Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên (2)

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002
Đại học khoa học tự nhiên
a) Giải phương trình : 
b) Giải hệ phương trình :
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình 
x2+ (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm.
Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2002 là một số chính phương.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểt thức: Trong đó x, y, z là
các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ 3.
Cho hình vuông ABCD. M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B)
và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng D) sao cho é MAN = é MAB + é NAD.
a) BD cắt AN, AM tương ứng tại p và Q. Chứng minh rằng 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi.
c) Ký hiệu diện tích của D APQ là S và diện tích tứ giác PQMN là S’. Chứng minh rằng tỷ số không đổi khi M, N thay đổi.