Ðề thi tuyển sinh đại học khối a năm 2011 môn thi : toán học

ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
Môn thi : TOÁN 
. Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất
Câu I. 1. 
TCĐ: x= vì ; TCN: y = vì
Hàm số nghịch biến trên (-¥;) và (; +¥). Hàm số không có cực trị.
x
-∞ +∞
y’
 - -
y
 - +∞ 
 -∞ -
O
-1
1
x
y
2. 	Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : y = x +m
 Û (2x – 1) (x + m) = -x + 1 (Vì x = không là nghiệm)
Û 2x2 + 2mx – (m + 1) = 0 (1)
Phương trình (1) có Î R
Þ Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm nên d luôn cắt (C) tại hai điểm A, B.
Hoành độ tiếp điểm tại A, B là x1, x2 là nghiệm của phương trình (1)
Þ x1 + x2 = - m và x1.x2 = 
Ta có: = 
=; k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất bằng -2 Û m = -1.
Câu II (2,0 điểm).
1. Giải phương trình .
2. Giải hệ phương trình (x, y Î R).
LỜI GIẢI:
Câu II:	
1.	
	Û (ĐK : sinx ≠ 0)
 Û cosx = 0 hay cosx + sinx = 
Û cosx = 0 hay 
Û x = hay x = (k Î Z)
2.
	Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân I = 
LỜI GIẢI:
Câu III : 
= 
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S. BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
LỜI GIẢI:
S
A
B
C
N
M
I
Câu IV	Ta có : = 600 và DSBA là ½ tam giác đều nên SA = 
	V(SMNCB) = = 
	Kẻ NI // AB để có AMNI là hình vuông, vậy khoảng cách của AB đến SN chính là đường cao DSAI, gọi h là chiều cao đó, ta có:
	 Þ h = 
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ³ y, x ³ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
LỜI GIẢI:
Câu V. P = 
	Lấy đạo hàm theo z ta có : P’ (z) = = 
	+ Nếu x = y thì P = 
	+ Ta xét x > y thì P ³ P() = 
Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ nhất khi z = 
Đặt t = Þ P thành f(t) = (t Î (1; 2]) 
Þ f’(t) = < 0
Vậy P ³ f(t) ³ f(2) = . Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2
Vậy min P = .
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. 	Trong mp tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: x + y + 2 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc D. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
2.	Trong kg với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; -2; 3) và mp (P): 2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất cả các số phức z, biết z2 = .
LỜI GIẢI:
Câu VI.a. 
1. Diện tích DMAI=5 = Þ và MI2 = IA2 + AM2 = 25
	MÎ D Þ M(m; -m – 2). Vậy nên ta có phương trình:
	 Û m2 + m – 6 = 0 Û m = 2 hay m = -3
	Þ M (2; -4) và M (-3; 1).
2. 	Pt mp (Q) trung trực đoạn AB qua trung điểm I (1;-1;2) của AB có VTPT =(1;1;-1) là : x + y – z + 2 = 0
	Giao tuyến d của (P) và (Q) qua J (0; 1; 3) có VTCP = (2; 1; 3)
	Þ pt d : 
	MA = MB, M Î (P) Þ M Î d Þ M (2t; 1 + t; 3 + 3t)
	MA = 3 	Û (2 – 2t)2 + (-1 – t)2 + (-2 – 3t)2 = 9
	Û t = 0 hay t = . Vậy M (0; 1; 3) hay M 
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : . Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.
2. 	Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2–4x–4y– 4z=0 và điểm A (4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Câu VII.b (1,0 điểm) Tính môđun của số phức z, biết: (2z – 1)(1 + i) + (+1)(1 – i) = 2 – 2i.
LỜI GIẢI:
Câu VII.a. Giả sử z = a + bi (a, b Î R)
	Û 
	Vậy có 3 số phức thỏa ĐK là :
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b 1. Do xA, xB > 0 và DOAB cân tại O nên A, B đối xứng nhau qua Ox
	và xA = xB > 0, yB = - yA
	Do A Î (E) nên 
	SDOAB = 
	Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 1 = 
	S lớn nhất khi và chỉ khi : Û 
	Vậy : A ; B hay A ; B 
Cách khác :
Gọi OH là đường cao ta có v 
Mà ta có : 
và 
hoặc 
2. 	B Î (S) và DOAB đều nên 
	 Û Û 
	Û Û 
	Û hay 
	Trường hợp 1: ; Þ 
	Pt (OAB) : x – y + z = 0
	Trường hợp 2: ; Þ 
	Pt (OAB) : x – y – z = 0
Câu VII.b Giả sử z = x + yi	x, y Î R
Ta có : (2z – 1)(1 + i) + (+1)(1 – i) = 2 – 2i Û 2(1 + iz) + (1 – i) = 2
Û 2(1 + i)(x + yi) + (1 – i)(x – yi) = 2
Û 3x – 3y + (x + y)i = 2 Û Û Þ