Đề thi tuyển vào THPT chuyên toán năm học: 2007 – 2008

đề thi tuyển vào thpt chuyên toán
Năm học: 2007 – 2008
Thời gian làm bài: 150 phút.
Bài 1: ( 4 Điểm )
Rút gọn biểu thức: 
Chứng minh rằng: 
với a+b < c.
Bài 2: ( 4 Điểm)
Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 – x – 1 = 0. Chứng minh các biểu thức P = a + b + a3 + b3; Q = a2 + b2 + a4 + b4; R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 là những số nguyên chia hết cho 5.
Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ có nghiệm.
Bài 3: ( 4 Điểm )
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn: a + b + c = 2. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.
Tìm một số có 5 chữ số. Biết rằng nếu xoá đi ba chữ số cuối cùng thì sẽ được số mới bằng căn bậc ba của số ban đầu.
Bài 4: ( 5 Điểm )
Cho đường tròn (O) với dây BC cố định ( BC < 2R ), điểm A trên cung lớn BC ( A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung ). Gọi H là hình chiếu của A trên BC, E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường kính AA’.
Chứng minh: HE^AC
Chứng minh: DHEF~DABC
Khi A di chuyển trên cung BC chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp DHEF là điểm cố định.
Bài 5 ( 2 Điểm ) 
Cho phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. 
Đặt ( n là số tự nhiên )
Tìm các giá trị a, b sao cho với mọi số tự nhiên n từ đó suy ra