Đề thi thử Đại học môn Toán khối D năm 2010

Sở GD-ĐT
Trường THPT

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
Môn Toán, Khối D (Thời gian làm bài 180 phút)
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0điểm)
Câu I(2,0điểm). Cho hàm số : y =
2 x + m - 1
x - 2

(Cm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0
2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của (Cm) với trục tung
bằng
2
5
.
Câu II(2,0điểm)
1.Giải phương trình : sinx( 2cos2x + 1 ) - cosx( 2sin2x + 3 ) = 1
2. Giải phương trình :
x - 1 + 3 - x - 4 4 x - x 2 - 3 = -2
p
2
( với x ÎR )
Câu III(1,0điểm). Tính tích phân sau : I =
x ( e cos x + sin x ) dx
Câu IV (1,0điểm) .Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA
= 2a. Gọi M là trung điểm của CD, I là giao điểm của AC và BM .Tính thể tích của khối chóp I.SAD
Câu V(1,0điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:
b c 1 1 1
+ 3 + 3 ³ 2 + 2 + 2
c a a b c
Phần riêng(3,0điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa.(2,0điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ oxy, cho hình bình hành ABCD biết phương trình các đường
thẳng AB, BC và AC lần lượt là : x - 5y - 2 = 0 , x + y - 8 = 0 và x - y + 2 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh D.
2. Trong không gian với hệ tọa độ oxyz cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 , biết D(0;0;0) ,
A(a;0;0) , C(0;a;0) , D1(0;0;a). Gọi M là trung điểm của DD1, G là trọng tâm của tam giác
ABB1.Viết phương trình mặt cầu đường kính MG .
Câu VIIa.(1,0 điểm)
n
æ 1 ö 3 3
Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ç
è x ø
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb.(2,0điểm)
1. Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng D : 2 x - 3 y + 1 = 0 và điểm I(1 ; -1).Viết phương trình
đường tròn tâm I cắt D theo một dây cung có độ dài bằng 8 .
2. Trong không gian với hệ tọa độ oxyz cho tam giác ABC , biết A(5;1;3) , B(5;0;0) , C(4;0;6) .
Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC .
Câu VIIb(1,0điểm)
0 1 1 1 2
Tính tổng : S = Cn + C n + C n + ... +
2 3
C n , biết Cn + Cn -1 + C n -2 = 79
(với Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử) .
Gi¸m thÞ xem thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm!

Hä vµ tªn thÝ sinh :.....................................SBD :............
̣ sin
0
b
a
3
ç 3 + x ÷ , biết Cn +4 - C n+3 = 7(n + 3)
÷
n n n n
n + 1
1
k
Đáp án - thang điểm
Đề kiểm tra chất lượng dạy học bồi dưỡng môn toán khối D-năm 2009-2010.
Câu
I(2,0đ)

1.(1,25đ).
Đáp án
Điểm
Với m = 0 ta có hàm số : y =
Tập xác định : D =R\ {2}
Sự biến thiên:
2x - 1
x - 2

0,25
Chiều biến thiên: y' =
- 3
( x - 2) 2
< 0 , với "x Î D
~ hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-¥;2) và (2 ; + ¥ )
cực trị : Hàm số không có cực trị
Giới hạn : lim y = lim y = 2 ; lim y = +¥ , lim y = -¥ ~ đồ thị có một tiệm cận
x®-¥
x®+¥
x®2 +
x®2 -
đứng là đường thẳng x =2 và một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2
Bảng biến thiên :
x

- ¥

2

+ ¥
y '
y
2

- ¥
+ ¥

2
Đồ thị : cắt trục tung tại ( 0; -

1
) , cắt trục hoành taị ( - ;0)
2

0,25
đồ thị nhận điểm I(2 ;2) làm tâm đối xứng .
y
O

I

x

0,25
0,25
0,25
1
2
2.(0,75đ)
Gọi A là giao điểm của (Cm)với oy ta có A( 0;

) , và D là tiếp tuyến với
(Cm) tại A. Ta có pt D : y = y'(0).x +

1 - m
2

~ pt D : (m+3)x + 4y +2m -2 = 0

0,25
II.(2,0đ)

theo gt ta có : d(O; D ) =
1.(1,0đ)

Û

2m - 2 2
= Û ê
(m + 3) 2 + 16 5

ë 3

0,5
pt Û 2(sinx.cos2x - cosx.sin2x) + sinx - 3 cosx = 1
Û -2sinx + sinx - 3 cosx = 1
p 1
Û sinx + 3 cosx = -1 Û sin( x + ) = - .
3 2
é p 7p
êx + 3 = 6 + k 2p
êx + p = - p + k 2p
ë 3 6
é 5p
ê x = 6 + k 2p
ê x = - p + k 2p
2

; (k Î Z)

0,5
2.(1,0đ).
Đk : 1 £ x £ 3
đặt t = x - 1 + 3 - x . (t ³ 0) ~ 4x - x 2 - 3 =

t 2 - 2
2
0,25
0,25
ta có phương trình: t - 4.
ét = 2

= -2 Û 2t 2 - t - 6 = 0
êt = - 3
ë 2
, do t ³ 0 ,nên t = 2
0,25
t = 2 ~
x - 1 + 3 - x = 2 Û 4 x - x 2 - 3 = 1 Û x 2 - 4 x + 4 = 0 Û x = 2

