Đề thi tuyển chọn hệ Kỹ sư tài năng và Chất lượng cao môn Toán - Đại học Bách Khoa

1
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ Kỹ sư tài năng và Chất lượng cao năm 1999
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 90 phút1
Bài 1:
Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) xác định trên toàn R, được cho
như sau :
f(x) =
{
x+ x
1+e
1
x
x 6= 0
0 nếu x = 0
Bài 2:
Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a−2b+3c−16 = 0 sao cho biểu
thức
f = 2a2 + 2b2 + 2c2 − 4a − 4b − 4c+ 15
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3:
Chứng minh rằng phương trình
a.cosx+ b.sin2x+ c.cos3x = x
có nghiệm trên đoạn [−pi, pi] với mọi a, b, c ∈ R.
Bài 4:
Tìm hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [0, 1] biết rằng
0 ≤ f(x) ≤ 1 ∀x ∈ [0, 1]
và
|f(x1)− f(x2)| ≥ |x1 − x2| ∀x1, x2 ∈ [0, 1].
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp
1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2000
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 90 phút1
Bài 1:
Cho dãy số x1, x2, . . . , xn, . . . , xác định như sau:
xn > 0, xn = ln(1 + xn−1)∀n ≥ 1
Chứng minh rằng dãy số ấy hội tụ đến một giới hạn l.Tính l.
Bài 2:
Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số xác định trên R, thỏa mãn điều kiện
|f(x1)− f(x2)| ≤ |x1 − x2|3, ∀x1, x2 ∈ R,
thì f(x) là hàm hằng.
Bài 3:
f(x) là một hàm số xác định và liên tục tại mọi x 6= 0, lấy giá trị ≤ 0 ,
thỏa mãn điều kiện
f(x) ≤ k
∫ x
0
f(t)dt.∀x ≥ 0
trong đó k là một hằng số dương, Chứng minh rằng f(x) = 0, ∀x ≥ 0.
(Gợi ý : Có thể xét sự biến thiên của hàm số F (x) = e−kx
∫ x
0 f(t)dt trên
khoảng (0,+∞))
Bài 4:
Hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện f ′′(x) ≥ 0, ∀x ∈ R. Chứng minh rằng
f [tx + (1− t)y] ≤ tf(x) + (1− x)f(y), ∀x, y ∈ R, ∀t ∈ (0, 1).
Bài 5:
Cho số thực k1, k2, . . . , kn, khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng
a1e
k1x + a2e
k2x + . . . + ane
knx = 0 ∀x ∈ R
Khi và chỉ khi a1 = a2 = . . . = an = 0.
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp
1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2001
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút1
Bài 1:
Cho hàm số f(x) = e
x
(x+1)2 . Xét dãy số {un} xác định bởi u0 = 1, un+1 =
f(un) với mọi n nguyên dương.
1/ Chứng minh rằng phương trình f(x) = x có một nghiệm duy nhất α
trong khoảng (12 , 1).
2/ Chứng minh rằng un ∈ [12 , 1] với mọi n nguyên dương.
3/ Chứng minh rằng f ′(x) tăng trên đoạn [12 , 1]. Suy ra tồn tại một số
k ∈ (0, 1) sao cho |un − α| = k|un − α| với mọi n nguyên dương,
4/ Chứng minh rằng:
limn→∞un = α.
Bài 2:
Với hai số x, y ∈ R ta đặt d(x, y) = |x−y|1+|x−y| .
Chứng minh rằng với 3 số x, y, z ∈ R ta luôn có d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Bài 3:
Cho hàm số f(x) có f”(x) > 0 và a < b, Chứng minh rằng :
1/
f [λx1+(1−λ)x2] > λf(x1)+(1−λ)f(x2) ∀ x1, x2 ∈ [a, b], ∀ 0 < λ < 1.
2/ ∫ b
a
f(x)dx ≤ (b− a)f(a+ b
2
)
Bài 4:
Cho a < b và hàm số f(x) có f ′(x) liên tục trên R thỏa mãn f(a) = f(b) = 0
và
∫ b
a |f ′(x)|dx = m. Chứng minh rằng :
|f(x)| ≤ m
2
∀ x ∈ [a, b].
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp
1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2002
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút1
Bài 1:
Cho bất phương trình :
x
1 + |x| ≥ mx
2 + x (1)
1/ Giải bất phương trình (1) khi m = 2.
2/ Tìm m ∈ R lớn nhất sao cho bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
x ∈ R.
Bài 2:
Cho dãy số {xn} xác định như sau :{
x1 = −13
xn+1 =
x2n
2 − 1 nếu n ≥ 1
Chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn khi n→∞ và tìm giới hạn đó.
Bài 3:
Cho các số thực a0, a1, . . . , a2002 thỏa mãn :{
a0 6= 0
a0 +
a1
2 +
a2
3 + . . . +
a2002
2003 = 0
Chứng minh rằng phương trình
a0 + a1x + a2x
2 + . . . + a2002x
2002 = 0
có nghiệm trên đoạn [0, 1].
Bài 4:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f”(x) ≥ 0 trên toàn bộ R và
a ∈ R cố định. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f(x) + (a − x)f ′(x)
trên R.
