Đề thi kiểm định chất lượng học sinh giỏi môn Toán học Lớp 6 năm học 2007-2008 - Phòng giáo dục huyện Đoan Hùng

Phòng Giáo dục và đào tạo Huyện Đoan Hùng
Kiểm định chất lượng học sinh giỏi
 Năm học 2007 – 2008
Môn : Toán - lớp 6
(Thời gian 90 phút không kể thời gian giao đề)
___________________________________________
Câu 1 (2 điểm): Tính bằng cách nhanh nhất :
	 a) 1 – 2 + 3 – 4 + ... + 99 – 100
	 b) 
Câu 2 (2 điểm): 
a) Tìm số tự nhiên a, biết rằng chia 264 cho a có số dư 24 và chia 363 cho a có số dư 43.
	b) Tìm các số nguyên a, b, c biết a + b = 11; b + c = 3; c + a = 2.
Câu 3 (2,5 điểm):
	a) Hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số là k . Chứng tỏ rằng a chia hết cho 9.
	b) Viết thêm chữ số y vào bên phải của một số có 5 chữ số thì được số lớn gấp 3 lần số có được do viết thêm chữ số y vào bên trái số đó. Tìm chữ số y và số có 5 chữ số đó ?
Câu 4 (1,5 điểm) : Tìm số tự nhiên x biết :
Câu 5 (2 điểm): Cho 4 điểm A, B, C, D.
a) Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng, ít nhất bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 điểm trong 4 điểm đã cho? Vẽ hình minh hoạ?
	b) Có bao nhiêu đoạn thẳng nhận 2 điểm đã cho làm đầu mút? Nêu cụ thể ?
Hướng dẫn chấm
Câu
Nội dung cần đạt
Điểm
Câu 1
(2điểm)
a) Tính bằng cách nhanh nhất :
 1 - 2 +3 - 4 +... + 99 - 100 
 = ( 1 - 2) + ( 3 - 4 ) + ...+ ( 99 - 100 )
 = ( -1 ) + ( - 1) + ... + ( - 1 ) ( có 50 số )
 = ( -1 ) . 50 = - 50 
0,5
0,5
b) 
0,5
0,5
Câu 2
(2điểm)
a) 264 chia a dư 24 nên a là ước của 240 ( = 264 - 24 )
 363 chia a dư 43 nên a là ước của 320 ( = 363 - 43 )
 và a > 24 ; a > 43 suy ra a > 43
 Do vậy a là ước chung của 240 và 320 đồng thời a > 43 
 ƯCLN ( 240 ; 320 ) = 80 và ƯC lớn hơn 43 là 80 
 Vậy a = 80
0,5
0,5
b) Ta có a + b + b + c + c + a = 11 + 3 + 2
 2 ( a + b + c ) = 16
 a + b + c = 8 
 Kết hợp a + b + c = 8 với a + b = 11 suy ra c = -3
 Kết hợp a + b + c = 8 với b + c = 3 suy ra a = 5
 Kết hợp a + b + c = 8 với a = 5 và c = -3 suy ra b = 6 
0,25
0,75
Câu3
(2,5điểm)
a) Vì một số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9 nên :
 2a - k và a - k 
 9 ( tính chia hết của hiệu)
 9 ( đpcm)
0,5
0,5
b) Gọi số có 5 chữ số phải tìm là ()
 Ta có 
 Đặt ta có 10x + y = 3. ( 100 000 y + x )
 7x + y = 300 000y
 7x = 299 999y
 x = 42 857y
 Vì x là số có 5 chữ số nên y chỉ nhận 2 giá trị : y = 1 và y = 2
 Nếu y = 1 thì x = 42 857
 Nếu y = 2 thì x = 85 714
0,5
0,5
0,5
Câu4
(1,5điểm)
0,5
0,5
0,5
Câu5
(2điểm)
a) Có nhiều nhất 6 đường thẳng nếu trong 4 điểm đã cho không có 3 điểm nào thẳng hàng.
 Có ít nhất 1 đường thẳng nếu 4 điểm đã cho thẳng hàng.
