Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi môn Toán học - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) b) 
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: với .
b) Tìm m để phương trình: x2 5x + m 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 
.
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A và song song với đường thẳng y = 3x + 1.
b) Một đội xe phải chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc, đội xe đó được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau.
Câu 4 (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OB (C khác O và B). Dựng đường thẳng d vuông góc với AB tại điểm C, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm M. Trên cung nhỏ MB lấy điểm N bất kỳ (N khác M và B), tia AN cắt đường thẳng d tại điểm F, tia BN cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường thẳng AE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm D (D khác A).
a) Chứng minh: AD.AE = AC.AB.
b) Chứng minh: Ba điểm B, F, D thẳng hàng và F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDN. 
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm N di chuyển trên cung nhỏ MB. 
Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn: abc = 1. 
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh:............................................................Số báo danh:.....................................
Chữ kí của giám thị 1: ........................................Chữ kí của giám thị 2: ..................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2016 - 2017
 (Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang)
Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) b) 
2,00
a
PT 
0,25
0,25
0,25
0,25
b
(1) y = -2x + 3
0,25
Thế vào (2) được: 
0,25
0,25
Từ đó tính được y = 3. Hệ PT có nghiệm (0;3).
0,25
2
a
Rút gọn biểu thức: với .
1,00
+) 
 =
0,25
+) 
0,25
A = .
0,25
A = 
0,25
2
b
Tìm m để phương trình: x2 5x + m 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn (1)
1,00
 +) Có: 37 - 4m, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 
0,25
 +) Theo Vi-et có : x1 + x2 = 5 (2) và x1x2 = m - 3 (3)
 Từ (2) suy ra x2 = 5 - x1, thay vào (1) được 3x12 - 13x1 + 14 = 0, giải phương trình tìm được x1 = 2 ; x1 = .
0,25
+) Với x1 = 2 tìm được x2 = 3, thay vào (3) được m = 9.
0,25
 +) Với x1 = tìm được x2 = , thay vào (3) được m = .
0,25
3
a
Tìm a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A và song song với đường thẳng y = 3x + 1.
1,00
+) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A nên: 5 = a(-1) + b (1) 
0,25
+) Đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x + 1 khi và chỉ khi a = 3 và b 1.
0,25
+) Thay a = 3 vào (1) tìm được b = 8.
0,25
+) b = 8 thoả mãn điều kiện khác 1. Vậy a = 3, b = 8.
0,25
3
b
Một đội xe phải chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc đội xe đó được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau.
1,00
Gọi số xe lúc đầu là x (x nguyên dương) thì mỗi xe phải chở khối lượng
 hàng là: (tấn)
0,25
Trước khi làm việc, có thêm 3 xe nữa nên số xe chở 36 tấn hàng là 
(x +3) xe, do đó mỗi xe chỉ còn phải chở khối lượng hàng là (tấn)
0,25
Theo bài ra có phương trình: 
Khử mẫu và biến đổi ta được: x2 + 3x - 108 = 0 (1)
0,25
Phương trình (1) có nghiệm là: x = 9; x = -12.
Đối chiếu điều kiện được x = 9 thoả mãn. Vậy số xe lúc đầu là 9 xe.
0,25
4
a
a) Chứng minh: AD.AE = AC.AB.
1,00
Vẽ hình đúng
0,25
 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), có: (Vì d vuông góc với AB tại C)
0,25
Do đó hai tam giác ADB và ACE đồng dạng (g.g)
0,25
0,25
4
b
Chứng minh: Ba điểm B, F, D thẳng hàng và F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDN.
1,00
Xét tam giác ABE có: AB EC. 
Do 
Mà AN cắt CE tại F nên F là trực tâm của tam giác ABE.
0,25
Lại có: (Vì )BD đi qua F B, F, D thẳng hàng.
0,25
+) Tứ giác BCFN nội tiếp nên , Tứ giác EDFN nội tiếp nên , mà nên NF là tia phân giác của góc DNC.
0,25
+) Chứng minh tương tự có: CF là tia phân giác của góc DCN. Vậy F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDN. 
0,25
4
c
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm N di chuyển trên cung nhỏ MB. 
1,00
Lấy điểm H đối xứng với B qua C, do B và C cố định nên H cố định.
0,25
Ta có: cân tại F (vì có FC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến)
0,25
Mà (Do cùng phụ với góc ) hay Tứ giác AEFH nội tiếp.
0,25
Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua hai điểm A, H cố địnhTâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AH cố định. 
0,25
5
Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn: abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
1,00
Ta có: a5 + b5 a2b2(a + b) (1) với a > 0, b> 0. 
Thật vậy: (1) (a - b)2(a + b)(a2 + ab + b2) 0, luôn đúng. 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b. 
0,25
 Do đó ta được: 
0,25
Tương tự có: và 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên được: 
0,25
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 khi a = b = c =1.
0,25