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp
1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2003
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút1
Bài 1:
Tìm đa thức P (x) có bậc bé nhất, đạt cực đại tại x = 1 với P (1) = 6 và
đạt cực tiểu tại x = 3 với P (3) = 2.
Bài 2:
Có tồn tại hay không một đa thức P (x) thỏa mãn hai điều kiện :
i)P (x) ≥ P”(x)
ii)P ′(x) ≥ P”(x)
với mọi giá trị của x.
Bài 3:
1/ Cho hàm số f(x) xác định và f ′(x) > 0 ∀x ∈ R. Biết rằng tồn tại x0 ∈ R
sao cho f(f(f(f(x0)))) = x0. Chứng minh rằng f(x0) = x0.
2/ Giải hệ phương trình :
x = y3 + 2y − 2
y = z3 + 2z − 2
z = t3 + 2t− 2
t = x3 + 2x − 2
Bài 4:
Cho dãy số {xn} thỏa mãn :{
x1 = 2
x1 + x2 + . . . + xn = n
2xn
Tìm giới hạn :
limn→∞(n2xn)
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp
1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2004
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 90 phút1
Bài 1:
Tìm các số a, b, c sao cho :
lim
x→±∞
a(2x3 − x2) + b(x3 + 5x2 − 1) − c(3x3 + x2)
a(5x4 − x)− bx4 + c(4x4 + 1) + 2x2 + 5x = 1
Bài 2:
Chứng minh rằng với mọi tham số m, phương trình :
x3 − 9x −m(x2 − 1) = 0
luôn có 3 nghiệm.
Bài 3:
f(x) là một hàm số xác định trên đoạn [0, 1], lấy giá trị trên đoạn [0, 1],
thỏa mãn điều kiện :
|f(x1) − f(x2)| ≤ |x1 − x2|, ∀ x1, x2 ∈ [0, 1]
Chứng minh rằng tồn tại một điểm duy nhất x0 ∈ [0, 1], sao cho f(x0) = x0.
Bài 4:
1/ Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì :
|
∫ b
a
f(x)dx| ≤
∫ b
a
|f(x)|dx
2/ Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b]
và thỏa mãn điều kiện f(a) = f(b) = 0 thì :
|
∫ b
a
f(x)dx| ≤ (b− a)
2
4
M
trong đó
M = maxa≤x≤b|f ′(x)|
Khi nào xảy ra dấu đẳng thức ?
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp
1
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ Kỹ sư tài năng và Chất lượng cao năm 2005
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút1
Bài 1:
Cho dãy số {un} xác định như sau:
un = un−1 +
1
un−1
, n ≥ 0, u0 = 1.
1/ Chứng minh rằng dãy số ấy không dẫn tới một giới hạn hữu hạn khi n→∞.
2/ Chứng minh rằng :
lim
n→∞
un = +∞
Bài 2:
Cho hàm số f(x) liên tục, đơn điệu giảm trên đoạn [0, b] và a ∈ [0, b].
Chứng minh rằng :
b
∫ a
0
f(x)dx ≥ a
∫ b
0
f(x)dx
Bài 3:
f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [0, pi
2
], thỏa mãn
f(x) > 0,
∫ pi
0
2f(x)dx < 1
Chứng tỏ rằng phương trình
f(x) = sinx
có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0, pi
2
)
Bài 4:
Cho hàm số :
f(x) =
{
xαsin( 1
x
) nếu x 6= 0
0 nếu x = 0
α là hằng số dương. Với giá trị nào của α, hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi x.
Bài 5:
Tìm tất cả các hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn hệ thức
f(x+ y) = f(x) + f(y) + 2xy (∀x, y ∈ R)
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp
1
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ Kỹ sư tài năng và Chất lượng cao năm 2006
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút1
Bài 1:
Phương trình : x3 − ax2 + 4 = 0, (trong đó a là tham số), có bao nhiêu nghiệm ?
Bài 2:
Cho dãy số {un} xác định như sau : u0 ∈ R và
un+1 = un +
∫ 1
0
|t− un|dt ∀n ∈ N
1/ Chứng minh rằng : Đó là một dãy số tăng và nếu u0 ≥ 1 thì :
un+1 = 2un − 1
2
Từ đó chứng minh rằng
limn→∞un = +∞
2/ Chứng minh rằng nếu 0 ≤ u0 < 1 hay nếu u0 < 0 thì limn→∞un = +∞.
Bài 3:
Với mọi n nguyên dương, đặt In =
∫ 1
0
xnln(1 + x2)dx.
1/ Tính limn→∞In .
2/ Giả sử c ∈ (0, 1). Đặt An =
∫ c
0
xnln(1 + x2)dx, Bn =
∫ 1
c
xnln(1 + x2)dx.
Chứng minh rằng limn→∞AnBn = 0.
Bài 4:
1/ Tìm những hàm số f(x) xác định trên R liên tục tại 0 sao cho :
f(2x) = f(x) ∀x ∈ R
2/ Tìm những hàm số g(x) xác định trên R, có đạo hàm tại 0, sao cho :
g(2x) = 2g(x) ∀x ∈ R
Bài 5:
x và y là hai đường thẳng chéo nhau. A và B là hai điểm cố định trên x. CD là đoạn
thẳng có chiều dài l cho trước trượt trên y. Tìm vị trí của CD sao cho diện tích toàn phần
của tứ diện ABCD là nhỏ nhất. .
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp