Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Nguyễn Trãi môn Toán (Chuyên) - Năm học 2014-2015 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương (Có đáp án)
Câu IV (3,0 điểm):
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi M, N là hai điểm thay đổi trên đường thẳng d sao cho A nằm giữa M và N; AM.AN không đổi. BM và BN cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E.
1) Chứng minh: Tứ giác DENM là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: DE luôn đi qua điểm cố định khi M, N thay đổi.
3) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DENM. Chứng minh rằng K luôn thuộc
một đường thẳng cố định.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC HẢI DƯƠNG KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN THI: TOÁN ( Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm: 01 trang) ------------------------------------------------------------ Câu I (2,0 điểm): Cho số thực x thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức: 2) Tính giá trị biểu thức: với Câu II (2,0 điểm): Giải phương trình: Giải hệ phương trình: Câu III (2,0 điểm): Tìm các số nguyên tố n thỏa mãn: và với a; b là các số tự nhiên. 2) Tìm tất cả các số hữu tỉ a; b; c thỏa mãn: Câu IV (3,0 điểm): Cho đường tròn (O), đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi M, N là hai điểm thay đổi trên đường thẳng d sao cho A nằm giữa M và N; AM.AN không đổi. BM và BN cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E. Chứng minh: Tứ giác DENM là tứ giác nội tiếp. Chứng minh: DE luôn đi qua điểm cố định khi M, N thay đổi. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DENM. Chứng minh rằng K luôn thuộc một đường thẳng cố định. Câu V (1,0 điểm): Gọi x; y là các số thực thay đổi, thỏa mãn điều kiện: và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: -----------------------------Hết------------------------------ Họ và tên thí sinh :Số báo danh :. Chữ ký của giám thị 1 :...Chữ ký của giám thị 2 :... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán (chuyên ) I) HƯỚNG DẪN CHUNG - Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu ý Nội Dung Điểm I 1 1,00 Đặt M = (ĐK:) Ta có: 0,25 0,25 0,25 Có 0,25 I 2 1,00 Ta có: 0,25 0,25 0,25 0,25 II 1 1,00 Xét phương trình: (ĐK: ) 0,25 0,25 0,25 0,25 II 2 1,00 Xét hệ phương trình: 0,25 Đặt: 0,25 0,25 * 0,25 * Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: 0,25 III 1 1,00 Ta có: , dễ thấy a>1 Do n là số nguyên tố, a và b là các số tự nhiên, a>1, suy ra 0,25 0,25 Lại có: 0,25 Kiểm tra lần lượt các giá trị b ta được: 0,25 III 2 1,00 +) Chứng minh được là số vô tỉ 0,25 +) Đặt - Tập số hữu tỉ). Ta chứng minh được: Nếu có (*)( Vì trái lại thì x vô tỉ bằng hữu tỉ- Vô lý) 0,25 +) Nếu có thì ta có: và _ Nếu a =0 thì từ (1) và (*) ta có b = c =0 _ Nếu a0 thì từ (2) và (3) ta có Từ (1) và (4) ta có 0,25 Sử dụng kết quả (*), từ (5)ta có Nếu b=0 từ (**) ta có ( Vô lý vì ) Nếu b0 từ (**) ta có ( Vô lý vì a0 ) Vậy ( 1) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0 0,25 IV 1 1,00 Ta có: (góc nt chắn ) 0,25 (cùng phụ với ) 0,25 0,25 Do Tứ giác DENM nội tiếp. 0,25 IV 2 1,00 Chứng minh và đồng dạng và đồng dạng 0,25 Gọi I là giao điểm của DE và AB (AB là đường kính, từ gt của M,N suy ra D và E nằm về hai phía của AB nên I nằm giữa A và B) Chứng minh và đồng dạng và đồng dạng 0,25 và đồng dạng 0,25 Từ (1) và (2) suy ra (3) Do AM.AN không đổi, IA + IB = AB không đổi, từ (3) ta có I cố định. 0,25 IV 3 1,00 Ta có: ID.IE = IA.IB = OA2 - OI2 Tương tự ID.IE = KD2 - KI2 (*) và AM.AN = KM2 - KA2 (**) 0,25 Từ (*),(**) ta có KI2 - KA2 = AM.AN - IA.IB là số dương không đổi. 0,25 Kẻ KH vuông góc với AB tại H suy ra HI2 - HA2 = KI2-KA2 = m 0,25 hay (HI - HA)(HI + HA) = IA.(2HA + IA) = m Do I, A cố định, m không đổi suy ra H cố định. Vậy K luôn thuộc vào đường thẳng vuông góc với AB tại H xác định như trên. 0,25 V 1,00 Đặt (vì xy = 4) 0,25 0,25 Do . Dấu “=” xẩy ra khi a = 3 . Dấu “=” xẩy ra khi a = 3 0,25 Khi đó Vậy MinA = 4 khi 0,25
File đính kèm:
- de_thi_tuyen_sinh_lop_10_thpt_chuyen_nguyen_trai_mon_toan_ch.doc