0,25
III.(1,0đ)

p
2

p
2
Ta có : I =
̣ e
0
cos x
.sin xdx + ̣ sin 2 x.dx
0

0,5
p
2
= - ̣ e cos x .d (cos x) +
0
p
p

(1 - cos 2x)dx
p
= -e
cos x
1 1 p
/ + ( x - sin 2x) / = + e - 1
2 2 4

0,5
1 - m
2
ém = 0
êm = 7
2
5
0,5
Û ê
ê
Û ê
ë
ê
t - 2
2
2
Û ê
1
2 ̣
2
0
2
2
0
0
IV.(1,0đ)
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có :
1
AI = AO + OI = AO + OC =
3
a 2 1 a 2 2a 2
+ =
2 3 2 3
1 1 2a 2
~ SAID = AI.AD.sinDAI = .
2 2 3

.a.
2 a
=
2 3
0,25
1 1
~ VI.SAD = VS.ADI = SA. SAID = .2a.
3 3
a
3

=
2a
9
3

(đvtt)

0,25
S
A
B
O
I
D
M
C
V.(1,0đ)

Theo bđt TBC-TBN ta có :

b
c

a 1 1
+ 3 + 2 ³ 3 2
b 1 1
+ 3 + 2 ³ 3 2
c
a
c 1 1
+ 3 + 2 ³ 3 2
0,75
cộng theo vế 3 bđt trên ~ đpcm

0,25
VIa.(2,0đ)

1.(1,0đ)
Ta có : A = AB Ç AC ~ tọa độ A là nghiệm của hệ phương
´x - 5 y - 2 = 0 ´x = -3
trình: í Û í ~ A(-3 ; -1)
îx - y + 2 = 0 î y = -1
Tương tự ta cũng có B(7 ; 1) và C(3; 5) .
Gọi I là giao điểm của AC và BD ,ta có : là trung điểm của AC nên I(0 ; 2) và
0,5
2
2
b
a
b
b
a
3
3
c
b
c
3
a
c
a
0.5
I là trung điểm của BD, nên D(-7; 3).
2.(1,0đ)
Ta có : B( a ;a ;0 ) ; B1(a;a;a) ; A(a ;0 ;0) .
0,25
z
C1
D1
M

B1
A1
D

G

A
x
C
B
y
vì G là trọng tâm của tam giác ABB1 , nên G(a;

2a a
; )
3 3

0,25
a
và M là trung điểm của DD1 nên M(0;0; ) .Gọi I là trung điểm của MG ~
2
I( ; ; ) ; MG = a 2 + ( ) 2 + ( ) 2 = .
2 3 12 3 6 6
2 2 2
æ a ö æ a ö æ 5a ö
~ pt mặt cầu đường kính MG : ç x - ÷ + ç y - ÷ + ç z - ÷ =
è 2 ø è 3 ø è 12 ø

2
53a
144

0,5
3 3
VIIa.(1,0đ) Từ Cn +4 - C n+3 = 7(n + 3) Û

(n + 4)! (n + 3)!
-
3!(n + 1)! 3!.n!

= 7(n + 3)
0,5
Û (n + 4)(n + 2) - (n + 2)(n + 1) = 42 Û n = 12
12
æ 1 ö æ -1 ö
Khi đó ta có : ç 3 + x ÷ = ç x 3 + x 2 ÷ , có số hạng tổng quát là :
ø è ø
VIb.(2,0đ)
1 1 k 12-k
k 12 - k
C12 ( x 3 )12-k .(x 2 ) k = C12 .x 2 3 ; ứng với số hạng chứa x, ta có : -
2 3
5
Û k = 5 ~ hệ số là C12 = 792
1.(1,0đ)

= 1

0,5
R là bán kính của đường tròn cần tìm.giả sử đường tròn tâm I cắt D theo
dây cung AB, với AB = 8. Gọi H là trung điểm của AB; ta có R =
0,5
a a 5a 2a a a 53
n
1
è x
-
-
k
k
IH 2 + AH 2 ; với IH = d(I; D ) =
244
~ R =
13

6
13

, AH =

1
2

AB =4

0,75
~ pt đường tròn : (x - 1) + ( y - 1) =

244
13

0,25
2. (1,0đ)
Ta có AB = (0;-1;-3) , AC = (-1;-1;3) ~ n = [AC, AB] = (6;-3;1)
khi đó mp(ABC) đi qua điểm A(5 ;1;3) , và nhận n làm vtpt ,nên có pt:
6(x - 5) - 3(y - 1) + z - 3 = 0 Û pt(ABC): 6x - 3y + z - 30 = 0.
Gọi H(x;y) . Do H là trực tâm nên ta có :
ï ï ï 171
´ 187
´6 x - 3 y + z - 30 = 0 ï
íBH .AC = 0 Û íx + y - 3z - 5 = 0 Û í y =
ï y + 3z - 18 = 0
ï 81
ïz = 23

~ H (

187 171 81
; ; )
23 23 23

0,75
VIIb.(1,0đ

Từ Cn + Cn -1 + C n -2 = 79 Û 1 + n +

n(n - 1)
2

= 79
Û n 2 + n - 156 = 0 Û n = 12 .
Theo công thức nhị thức Niu-Tơn ta có:
(1 + x) n = C n + C n x + C n x 2 + ... + Cn x n
1
1
~ ̣ (Cn + C 1 x + C n x 2 + ... + Cn x n )dx = ̣ (1 + x) n dx
0 0
0 1 1 1 2
~ S = Cn + C n + C n + ... +
2 3
213 - 1 8191
S =
=
13 13
1
n + 1

n
C n =
2 n+1 - 1
n + 1

; mà n = 12, nên:

0,5
2 2
0,25
´H Î ( ABC) ïx = 23
ï
23
ï
îCH .AB = 0
î
î
n n n
0,5
n
0
1
2
n
0
2
n