Đề thi khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 6 - Đề 2 - Năm học 2012-2013 - Trường THCS Yết Kiêu (Có đáp án)

 UBND HUYỆN GIA LỘC
TRƯỜNG THCS YẾT KIÊU
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2012 – 2013
MÔN: TOÁN – LỚP 6
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (3điểm)
Cho S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100
a) Chứng minh rằng S 15
b) Tìm chữ số tận cùng của S.
c) Tính tổng S.
Câu 2. (2điểm) 
 	Tìm x biết:
	a) 5x = 125; 	b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3
Câu 3. (2điểm)
	a) Chứng tỏ rằng là phân số tối giản.
	b) Chứng minh rằng : +++...+< 1
Câu 4. (1điểm)
Cho n điểm (n ³ 2) . Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng.
a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng ? 
b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng ?
Câu 5. (2điểm)
 Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 24 Kg còn lại mỗi bạn thu được 11 Kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 23 Kg còn lại mỗi bạn thu được 10 Kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200Kg đến 300 Kg.
 -------------------- HẾT --------------------
 UBND HUYỆN GIA LỘC
TRƯỜNG THCS YẾT KIÊU
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT
 HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2012 – 2013
MÔN: TOÁN – LỚP 6
1 a)
1 b)
1 c)
S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100
Tổng trên gồm 100 số hạng được chia thành 25 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng ta có: 
S = (21 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + ... + (297 + 298 + 299 + 2100)
= 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25 (1 + 2 + 22 + 23) + ... + 297 (1 + 2 + 22 + 23)
= 2 . 15 + 25 . 15 + ... + 297 . 15
= 15 (2 + 25 + ... + 297) 15 (ĐPCM)
Vì S 15 Þ S 5 (1)
Lại có tất cả các số hạng của S đều chia hết cho 2 nên S 2 (2)
Từ (1) và (2) Þ S 10 hay S có chữ số tận cùng là 0.
2S - S = 2 (21 + 22 + 23 + ... + 2100) - (21 + 22 + 23 + ... + 2100)
 S = (22 + 23 + 24 + ... + 2101) - (21 + 22 + 23 + ... + 2100)
hay S = 2101 - 2
0,25đ
 0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
 0,25đ
0,5đ
 0,25đ
 0,25đ
2 a)
2 b)
2 c)
5x = 125 ó 5x = 53 => x= 3
 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2
52x-3 – 2.52 = 52.3
ó52x: 53 = 52.3 + 2.52
ó52x: 53 = 52.5
ó52x = 52.5.53
ó 52x = 56 => 2x = 6 => x=3
(0,5 đ)
(0,5 đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
3 a) 
3 b)
Gọi d là ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có 
5(12n+1)-2(30n+2) = 1 chia hết cho d 
vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau 
do đó là phân số tối giản 
 Ta có <=-
 <=-
 ...
 <=- 
Vậy ++...+ <-+-+ ...+-
++...+ <1-=<1 
(0,5 đ)
(0,5 đ)
(0,5 đ)
(0,5 đ)
4
a) Chọn một điểm. Nối điểm đó với n – 1 điểm còn lại, ta vẽ được n – 1 đoạn thẳng. 
 Làm như vậy với n điểm, ta được n (n – 1) đoạn thẳng. Nhưng mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có đoạn thẳng.
b) Nếu trong hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, nhưng số đoạn thẳng vẫn không thay đổi, do đó vẫn có đoạn thẳng .
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
5
Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (Kg) thì ( x-24) chia hết cho 11 và ( x-23) chia hết cho 10.
(x-13)-11 => (x-13) chia hết cho 11
(x-13)-10 => (x-13) chia hết cho 10
Do đó (x-13) Î BC(10;11) và nằm trong khoảng 200 đến 300 => x-13 = 220 => x = 233.
Số học sinh lớp 6A là: (233 – 24) : 11 + 1 = 20. hs
Số học sinh lớp 6B là: (233 – 23) : 10 + 1 = 22 hs.
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
Thí sinh giải cách khác, nếu đúng nhóm chấm phân biểu điểm tương tự.
-------------------- HẾT --------------------