Đề thi thử môn Toán kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia 2009-2010

	 	 ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
	KỲ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 2009-2010
	-----------------------------------------------
Câu 1: (5 điểm) (Phương trình, hệ phương trình) 
Giải hệ phương trình
Câu 2: (4 điểm)(Giải tích)
	Cho dãy số (an) thỏa a1 = 1 và với . 
Chứng minh dãy số (an) có giới hạn và tìm giới hạn đó.	
Câu 3: (5 điểm) (Hình học)
	Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.
	1.Gọi độ dài đoạn thẳng AM = x. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác BMNC.
	2.Hãy dựng tam giác cân AMN sao cho M thuộc AB, N thuộc AC, AM = AN và MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Câu 4: (3 điểm)(Số học)
	Xác định các số nguyên a, b, c, d, e sao cho 
Câu 5: (3 điểm)(Tổ hợp)
	Cho tập hợp . Lập một số N gồm 2010 chữ số thỏa mãn N chia hết 99.999 và các chữ số của N được lấy từ các số thuộc tập X. Tính trung bình cộng tất cả các số N tìm được.
	------Hết----- 
	ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
	KỲ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 2009-2010
	-----------------------------------------------
Câu
Nội dung 
Điểm
Câu 1
5 điểm
Giải hệ phương trình
.Đặt điều kiện 
.Khi đó 
.Để phương trình có nghiệm thì 
Xét hàm số 	với 
	 với 
	 đồng biến khi 
.Khi đó 
.Suy ra 
.Vậy là nghiệm duy nhất của hệ.
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 2
4 điểm
 Vậy an > 
.
Suy ra: .
Suy ra: 
Vậy: .
Suy ra: .
Do đó 
Câu 3 
5 điểm
1.Tìm GTLN của diện tích tứ giác BMNC:
.Dựng BE, CF song song MN (hình vẽ)
.
.Ta có 
.Khảo sát khi 
2.Dựng tam giác cân AMN:
Ta có 
Với ta có 
.Cách dựng :
 +Dựng trên AB đoạn , suy ra M
 +MG cắt AC tại N.
 +suy ra tam giác AMN cần dựng.
.Biện luận : bài toán có nghiệm khi và và 
Câu 4
3 điểm
.Đồng nhất hai đa thức ta được
 vì a, b, c, d, e các số nguyên
Nên các khả năng của cặp (b, e) là 
Thay a= -c vào (2) , (3), (4) ta có 
.Đưa về phương trình bậc hai theo c, buộc là số chính phương
.Kết quả 
Câu 5 
3 điểm
Cho tập hợp . Lập một số N gồm 2010 chữ số thỏa mãn N chia hết 99.999 và các chữ số của N được lấy từ các số thuộc tập X. Tính trung bình cộng tất cả các số N tìm được.
.Gọi M là tập hợp các số N thỏa điều kiện đề bài.
.Ta xây dựng ánh xạ như sau :
	Nếu thì với . 
.Với cách xây dựng như vậy, ta có :
	 chia hết cho 99.999
	Suy ra là song ánh từ 
.Từ đó ta có 
.Suy ra trung bình cộng tất cả các số N tìm được là :
0,5
1,5
1,0
0,5
Hết