Dùng đồ thị để giải một số dạng toán lớp 12 - Huỳnh Công Thành

-- Trang 1 - 
DÙNG ðỒ THỊ ðỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN 12 
Huỳnh Cơng Thành 
Email: crsthanh@gmail.com 
 Ch ương trình to án lớp 12 THPT , đo à thị mo ät so á hàm số đ ược quan tâm kh á kỹ , 
no ù gần như xuye ân suốt HKI của lơ ùp 1 2 . Tu y n hie ân một đ iều ky ø lạ là người ta ít 
du øng hình d ạng cụ the å của từn g đồ th ị đ ể g iải quy ết m ột số d ạn g to án , ch ẳng h ạn 
nh ư một s ố b ài to án ve à cực trị h ay mo ät so á bài ve à tương giao giư õa 2 đ ườn g. 
 Dùng hì nh dạng của đo à thị h àm so á đã h ọc trong chư ơn g trình to án 12 THPT 
đe å giải qu ye át mo ät so á bài toán . Thie át ng hĩ đ ây không p hải là đie àu mới , thực tế 
tro ng sách gi áo khoa sự tươ ng giao g iữa 2 đo à thị đ ã đư ợc du øng đe å giải quye át so á 
ng hiệm của m ột phươ ng trình cũng như mo ät số dạng toán k hác (p hương pháp chung 
du øng ch o mọi đồ thị). Trong bài n ày tôi muốn đề cập đến phươ ng ph áp du øng hình 
dạng của mo ät đo à thị cụ th ể đ ã h ọc trong ch ương trìn h đ ể g iải quy ết một vài bài 
toán gọn gàng và nhan h chón g h ơn . Không quá nhiều tham vọn g, chỉ mong góp 
mo ät chút kinh ngh iệm nho û bé của m ình làm phong phu ù the âm k ỹ n ăng v à phươn g 
ph áp giải toán để quí đo àng ngh iệp và các em ho ïc sinh tham khảo . 
1) Quan ta âm 1â ââ : Đo à thị hàm so á y = ax4 + b x2 + c (a ≠ 0 ) 
 a > 0 a < 0 
ab ≥ 0 x
y
x
y
ab < 0 
x
y
x
y
-- Trang 2 - 
Bài toán 1 : (Trích đe à thi k ho ái B 2 00 2) 
 Cho hàm số y = m x4 + (m 2 − 9)x2 + 10 (1) 
 Tìm m đe å hàm s ố (1) có 3 cư ïc trị 
Lời g iải tron g đáp a ùnø û ù ùø û ù ùø û ù ù Lời gia ûi đe àø û àø û àø û à ng hị 
MXĐ : D = R 
y/ = 4mx 3 + 2(m2 − 9)x 
 = 2x(2mx
2
 + (m
2
 − 9)) 
y
/
 = 0 ⇔ 


=−+=
=
0)9(2)(
0
22 mmxxg
x
Hàm so á (1 ) có 3 cực trị 
 ⇔ 





≠
>∆
≠
0)0(
0
0
g
m
g 
 ⇔ 





≠−
>−−
≠
09
0)9(2
0
2
2
m
mm
m
 ⇔ 


<<
−<
30
3
m
m
Hàm số (1 ) co ù 3 cư ïc trị 
 ⇔ ab < 0 
 ⇔ m(m2 − 9) < 0 
 ⇔ m < - 3 h oặc 0 < m < 3 
Lời bình : Rõ ràn g lơ øi g iải đ ề ngh ị go ïn hơn , co ù cơ sở ly ù thuyết “đ ường 
ho àng ” . 
2) Quan tâm 2â ââ (Chương trình NC ): Đo à thị hàm s ố y = 
11
2
cxb
cbxax
+
++ (ab1 ≠ 0) 
 ab 1 > 0 ab1 < 0 
y/ = 0 
có 2 
ng hie äm 
ph ân 
bie ät 
x
y
x
y
-- Trang 3 - 
y/ = 0 
vo â 
ng hie äm 
x
y
x
y
Bài toa ùn 2ø ùø ùø ù : Cho hàm so á y = 
x
mxx +− 32 2 . Định m đe å hàm s ố k hông 
có cực trị . 
Lời giải phổ b iến Lời g iải đề ng hị 
D = R \ 0 
2
2
/ 2
x
mx
y
−
= 
y/ = 0 ⇔ 2x2 = m 
Hàm so á không có cư ïc trị 
⇔ m ≤ 0 
Đặt g (x ) = 2x 2 – 3x + m 
Hàm số k ho âng có cực trị 
⇔ P = m ≤ 0 
• Giải th ích : Lơ øi giải đ ề n ghị xu ất p hát từ hình d ạng cu ûa đ ồ th ị hàm 
số hữu tỉ . Ta th ấy hàm số h ữu tỉ (ab 1 ≠ 0 ) kho âng có cư ïc trị khi và 
chỉ k hi h oặc là hàm suy bie án (tử ch ia hết ch o mẫu ) ho ặc l à đ ồ th ị 
luo ân cắt Ox tại 2 đ iểm nằm v ề 2 ph ía của TC Đ. Điều này tương 
đư ơng phương trình g(x) = 0 ho ặc co ù ng hie äm x = 0 ho ặc co ù 2 
ng hiệm x1 , x2 th ỏa x1 < 0 <x2 ⇔ P ≤ 0 
Bài toa ùn 3 : ø ùø ùø ù C ho hàm số 
mx
mmxmx
y
+
++++
=
4)32(
22
 . Tìm m đe å hàm số 
có 2 cực trị v à 2 giá trị cực trị n ày trái d ấu . 
Lời giải phổ b iến Lời g iải đề ng hị 
D = R \ - m 
2
22
/
)(
2
mx
mmmxx
y
+
−++
= 
Dư ïa vào h ình dạng đo à thị hàm so á 
đã cho ta co ù : 
Ycđ b thỏa mãn ⇔ y=0 vo â nghiệm 
⇔ ∆ = (2 m+3 )2 – 4 (m 2 + 4m ) < 0 
-- Trang 4 - 
y/ = 0 ⇔ g(x )= x 2 + 2m x + m2 - m = 0 
Hàm so á có 2 cư ïc trị ⇔ 



