Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán khối B năm 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 
Môn thi: TOÁN; Khối: B 
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) 
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM 
Câu Đáp án Điểm 
1. (1,0 điểm) Khảo sát 
• Tập xác định: .D = \
• Sự biến thiên: 
- Chiều biến thiên: hoặc 3' 8 8 ;y x x= − ' 0y = ⇔ 0x = 1.x = ±
Hàm số nghịch biến trên: và đồng biến trên: và (1 ( ; 1)−∞ − (0;1); ( 1;0)− ; ).+ ∞
0,25 
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại đạt cực đại tại y1, 2;CTx y= ± = − 0,x = CĐ 0.=
- Giới hạn: lim lim .
x x
y y
→−∞ →+∞
= = +∞ 0,25 
- Bảng biến thiên: 
 Trang 1/4 
0,25 
• Đồ thị: 
0,25 
2. (1,0 điểm) Tìm ...m
2 2 2x x m− = ⇔ 4 22 4 2 .x x m− = 0,25 
Phương trình có đúng nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị 
hàm số 
6 2y m=
4 22 4y x x= − tại điểm phân biệt. 6 0,25 
Đồ thị hàm số 4 22 4y x x= − 
và đường thẳng . 2y m=
0,25 
I 
(2,0 điểm) 
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thoả mãn khi và chỉ khi: 0 2 2m< < ⇔ 0 1m< <
x −∞ 1− 0 1 +∞
 + 
+∞
x
y' − 0 + 0 − 0 
y 
+∞
2− 2−
0
O 
y
2−
2−
1− 1
16
2
y
O x
2
21− 1
16
2−
2y m=
. 0,25 
 Trang 2/4 
Câu Đáp án Điểm 
1. (1,0 điểm) Giải phương trình 
Phương trình đã cho tương đương: 2(1 2sin )sin cos sin 2 3 cos3 2cos 4x x x x x− + + =
II 
x 
⇔ sin cos2 cos sin 2 3 cos3 2cos4x x x x x+ + = x 
0,25 
⇔ sin3 3 cos3 2cos 4x x x+ = ⇔ cos 3 cos4 .
6
x xπ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
⇔ 4 3 2
6
x x kπ π= − + hoặc 4 3 2
6
x x kπ π= − + + . 0,25 
Vậy: 2
6
x kπ π= − + hoặc 2 ( )
42 7
x k kπ π= + ∈] . 0,25 
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
Hệ đã cho tương đương: 
2
2
1 7
1 13
xx
y y
xx
y y
⎧
+ + =⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎩
 (do không thoả mãn hệ đã cho) 0y = 0,25 
⇔ 2
1 7
1 13
xx
y y
xx
y y
⎧⎛ ⎞
+ + =⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎨⎛ ⎞⎪
+ − =⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩
⇔ 
2
1 1 20 0
17
x x
y y
x x
y y
⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ + + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎛ ⎞⎪
= − +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
 0,25 
⇔ 
1 5
12
x
y
x y
⎧
+ = −⎪⎨⎪
=⎩
(I) hoặc 
1 4
3
x
y
x y
⎧
+ =⎪⎨⎪
=⎩
 (II). 0,25 
(2,0 điểm) 
(I) vô nghiệm; (II) có nghiệm: 1( ; ) 1;
3
x y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ và ( ; ) (3;1).x y =
Vậy: 1( ; hoặc ( ; ) 1;
3
x y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ) (3;1).x y =
0,25 
Tính tích phân 
3 ln ,u x= + 2 ;( 1)
dxdv
x
=
+
 1 ,du dx
x
= 1 .
1
v
x
= −
+
 0,25 
I 
3 3
1 1
3 ln
1 ( 1)
x dx
x x x
+
= − +
+ +∫ 0,25 
3 3
1 1
3 ln3 3 1
4 2
dxdx
1x x
+
= − + + −
+∫ ∫ 0,25 
III 
(1,0 điểm) 
3 3
1 1
3 ln3 1 27ln ln 1 3 ln .
