Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

b×nh cña AKC), ta cã
( do DF // BK) (1)
Mæt kh¸c (V× AD = DC) 
Hay (v× = : Do DF // AB)
Suy ra (Do DF = AK) (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra = EG // BC
Gäi giao ®iÓm cña EG vµ DF lµ O ta cã OG = OE 
Bµi tËp vÒ nhµ
Bµi 1: 
 Cho tø gi¸c ABCD, AC vµ BD c¾t nhau t¹i O. §­êng th¼ng qua O vµ song song víi BC c¾t AB ë E; ®­êng th¼ng song song víi CD qua O c¾t AD t¹i F
a) Chøng minh FE // BD
b) Tõ O kÎ c¸c ®­êng th¼ng song song víi AB, AD c¾t BD, CD t¹i G vµ H. 
Chøng minh: CG. DH = BG. CH
Bµi 2: 
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, ®iÓm M thuéc c¹nh BC, ®iÓm N thuéc tia ®èi cña tia BC sao cho BN = CM; c¸c ®­êng th¼ng DN, DM c¾t AB theo thø tù t¹i E, F. 
Chøng minh: 
a) AE2 = EB. FE
b) EB =. EF
CHUYEÂN ÑEÀ 9 – CAÙC BAØI TOAÙN SÖÛ DUÏNG ÑÒNH LÍ TALEÙT VAØ TÍNH CHAÁT ÑÖÔØNG PHAÂN GIAÙC
A. Kieán thöùc:
1. Ñònh lí Ta-leùt:
* Ñònh lí Taleùt 
* Heä quaû: MN // BC 
2. Tính chaát ñöôøng phaân giaùc: 
ABC ,AD laø phaân giaùc goùc A 
AD’laø phaân giaùc goùc ngoaøi taïi A: 
B. Baøi taäp vaän duïng
1. Baøi 1:
Cho ABC coù BC = a, AB = b, AC = c, phaân giaùc AD
a) Tính ñoä daøi BD, CD
b) Tia phaân giaùc BI cuûa goùc B caét AD ôû I; tính tæ soá: 
Giaûi
a) AD laø phaân giaùc cuûa neân 
Do ñoù CD = a - = 
b) BI laø phaân giaùc cuûa neân 
2. Baøi 2:
Cho ABC, coù < 600 phaân giaùc AD
a) Chöùng minh AD < AB
b) Goïi AM laø phaân giaùc cuûa ADC. Chöùng minh raèng BC > 4 DM
Giaûi
a)Ta coù > = 
 > AD < AB
 b) Goïi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d
Trong ADC, AM laø phaân giaùc ta coù
 DM = ; CD = ( Vaän duïng baøi 1) DM = 
Ñeå c/m BC > 4 DM ta c/m a > hay (b + d)(b + c) > 4bd (1)
Thaät vaäy : do c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd . Baát ñaúng thöùc (1) ñöôïc c/m
Baøi 3:
Cho ABC, trung tuyeán AM, caùc tia phaân giaùc cuûa caùc goùc AMB , AMC caét AB, AC theo thöù töï ôû D vaø E
a) Chöùng minh DE // BC
b) Cho BC = a, AM = m. Tính ñoä daøi DE
c) Tìm taäp hôïp caùc giao dieåm I cuûa AM vaø DE neáu ABC coù BC coá ñònh, AM = m khoâng ñoåi
d) ABC coù ñieàu kieän gì thì DE laø ñöôøng trung bình cuûa noù
Giaûi
a) MD laø phaân giaùc cuûa neân (1)
 ME laø phaân giaùc cuûa neân (2)
Töø (1), (2) vaø giaû thieát MB = MC ta suy ra DE // BC
b) DE // BC . Ñaët DE = x 
c) Ta coù: MI = DE = khoâng ñoåi I luoân caùch M moät ñoaïn khoâng ñoåi neân taäp hôïp caùc ñieåm I laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính MI = (Tröø giao ñieåm cuûa noù vôùi BC
d) DE laø ñöôøng trung bình cuûa ABC DA = DB MA = MB ABC vuoâng ôû A
4. Baøi 4: 
Cho ABC ( AB < AC) caùc phaân giaùc BD, CE
a) Ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi BC caét AB ôû K, chöùng minh E naèm giöõa B vaø K
b) Chöùng minh: CD > DE > BE
Giaûi
a) BD laø phaân giaùc neân 
 (1)
Maët khaùc KD // BC neân (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra 
 E naèm giöõa K vaø B
b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa DE vaø CB. Ta coù (so le trong)
 maø E naèm giöõa K vaø B neân > > > EB < DE
Ta laïi coù > > (Vì = )
Suy ra: CD > ED CD > ED > BE
5. Baøi 5: Cho ABC . Ba ñöôøng phaân giaùc AD, BE, CF. Chöùng minh
a. .
b. . 
Giaûi
a)AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa neân ta coù: (1)
Töông töï: vôùi caùc phaân giaùc BE, CF ta coù: (2) ; (3)
Töø (1); (2); (3) suy ra: = 1
b) §Æt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. 