≠−
>∆
0)(
0
mg
g 
⇔ 



≠−
>
0
0
m
m
 ⇔ m > 0 
Khi đ ó gọi 2 cực trị là x 1 , x2 
Gọi y = 
)(
)(
xv
xu là hàm so á đã ch o ta 
tìm đươ ïc các g iá trị cư ïc trị tươ ng ứng 
là (p hải chư ùn g minh ) : 
 322
)(
)(
1
1
1
1 ++== mx
xv
xu
y 
 322
)(
)(
2
2
2
2 ++== mx
xv
xu
y 
Yêu cầu đe à bài tho ûa mãn khi 
 y1y2 < 0 
⇔ 4x1x2+2(2m+3)(x1 +x 2)+(2m +3 )2 < 0 
⇔ 4(m2-m)+2 (2m +3) (- 2m)+(2m+3)2<0 
⇔ - 4m + 9 < 0 
⇔ m > 
4
9 (th ỏa m > 0) 
 KL : m > 
4
9 
⇔ - 4 m + 9 < 0 
⇔ m > 
4
9
Bài toa ùn 4ø ùø ùø ù : Cho hàm so á y = 
x
mmxx −+− 52 
Với n hữn g giá trị nào cu ûa m thì hàm s ố co ù CĐ , CT và 2 giá trị cực trị này 
cùng dấu . 
Lời giải phổ b iến Lời g iải đề ng hị 
D = R \ - m 
2
2
/ 5
x
mx
y
−+
= 
y/ = 0 ⇔ g (x )=x 2 + m - 5 = 0 
Hàm so á có 2 cực trị ⇔ 



≠
>∆
0)0(
0
g
g 
Dư ïa vào h ình dạng đo à thị hàm so á 
đã cho ta co ù : 
Ycđ b thỏa mãn ⇔ đồ thị cắt Ox 
tại 2 đie åm pb nằm v ề 1 ph ía TC Đ 
⇔ h (x ) = x2 – mx + 5 – m = 0 co ù 2 
nghiệm pb x1 , x2 v à 0 ∉ [x1;x2] 
-- Trang 5 - 
⇔ 



≠
<
5
5
m
m
 ⇔ m < 5 (*) 
Khi đ ó gọi 2 cực trị là x 1 , x2 
Gọi y = 
)(
)(
xv
xu là hàm so á đã ch o ta 
tìm đươ ïc các g iá trị cư ïc trị tươ ng ứng 
là (p hải chư ùn g minh ) : 
 mx
xv
xu
y −== 1
1
1
1 2
)(
)( 
 mx
xv
xu
y −== 2
2
2
2 2
)(
)( 
Yêu cầu đe à bài tho ûa mãn khi 
 y1y2 > 0 
⇔ 4x 1x 2-2m (x1+x2)+m 2 > 0 
⇔ 4(m - 5 ) + m2 > 0 
⇔ m2 + 4m - 20 > 0 
⇔ 




+−>
−−<
622
622
m
m
Kết h ợp vơ ùi (* ) ta đươ ïc giá trị m cần 
tìm là 




<<+−
−−<
5622
622
m
m
⇔ 



>
>∆
0
0
P
⇔ 



>−
>−+
05
02042
m
mm 
⇔ 




<<+−
−−<
5622
622
m
m
 (Xong) 
* LỜ I KẾT Ø ÁØ ÁØ Á 
 Khôn g d ám nghĩ các b ài g iải đề ngh ị trên là một “p hát hie än” của 
ng ười viết bài này . Mong rằn g n ó đươ ïc xem là một đ óng go ùp n ho nh ỏ để các 
bạn đ ồng nghie äp cu õng như các em ho ïc sinh n ếu chưa quan tâm thì b ây giơ ø đe å 
ý m ột chút x íu đến hìn h d ạng cu ï the å của mo ät đồ th ị đã dạy (hoặc đã ho ïc) 
tro ng chư ơng trình ph ổ thôn g đ ã giúp chu ùng ta g iải qu yết mo ät số bài toán 
cũng rất th ú v ị . 
Huỳnh Cơng Thành 
GV Tốn Trường THPT ðức Hịa, huyện ðức Hịa, tỉnh Long An. 
Em ail: crsth an h@gmail.com