 Vẽ hình minh hoạ 
b) Có 6 đoạn thẳng : AB ; AC ; AD ; BC ; BD ; CD
0,5
0,5
1,0
Phòng Giáo dục và đào tạo Huyện Đoan Hùng
Kiểm định chất lượng học sinh giỏi
 Năm học 2007 – 2008
Môn : Toán - lớp 7
(Thời gian 90 phút không kể thời gian giao đề)
___________________________________________
Câu 1 : (1 điờ̉m ) Trong các số sau, số nào bằng ?
Câu 2 : ( 2 điờ̉m) Thực hiện phép tính 
Câu 3 : ( 3 điểm ) 
Tìm các số a, b, c biết rằng 
Tìm x biờ́t rằng 
 Câu 4 : ( 3 điờ̉m ) 
 Cho cõn đỉnh A cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bờn, đường trung trực của AC cắt đường thẳng BC tại M. Trờn tia đụ́i của tia AM lṍy điờ̉m N sao cho AN = BM .
 a) tam giác gì? Chứng minh 
 b) Chứng minh CM = CN 
 c) Muụ́n thì cho trước phải thỏa mãn điờ̀u kiợ̀n gì? 
Câu 5 : (1 điờ̉m ) Cho x, y Q, ta luụn cú . Hóy tìm giá trị nhỏ nhṍt của biờ̉u thức 
Hờ́t
PHÒNG GD – ĐT ĐOAN HÙNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 – NĂM HỌC 2007 – 2008
MễN TOÁN
Bài 1 (1 điờ̉m ) 
Đáp án
Thang điờ̉m
Cả 4 số đều bằng 
1.0
Bài 2 : ( 2 điờ̉m) Thực hiện phép tính 
Đáp án
Thang điờ̉m
a) 
0,5
0,25
Vọ̃y A = 1
0,25
b) 
0,25
0,25
Vọ̃y 
0,5
Bài 3 : ( 3 điểm ) a) Tìm các số a, b, c biết rằng b)Tìm x biờ́t rằng 
Đáp án
Thang điờ̉m
a) Ta có 
Nhõn từng vờ́ 3 đẳng thức ta có 
0,5
0,25
* Nờ́u 
0,25
Ta có 
0,25
* Nờ́u 
0,25
Ta có 
0,25
b) Ta có 
0,5
0,25
0,25
0,25
 Bài 4 : ( 3 điờ̉m ) 
 Cho cõn đỉnh A cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bờn, đường trung trực của AC cắt đường thẳng BC tại M. Trờn tia đụ́i của tia AM lṍy điờ̉m N sao cho AN = BM .
 a / tam giác gì? Chứng minh 
 b/ Chứng minh CM = CN 
 c / Muụ́n thì cho trước phải thỏa mãn điờ̀u kiợ̀n gì? 
Đáp án
Thang điờ̉m
A
C
B
M
H
N
(Giả thiờ́t, kờ́t luọ̃n, hình vẽ)
a) Xét có MA = MC ( Tính chṍt trung trực)
 là cõn
0,25
Ta có cõn đỉnh A ( Theo giải thiờ́t), cõn ( Theo chứng minh trờn)
0,25
 và có chung góc đáy
0,25
Suy ra 2 góc ở đỉnh 	
0,25
b) Xét có 
0,25
Ta có (Tính chṍt góc ngoài tam giác)
 (Tính chṍt góc ngoài tam giác)
0,25
Mà (chứng minh a)
0,25
Từ (1), (2), (3) suy ra 
Mà 
0,25
c) Xét có (Chứng minh b)
 cõn đỉnh C
0,25
Muụ́n vuụng cõn
0,25
0,25
Vọ̃y đờ̉ có thì cõn có góc ở đỉnh 
0,25
 Bài 5 : (1 điờ̉m )
Đáp án
Thang điờ̉m
Ta cú: 
= 
0.5
Vậy biểu thức dó cho đạt giỏ trị nhỏ nhất là 2000 khi x –2001 và 
1–x cựng dấu tức là khi 
0.5
Phòng Giáo dục và đào tạo Huyện Đoan Hùng
Kiểm định chất lượng học sinh giỏi
 Năm học 2007 – 2008
Môn : Toán - Lớp 8
(Thời gian 90 phút không kể thời gian giao đề)
___________________________________________
Cõu 1. (1 điờ̉m) Chứng minh rằng với ta luụn có 
Cõu 2 (2 điờ̉m) Phõn tích các đa thức sau thành nhõn tử
Cõu 3 (3 điờ̉m)
a) Cho thỏa mãn và Tính giá trị của biờ̉u thức 
b) Cho 2 sụ́ dương a, b có a + b =1. Tìm giá trị nhỏ nhṍt của biờ̉u thức 
Cõu 4 (1 điờ̉m) Cho tam giác ABC có trung tuyờ́n AD và BE () thỏa mãn điờ̀u kiợ̀n . CMR tam giác ABC đờ̀u.