4 4
x x− ⎛ ⎞= + − + = +⎜ ⎟⎝ ⎠16 0,25 
Tính thể tích khối chóp 
Gọi D là trung điểm và là trọng tâm tam giác AC G ABC
ta có ' ( )B G ABC⊥ ⇒ n'B BG = 60D 
⇒ n 3' ' .sin '
2
aB G B B B BG= = và 
2
aBG = ⇒ 3 .
4
aBD = 
Tam giác có: ABC 3 ,
2 2
AB ABBC AC= = ⇒ .
4
ABCD = 
0,50 
IV 
(1,0 điểm) 
 2 2 2
B A
BC CD BD+ = ⇒ 
2 2 2
6
3 9
4 16 1
AB AB a
+ = ⇒ 3 13 ,
13
aAB = 3 13 ;
26
aAC = 
29 3 .
104ABC
aSΔ = 0,25 
' 
B 
C 
' 
G 
C'
A
D 
 Trang 3/4 
Câu Đáp án Điểm 
Thể tích khối tứ diện ' :A ABC ' '
1 ' .
3A ABC B ABC ABC
V V B G SΔ= =
39 .
208
a
= 0,25 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Kết hợp với 3( ) 4x y xy+ + ≥ 2 2( ) 4x y x+ ≥ y suy ra: ⇒ 3 2( ) ( ) 2x y x y+ + + ≥ 1.x y+ ≥ 0,25 
A 4 4 2 2 2 23( ) 2( ) 1x y x y x y= + + − + + = ( )22 2 4 4 2 23 3 ( ) 2( )2 2x y x y x y+ + + − + +1 0,25 
≥ ( ) ( )2 22 2 2 2 2 23 3 2( ) 12 4x y x y x y+ + + − + + ⇒ ( ) ( )
22 2 2 29 2 1
4
A x y x y≥ + − + + . 
Đặt , ta có 2t x y= + 2
2
2 2 ( ) 1
2 2
x yx y ++ ≥ ≥ ⇒ 1 ;
2
t ≥ do đó 29 2 1
4
A t t≥ − + . 
Xét 29( ) 2 1;
4
f t t t= − + 9'( ) 2 0
2
f t t= − > với mọi 1
2
t ≥ ⇒
1;
2
1 9min ( ) .
2 16
f t f
⎡ ⎞
+∞ ⎟⎢⎣ ⎠
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,25 
V 
(1,0 điểm) 
9 ;
16
A ≥ đẳng thức xảy ra khi 1 .
2
x y= = Vậy, giá trị nhỏ nhất của bằng A 9 .
16
 0,25 
1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ tâm ...K
Gọi ⇔( ; );K a b ( )K C∈ 2 2 4( 2)
5
a b− + = (1); tiếp xúc 1( )C 1,Δ 2Δ ⇔
VI.a 
7
2 5 2
a b a b− −
= (2). 0,25 
(1) và (2), cho ta: 
2 25( 2) 5 4
5 7
a b
a b a b
⎧ − + =⎪⎨
− = −⎪⎩
 (I) hoặc (II). ⇔
2 25( 2) 5 4
5( ) 7
a b
a b a b
⎧ − + =⎨
− = −⎩
2 25( 2) 5 4
5( ) 7
a b
a b b a
⎧ − + =⎨
− = −⎩ 0,25 
(2,0 điểm) 
(I) vô nghiệm; (II) ⇔
225 20 16 0
2
a a
b a
⎧ − + =⎨
= −⎩
⇔ 2
2 8 4( ; ) ; .
5 525 40 16 0
a b
a b
b b
=⎧ ⎛ ⎞
⇔ =⎨ ⎜ ⎟
− + = ⎝ ⎠⎩
 0,25 
Bán kính 1( ) :C
2 2 .
52
a b
R
−
= = Vậy: 8 4;
5 5
K ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ và 
2 2 .
