi xe máy từ A tới B hết một khoảng thời gian dự định nào đó. Biết rằng nếu đi với vận tốc 30 km/h thì đến B sớm 1 giờ, nếu đi với vận tốc 20 km/h thì đến B chậm 1 giờ. Tính quãng đường AB?
v1=30 km
? km
20 km
30 km
v2=20 km
A
B
C
D
 Hd:
	Trên cùng quãng đường AB ta có thời gian tỷ lệ nghịch với vận tốc:
Mà dễ thấy: t2 – t1 = 2 (h). Đến đây đưa về bài toán tìm 2 số có tỷ số là và có hiệu bằng 2. Suy ra được quãng đường AB là: 120 km. 
Bài 14:
	Một ôtô đi từ thành phố A tới thành phố B hết 10 giờ. Lúc đầu ôtô đi với vận tốc 40 km/h, khi tới vị trí còn cách 100 km nữa được nửa quãng đường thì ôtô tăng vận tốc lên thành 60 km/h để về đến B đúng hẹn. Tính vận tốc trung bình của ôtô đi từ A tới B?
B
? km
100 km
A
C
D
100 km
E
t1, v1 =40km/h
t2, v2 =60km/h
 Hd:
	Gọi C là điểm giữa quãng đường AB, D là điểm thuộc đoạn AC sao cho DC = 100 km. Lấy điểm E thuộc đoạn CB sao cho CE = 100 km.
	Dễ dàng suy ra AD = EB. Trên 2 quãng đường bằng nhau này ta có thời gian tỷ lệ nghịch với vận tốc, tức là: 
Mà dễ thấy: . Từ đây dễ dàng tính được t1, t2 , suy ra quãng đường AD và quãng đường AB bằng 520 km. 
Bài 15:
	Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không chứa nước sau 12 giờ đầy bể. Biết rằng lượng nước mỗi giờ vòi 1 chảy vào bể bằng 1, 5 lần lượng nước vòi 2 chảy vào bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?
 Hd:
	Theo bài ra ta có: + v1 = 1, 5 ´ v2 
	 + v1 + v2 = 
	Từ đây dễ dàng tính được (bể)và (bể)
	Vậy suy ra vòi 1chảy một mình trong 20 giờ sẽ đầy bể, vòi 2 chảy một mình trong 30 giờ sẽ đầy bể. 
Bài 16:
	Một vòi nước chảy vào 1 bể không chứa nước, cùng lúc đó có vòi chảy ra. Biết rằng lượng nước mỗi giờ vòi chảy ra bằng lần lượng nước vòi chảy vào bể và sau 5 giờ lượng nước trong bể đạt tới dung tích của bể. Hỏi nếu không có vòi chảy ra mà chỉ có vòi chảy vào thì trong thời gian bao lâu sẽ đầy bể?
 Hd:
Theo bài ra ta có: + vra = ´ vvào 
	 + vvào - vra = 
	Từ đây dễ dàng tính được vvào = ´ 5 = (bể)
	Vậy suy ra vòi vào chảy một mình trong 8 giờ sẽ đầy bể. 
Bài 17:
	Người ta dùng hai vòi