Cõu 5 (3 điờ̉m) Cho hình thang ABCD (AB // CD, CD > AB) qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC, qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD () BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng
Tam giác AEB và tam giác KED đụ̀ng dạng và KD = IC
EF song song với AB
PHÒNG GD – ĐT ĐOAN HÙNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 – NĂM HỌC 2007 - 2008
MễN TOÁN
Bài 1 (1 điờ̉m) Chứng minh rằng với ta luụn có 
Đáp án
Thang điờ̉m
Xét ta có 
0,25
Trong 3 sụ́ nguyờn liờn tiờ́p bao giờ cũng có 1 sụ́ chia hờ́t cho 2, mụ̣t sụ́ chia hờ́t cho 3. Tức là 
0,25
Mà (2; 3) = 1
0,25
 ta có điờ̀u phải chứng minh
0,25
Bài 2 (2 điờ̉m) Phõn tích các đa thức sau thành nhõn tử
Đáp án
Thangđiờ̉m
a) 
0,25
Vọ̃y 
0,25
b) 
0,25
0,25
c) 
0,25
Đặt 
0,25
Ta có 
0,25
0,25
Bài 3 (3 điờ̉m) 
Cho thỏa mãn và 
Tính giá trị của biờ̉u thức 
Cho 2 sụ́ dương a, b có a + b =1. 
Tìm giá trị nhỏ nhṍt của biờ̉u thức 
Đáp án
Thang điờ̉m
a) Ta có 
0,5
 (Vì x + y + z = xyz)
0,5
 Vọ̃y P = 1	
0,5
b) Áp dụng Bṍt đẳng thức 
Ta có 
0,25
Áp dụng Bṍt đẳng thức phụ 
0,25
Ta có 
 = 6 	 
0,5
 với mọi a, b > 0
Dṍu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = ẵ
Vọ̃y GTNN của 	 
0,5
Bài 4 (1 điờ̉m) Cho tam giác ABC có trung tuyờ́n AD và BE () thỏa mãn điờ̀u kiợ̀n . CMR tam giác ABC đờ̀u.
Đáp án
Thang điờ̉m
A
B
C
E
D
300
300
Ta có đụ̀ng dạng với (g.g)
0,25
0,25
 có 
0,25
Từ (1) và (2) suy ra đờ̀u
0,25
Bài 5 (3 điờ̉m)
Đáp án
Thang điờ̉m
A
B
E
D
C
F
I
K
(Giả thiờ́t, kờ́t luọ̃n, hình vẽ khụng có điờ̉m)
a) Xét có ( đụ́i đỉnh) 
 (so le)
 đụ̀ng dạng với (g.g)
0,25
Ta có 
0,25
0,25
Từ (1) và (2) 
0,25
b) Ta có đụ̀ng dạng với (phõ̀n a)
Tương tự có đụ̀ng dạng với 
0,5
0,25
Mà 
0,25
c) đụ̀ng dạng với (phõ̀n a) 
0,25
0,25
Do 
0,25
Từ (1) và (2) 
0,25