5
R = 0,25 
2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng ( )...P 
Mặt phẳng ( )P thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau: 
Trường hợp 1: ( )P qua ,A B và song song với .CD 0,25 
Vectơ pháp tuyến của ( ) :P , .n AB CD⎡ ⎤= ⎣ ⎦
G JJJG JJJG
( 3; 1;2),AB = − −
JJJG JJJG
 ( 2;4;0)CD = − ⇒ ( 8; 4; 14).n = − − −G Phương trình ( )P : 4 2 7 15 0.x y z+ + − = 0,25 
Trường hợp 2: ( )P qua ,A B và cắt Suy ra .CD ( )P cắt CD tại trung điểm của 
 vectơ pháp tuyến của 
I .CD
(1;1;1) (0; 1;0);I AI⇒ = −JJG ( ) :P , (2;0;3).n A= B AI⎡ ⎤ =⎣ ⎦
G JJJG JJG
 0,25 
Phương trình ( ) : 2 3 5 0.P x z+ − =
Vậy ( ) hoặc : 4 2 7 15 0P x y z+ + − = ( ) : 2 3 5 0.P x z+ − =
0,25 
Tìm số phức ...z
Gọi ;z x yi= + (2 ) ( 2) ( 1) ;z i x y i
VII.a 
2 2(2 ) 10 ( 2) ( 1) 10z i x y− + = ⇔ − + − =− + = − + − (1). 0,25 
2 2. 25 25z z x y= ⇔ + = (2). 0,25 
(1,0 điểm) 
Giải hệ (1) và (2) ta được: hoặc ( ; Vậy: hoặc ( ; ) (3;4)x y = ) (5;0).x y = 3 4z i= + 5.z = 0,50 
 Trang 4/4 
Câu Đáp án Điểm 
1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ các điểm , ...B C 
Gọi là hình chiếu của trên suy ra là trung điểm H A ,Δ H .BC 
9( , ) ;
2
AH d A BC= = 
2 4 2.ABCSBC
AH
Δ
= = 
VI.b 
2
2 97 .
4 2
BCAB AC AH= = + = 
0,25 
Toạ độ B và C là nghiệm của hệ: ( ) ( )
2 2 971 4
2
4 0.
x y
x y
⎧
+ + − =⎪⎨⎪
− − =⎩
 0,25 
Giải hệ ta được: 11 3( ; ) ;
2 2
x y ⎛= ⎜⎝ ⎠
⎞⎟ hoặc 3 5( ; ) ; .2 2x y
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
Vậy 11 3 3 5; , ;
2 2 2 2
B C⎛ ⎞ ⎛ −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ hoặc 
3 5 11 3; , ;
2 2 2 2
B C⎛ ⎞ ⎛−⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ .
⎞⎟⎠ 0,25 
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng 
Gọi là đường thẳng cần tìm; nằm trong mặt phẳng 
 qua và song song với 
Δ Δ
( )Q A ( ).P 
Phương trình ( ) : 2 2 1 0.Q x y z− + + =
0,25 
,K là hình chiếu của H B trên Ta có ,Δ ( ).Q BK BH≥ nên là đường thẳng cần tìm. AH 0,25 
Toạ độ thoả mãn: ( ; ; )H x y z=
1 1 3
1 2 2
2 2 1 0
x y z
x y z
− + −⎧
= =⎪
−⎨⎪
− + + =⎩
⇒ 1 11 7; ; .
9 9 9
H ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
(2,0 điểm) 
26 11 2; ; .
9 9 9
AH ⎛= −⎜⎝ ⎠
JJJG
H B C
A 
Δ
B 
⎞⎟ Vậy, phương trình 3 1: .26 11 2
x y z+ −Δ = =
−
 0,25 
Tìm các giá trị của tham số ...m
Toạ độ ,A B thoả mãn: 
2 1x x m
x
y x m
⎧ −
= − +⎪⎨⎪
= − +⎩
 ⇔
22 1 0, ( 0)
.
x mx x
y x m
⎧ − − = ≠⎨
= − +⎩
(1)
0,25 
Nhận thấy (1) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2,x x khác 0 với mọi .m
Gọi ta có: .1 1 2 2( ; ), ( ; )A x y B x y
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2( )AB x x y y x x= − + − = − 
0,25 
Áp dụng định lí Viet đối với (1), ta được: 
2
2 2
1 2 1 22 ( ) 4 4.2
mAB x x x x⎡ ⎤= + − = +⎣ ⎦ 0,25 
VII.b 
(1,0 điểm) 
2
4 4 16 2
2
mAB m= ⇔ + = ⇔ = ± 6. 0,25 
-------------Hết------------- 
Q 
K
A H