Qua C kÎ ®­êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë H. 
Theo §L TalÐt ta cã: 
Do CH < AC + AH = 2b nªn: 
Chøng minh t­¬ng tù ta cã : Vµ Nªn: 
 ( ®pcm )
Bµi tËp vÒ nhµ
Cho ABC coù BC = a, AC = b, AB = c (b > c), caùc phaân giaùc BD, CE
a) Tính ñoä daøi CD, BE roài suy ra CD > BE
b) Veõ hình bình haønh BEKD. Chöùng minh: CE > EK
c) Chöùng minh CE > BD
CHUYEÂN ÑEÀ 10 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG
A. Kieán thöùc:
* Tam giaùc ñoàng daïng:
a) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.c.c)
ABC A’B’C’ 
b) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.g.c)
ABC A’B’C’ ; 
c. Tröôøng hôïp ñoàng daïng thöù ba (g.g)
ABC A’B’C’ ; 
AH; A’H’laø hai ñöôøng cao töông öùng thì: = k (Tæ soá ñoàng daïng); = K2
B. Baøi taäp aùp duïng
Baøi 1:
Cho ABC coù, AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tính AC
b)Neáu ba caïnh cuûa tam giaùc treân laø ba soá töï nhieân lieân tieáp thì moãi caïnh laø bao nhieâu?
Giaûi
Caùch 1:
Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm E sao cho:BD = BC
ACD ABC (g.g) 
 = AB(AB + BC) 
= 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm
Caùch 2:
Veõ tia phaân giaùc BE cuûa ABE ACB
= 8(8 + 10) = 144
 AC = 12 cm
b) Goïi AC = b, AB = a, BC = c thì töø caâu a ta coù b2 = a(a + c) (1)
Vì b > aneân coù theå b = a + 1 hoaëc b = a + 2
+ Neáu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1
a = 1; b = 2; c = 3(loaïi)
+ Neáu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4
- Vôùi a = 1 thì c = 8 (loaïi)
- Vôùi a = 2 thì c = 6 (loaïi)
- vôùi a = 4 thì c = 6 ; b = 5
Vaäy a = 4; b = 5; c = 6
Baøi 2:
Cho ABC caân taïi A, ñöôøng phaân giaùc BD; tính BD 
bieát BC = 5 cm; AC = 20 cm
Giaûi
Ta coù CD = 4 cm vaø BC = 5 cm
Baøi toaùn trôû veà baøi 1 
Baøi 3:
Cho ABC caân taïi A vaø O laø trung ñieåm cuûa BC. Moät ñieåm O di ñoäng treân AB, laáy ñieåm E treân AC sao cho . Chöùng minh raèng
a) DBOOCE
b) DOE DBOOCE
c) DO, EO laàn löôït laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE, CED
d) khoaûng caùch töø O ñeán ñoaïn ED khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB
Giaûi
a) Töø vaø (gt) DBOOCE
b) Töø caâu a suy ra (1)
 Vì B, O ,C thaúng haøng neân (2)
trong tam giaùc EOC thì (3)
Töø (1), (2), (3) suy ra 
DOE vaø DBO coù (Do DBOOCE) 
vaø (Do OC = OB) vaø 
neân DOE DBOOCE
c) Töø caâu b suy ra DO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE
Cuûng töø caâu b suy ra EO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc CED
c) Goïi OH, OI laø khoaûng caùch töø O ñeán DE, CE thì OH = OI, maø O coá ñònh neân OH khoâng ñoåi OI khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB
Baøi 4: (Ñeà HSG huyeän Loäc haø – naêm 2007 – 2008)
Cho ABC caân taïi A, coù BC = 2a, M laø trung ñieåm BC, laáy D, E thuoäc AB, AC sao cho 
a) Chöùng minh tích BD. CE khoâng ñoåi
b)Chöùng minh DM laø tia phaân giaùc cuûa 
c) Tính chu vi cuûa AED neáu ABC laø tam giaùc ñeàu
Giaûi
a) Ta coù , maø (gt)
neân , keát hôïp vôùi (ABC caân taïi A)
suy ra BDM CME (g.g) 
 khoâng ñoåi
b) BDM CME 
(do BM = CM) DME DBM (c.g.c) hay DM laø tia phaân giaùc cuûa 
c) chöùng minh töông töï ta coù EM laø tia phaân giaùc cuûa 
keû MH CE ,MI DE, MK DB thì MH = MI = MK DKM = DIM 
DK =DI EIM = EHM EI = EH
Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)
ABC laø tam giaùc ñeàu neân suy ra CME cuûng laø tam giaùc ñeàu CH = 
 AH = 1,5a PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a
Baøi 5: 
Cho tam giaùc ABC, trung tuyeán AM. Qua ñieåm D thuoäc caïnh BC, veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AM, caét AB, AC taïi E vaø F
