Đề thi HSG cấp huyện môn Toán lớp 8 năm học 2012-2013 - Phòng GD và ĐT Tĩnh Gia

PHềNG GD&ĐT TĨNH GIA KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 Năm học 2012-2013
Mụn thi : TOÁN 8
(Thời gian làm bài : 120 phỳt - Khụng tĩnh thời gian giao đề)
Bài 1 : (4.0 điểm) 
Cho biểu thức : M = 
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị bé nhất của M .
Bài 2 : (4.0 điểm) 
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N*
b, Giải phương trình: 
Bài 3 : (5.0 điểm) 
Cho tam giác ABC ( AB > AC )
	1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng:
	a) đồng dạng 
	b) góc AMN bằng góc ABC
	2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK. 
	Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.
Bài 4 : (4.0 điểm) 
a, Chứng minh rằng 	
b, Cho	 Tính 
Bài 5 : (3.0 điểm) 
 Tìm một số có 8 chữ số: thoã mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
 và 
LỜI GIẢI
Bài 1 :
M 	= x4+1-x2) = 
Biến đổi : M = 1 - . M bé nhất khi lớn nhất x2+1 bé nhất x2 = 0 x = 0 M bé nhất = -2 
Bài 2 : 
a, A = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
 Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vỡ tớch của 3 số tự nhiờn liờn tiếp )
3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia hết cho 9
b, Ta có: 
 (2006 - x) = 0 
(vỡ )
x = 2006
Bài 3 : 	
1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (g-g)
b) Từ câu a suy ra: AMN đồng dạng ABC
AMN = ABC ( hai góc tương ứng)	
2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H	
BAH = CHA	( so le trong, AB // CH)
mà CAH = BAH ( do Ax là tia phân giác)	
Suy ra:
CHA =CAH nên CAH cân tại C
do đó :	 CH = CA	 => CH = BK và CH // BK	
	BK = CA
	Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH
Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của tam giác KHA. 
Do đó EF // AH hay EF // Ax ( đfcm)	
Bài 4 : 
a, Chứng minh 	 
Biến đổi vế phải được điều phải chứng minh.
b, Nhận xột: Nếu thì Thật vậy:
 (vì nên )
Theo giả thiết 
khi đó 
Bài 5 : 
Ta có a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2).
Từ (1) và (2) => 
=> ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ú ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600.
ú ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 4 . 25 . a4a5a6 
do ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả năng:
. a7a8 = 24 => a1a2a3 . . . a8 là số 57613824.
 . a7a8 – 1 = 24 => a7a8 = 25 => số đó là 62515625
 . a7a8 = 26 => không thoả mãn