Đề thi khảo sát chuyên môn giáo viên THPT môn Toán năm học 2012-2013 tỉnh Vĩnh Phúc

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN THPT
NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN: TOÁN HỌC
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (1,0 điểm) Cho hàm số: , với là tham số thực. Xác định tất cả các giá trị của để hàm số có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 đơn vị. 
Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình: .
Câu 3. (0,75 điểm) Tính tích phân: 
Câu 4. (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi. Biết độ dài đoạn với và các cạnh còn lại đều có độ dài bằng 1.
Chứng minh rằng tam giác SAC vuông và hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) nằm trên đoạn thẳng AC.
Tìm tất cả các giá trị của để thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất.
Câu 5. (0,75 điểm) Tính giá trị của biểu thức sau
Câu 6. (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Tính độ dài đường phân giác trong của góc A theo a, b, c.
Chỉ sử dụng compa và thước kẻ (không chia độ dài), có thể dựng được một tam giác khi biết độ dài 3 đường phân giác trong của nó hay không? Vì sao?
Câu 7. (1,5 điểm)
Cho . Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm thực?
Tìm một đa thức khác không, có hệ số hữu tỷ và có bậc nhỏ nhất nhận làm nghiệm.
Câu 8. (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
Cho là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng
.
-------------Hết-------------
Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:. Số báo danh:..
SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
ĐÁP ÁN KHẢO SÁT CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN THPT
NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN: TOÁN HỌC
(Đáp án gồm 05 trang)
Câu
Nội dung trình bày
điểm
1
(1,0đ)
Tập xác định 
Ta có . Khi đó hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi có 3 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác 0 
0,25
Phương trình . Giả sử 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là . Khi đó . Gọi H là trung điểm của BC suy ra , mặt khác tam giác ABC cân tại A nên . Do đó
0,25
, 
0,25
Theo giả thiết 
Kết hợp với điều kiện ta được 
0,25
2
(1,0đ)
Phương trình đã cho tương đương với
0,25
0,25
+) 
0,25
+) vô nghiệm.
Vậy phương trình có một họ nghiệm 
0,25
3
(0,75đ)
Ta có 
0,25
+) 
+) . đặt 
Ta có 
0,25
. Vậy .
0,25
4
(1,5đ)
4.a (0,75 điểm)
Gọi O là tâm của đáy ABCD, tam giác SAC vuông tại S.
0,25
Do ABCD là hình thoi nên , mặt khác tam giác SBD cân tại S . Do đó . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AC suy ra .
0,25
Do tam giác SAC vuông tại S nên hình chiếu vuông góc của S lên AC phải thuộc đoạn AC hay hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABCD) nằm trên đoạn AC.
0,25
4.b (0,75 điểm)
Do 
0,25
Trong tam giác vuông SAC ta có 
Trong tam giác vuông BOC ta có 
0,25
Do đó (áp dụng bất đẳng thức Cauchy).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vậy thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi .
0,25
5
(0,75đ)
Ta có 
 (1)
0,25
Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có
0,25
Kết hợp với (1) ta được: 
0,25
6
(1,5đ)
6.a (1,0 điểm)
Gọi lần lượt là phân giác trong góc A, độ dài phân giác trong góc A. Ta có 
0,25
0,25
Ta có
0,25
Do đó 
0,25
6.b (0,5 điểm)
Giả sử dựng được tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy a, cạnh bên b khi biết độ dài 3 đường phân giác trong bất kì. Theo phần (a), độ dài 3 đường phân giác trong là .
Nếu ta chọn và đặt thì ta được 
0,25
 (1)
Ta nhận thấy phương trình (1) không có nghiệm hữu tỷ suy ra mọi nghiệm của (1) đều là số vô tỷ hay vô tỷ không dựng được, vô lý. Do đó không thể dựng được một tam giác khi biết độ dài 3 đường phân giác trong của nó.
0,25
7
(1,5đ)
7.a (0,75 điểm)
Ta có hàm số xác định và liên tục trên .
đạo hàm , 
0,25
Ta có 
0,25
Lập bảng biến thiên 
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.
0,25
7.b (0,75 điểm)
Ta có .
Vậy ta có đa thức có hệ số hữu tỷ nhận u làm nghiệm. Ta cần chứng minh đa thức này có bậc nhỏ nhất trong các đa thức hệ số hữu tỷ nhận u làm nghiệm.
0,25
Giả sử là đa thức nhận làm nghiệm.
+) Nếu vô lí
+) Nếu . Khi đó
 Vô lí
+) Nếu . Khi đó lấy chia cho ta được
, trong đó , bậc của không lớn hơn 1 và nhận làm nghiệm, vô lí.
0,25
+) Nếu . Khi đó lấy chia cho ta được
, trong đó , bậc của không lớn hơn 2 và nhận làm nghiệm, vô lí.
Do đó mà nhận làm nghiệm. Vậy một đa thức bậc nhỏ nhất với hệ số hữu tỷ nhận làm nghiệm là .
0,25
8
(2,0đ)
8.a (1,0 điểm)
Đkxđ 
Từ (1) ta có 
0,25
Thế (3) vào (2) ta được 
0,25
0,25
 Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình. Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là 
0,25
8.b (1,0 điểm)
Bất đẳng thức tương đương với: 
0,25
0,25
 (luôn đúng)
0,25
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
0,25