a) chöùng minh DE + DF khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân BC
b) Qua A veõ ñöôøng thaúng song song vôùi BC, caét FE taïi K. Chöùng minh raèng K laø trung ñieåm cuûa FE
Giaûi
a) DE // AM (1)
 DF // AM (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra 
DE + DF = = khoâng ñoåi
b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g) (3)
 (2)
(Vì CM = BM)
Töø (1) vaø (2) suy ra FK = EK hay K laø trung ñieåm cuûa FE
Baøi 6: (Ñeà HSG huyeän Thaïch haø naêm 2003 – 2004)
Cho hình thoi ABCD caïnh a coù , moät ñöôøng thaúng baát kyø qua C caét tia ñoái cuûa caùc tia BA, DA taïi M, N
a) Chöùng minh raèng tích BM. DN coù giaù trò khoâng ñoåi
b) Goïi K laø giao ñieåm cuûa BN vaø DM. Tính soá ño cuûa goùc BKD
Giaûi
a) BC // AN (1)
 CD// AM (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra 
b) MBD vaøBDN coù= 1200
 (Do ABCD laø hình thoi coù neân AB = BC = CD = DA) MBD BDN
Suy ra . MBD vaøBKD coù vaø neân 
Baøi 7: 
Cho hình bình haønh ABCD coù ñöôøng cheùo lôùn AC,tia Dx caét SC, AB, BC laàn löôït taïi I, M, N. Veõ CE vuoâng goùc vôùi AB, CF vuoâng goùc vôùi AD, BG vuoâng goùc vôùi AC. Goïi K laø ñieåm ñoái xöùng vôùi D qua I. Chöùng minh raèng
a) IM. IN = ID2
b) 
c) AB. AE + AD. AF = AC2
Giaûi
a) Töø AD // CM (1)
Töø CD // AN (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra = hay ID2 = IM. IN
b) Ta coù (3)
Töø ID = IK vaø ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN 
 (4)
Töø (3) vaø (4) suy ra 
c) Ta coù AGB AEC 
 AB. AE = AG(AG + CG) (5)
CGB AFC (vì CB = AD) 
AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6)
Coäng (5) vaø (6) veá theo veá ta coù: 
AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG
 AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2
Vaäy: AB. AE + AD. AF = AC2
Baøi taäp veà nhaø
Baøi 1
Cho Hình bình haønh ABCD, moät ñöôøng thaúng caét AB, AD, AC laàn löôït taïi E, F, G
Chöùng minh: 
HD: Keû DM // FE, BN // FE (M, N thuoäc AC)
Baøi 2:
Qua ñænh C cuûa hình bình haønh ABCD, keû ñöôøng thaúng caét BD, AB, AD ôû E, G, F
 chöùng minh:
a) DE2 = . BE2
b) CE2 = FE. GE
(Gôïi yù: Xeùt caùc tam giaùc DFE vaø BCE, DEC vaø BEG)
Baøi 3
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH, trung tuyeán BM, phaân giaùc CD caét nhau taïi moät ñieåm. Chöùng minh raèng
a) 
b) BH = AC
CHUYEÂN ÑEÀ 11 – PHÖÔNG TRÌNH BAÄC CAO
A.Muïc tieâu:
* Cuûng coá, oân taäp kieán thöùc vaø kyõ naêng giaûi caùc Pt baäc cao baèng caùch phaân tích thaønh nhaân töû
* Khaéc saâu kyõ naêng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû vaø kyõ naêng giaûi Pt
B. Kieán thöùc vaø baøi taäp:
I. Phöông phaùp:
* Caùch 1: Ñeå giaûi caùc Pt baäc cao, ta bieán ñoåi, ruùt goïn ñeå döa Pt veà daïng Pt coù veá traùi laø moät ña thöùc baäc cao, veá phaûi baèng 0, vaän duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ñeå ñöa Pt veà daïng pt tích ñeå giaûi
* Caùch 2: Ñaët aån phuï
II. Caùc ví duï:
1.Ví duï 1: Giaûi Pt
 a) (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12
 ...2x3 + 10x = 12 x3 + 5x – 6 = 0 (x3 – 1) + (5x – 5) (x – 1)(x2 + x + 6) = 0
 (Vì voâ nghieäm)
b) x4 + x2 + 6x – 8 = 0 (1)
Veá phaûi cuûa Pt laø moät ña thöùc coù toång caùc heä soá baèng 0, neân coù moät nghieäm x = 1 neân coù nhaân töû laø x – 1, ta coù
(1) (x4 – x3) + (x3 – x2) + (2x2 – 2x) + (8x – 8) = 0
 ... (x – 1)(x3 + x2 + 2x + 8) (x – 1)[(x3 + 2x2) – (x2 + 2x) + (4x – 8) ] = 0
 (x – 1)[x2(x + 2) – x(x + 2) + 4(x + 2) = 0 (x – 1)(x + 2)(x2 – x + 4) = 0 ....
c) (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8 
 x3 – 3x2 + 3x – 1 + 8x3 + 36x2 + 54x + 27 – 27x3 – 8 = 0
 - 18x3 +