Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi môn Toán (chuyên) - Năm học 2015-2016
Câu III (2,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên thỏa mãn .
2) Tìm các số nguyên k để là số chính phương.
Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC.
1) Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc .
2) Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh .
3) Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành.
Câu V (1,0 điểm) Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm) Cho . Tính giá trị của biểu thức: Cho là hai số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng . Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình . Giải hệ phương trình Câu III (2,0 điểm) Tìm các số nguyên thỏa mãn . Tìm các số nguyên k để là số chính phương. Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc . Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh . Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành. Câu V (1,0 điểm) Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh bất đẳng thức . ----------------------------Hết---------------------------- Họ và tên thí sinh....................................................Số báo danh........................................... Chữ kí của giám thị 1: ..........................................Chữ kí của giám thị 2: ............................ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang) Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Cho . Tính giá trị của biểu thức: 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 I 2 Cho là hai số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 II 1 Giải phương trình . 1,00 Pt . ĐK: 0,25 Đặt (hoặc ) PTTT hoặc 0,25 TH1. giải ra vô nghiệm hoặc kết hợp với ĐK bị loại 0,25 TH 2. . Giải pt tìm được (TM) Vậy pt có nghiệm duy nhất 0,25 II 2 Giải hệ pt 1,00 ĐK: TH 1. (Không TM hệ) TH 2. . Đưa pt thứ nhất về dạng tích ta được 0,25 . Do nên 0,25 Thay vào pt thứ 2 ta được 0,25 Do nên Vậy (TMĐK) 0,25 III 1 Tìm các số nguyên thỏa mãn (1) 1,00 Ta có Ta thấy 0,25 Vì nên ta xét các trường hợp sau + TH1. Với , ta có (t.m) 0,25 + TH2. (loại) + TH3. (loại) 0,25 + TH4. Với , ta có Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên là : 0,25 III 2 Tìm các số nguyên k để là số chính phương. 1,00 Đặt Ta có 0,25 M là số chính phương khi và chỉ khi hoặc là số chính phương. TH 1. . 0,25 TH 2. là số chính phương, đặt 0,25 Vì nên hoặc Vậy hoặc thì là số chính phương 0,25 IV 1 Chứng minh IA là tia phân giác của góc . 1,00 Theo giả thiết 5 điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO 0,25 (Góc nội tiếp cùng chắn một cung) 0,25 cân tại A 0,25 đpcm 0,25 IV 2 Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh . 1,00 (Do ) 0,25 đồng dạng với 0,25 đồng dạng với 0,25 Tam giác vuông tại M có đường cao MH . Do 0,25 IV 3 Đường thẳng qua M, vuông góc với ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm A để AMPN là hình bình hành. 1,00 Ta có Do đó AMPN là hình bình hành Tam giác đồng dạng với 0,25 TH 1. Đặt . PTTT Do (Loại) 0,25 TH 2. Đặt . PTTT 0,25 Do Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hbh 0,25 V Chứng minh bất đẳng thức . 1,00 Ta có . Đặt thì Do nên . Vậy 0,25 Chứng minh được thỏa mãn Thật vậy, BĐT . Do nên BĐT này đúng 0,25 Tiếp theo ta sẽ CM thỏa mãn Đặt ta được 0,25 . BĐT này đúng Vậy . Đẳng thức xảy ra . 0,25
File đính kèm:
- de_thi_tuyen_sinh_lop_10_thpt_chuyen_nguyen_trai_mon_toan_ch.doc