Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7

2 6x  0; 3 9y  0 0,25 
Max C = -18  2 6 0
3 9 0
x
y
 

 
 x = 3 và y = -3 0,25 
4.1 ABH = CAK (g.c.g)  BH = AK 
4.2 MAH = MCK (c.g.c)  MH = MK (1) 
 góc AMH = góc CMK  góc HMK = 900 (2) 
Từ (1) và (2)   MHK vuông cân tại M 
Đáp án đề số 6 
Câu1: Nhân từng vế bất đẳng thức ta được : (abc)2=36abc 
 +, Nếu một trong các số a,b,c bằng 0 thì 2 số còn lại cũng bằng 0 
 +,Nếu cả 3số a,b,c khác 0 thì chia 2 vế cho abc ta được abc=36 
 +, Từ abc =36 và ab=c ta được c2=36 nên c=6;c=-6 
 +, Từ abc =36 và bc=4a ta được 4a2=36 nên a=3; a=-3 
 +, Từ abc =36 và ab=9b ta được 9b2=36 nên b=2; b=-2 
 -, Nếu c = 6 thì avà b cùng dấu nên a=3, b=2 hoặc a=-3 , b=-2 
 -, Nếu c = -6 thì avà b trái dấu nên a=3 b=-2 hoặc a=-3 b=2 
 Tóm lại có 5 bộ số (a,b,c) thoã mãn bài toán 
 (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) 
Câu 2. (3đ) 
a.(1đ) 5x-3 -2<5x-3<2 (0,5đ) 
   1/5<x<1 (0,5đ) 
b.(1đ) 3x+1>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1<-4 (0,5đ) 
 *Nếu 3x+1>4=> x>1 
 *Nếu 3x+1 x<-5/3 
 Vậy x>1 hoặc x<-5/3 (0,5đ) 
c. (1đ) 4-x+2x=3 (1) 
 * 4-x0 => x4 (0,25đ) 
 (1)4-x+2x=3 => x=-1( thoả mãn đk) (0,25đ) 
 *4-x x>4 (0,25đ) 
 (1) x-4+2x=3 x=7/3 (loại) (0,25đ) 
Câu3. (1đ) Áp dụng a+b a+bTa có 
 A=x+8-xx+8-x=8 
 MinA =8 x(8-x) 0 (0,25đ) 
 *





08
0
x
x =>0x8 (0,25đ) 
 *





08
0
x
x => 





8
0
x
x không thoã mãn(0,25đ) 
 Vậy minA=8 khi 0x8(0,25đ) 
Câu4. Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+...+ (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+...+22.102 
 =22(12+22+...+102) =22.385=1540(0,5đ) 
Câu5.(3đ) 
Chứng minh: a (1,5đ) 
Gọi E là trung điểm CD trong tam giác BCD có ME là đường trung bình => 
ME//BD(0,25đ) 
Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) 
Nên D là trung điểm của AE => AD=DE (1)(0,5đ) 
Vì E là trung điểm của DC => DE=EC (2) (0,5đ) 
So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ) 
b.(1đ) 
Trong tam giác MAE ,ID là đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) 
A 
B M 
C 
D 
E 
Trong tam giác BCD; ME là Đường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ) 
So sánh (1) và (2) => ID =1/4 BD (0,25đ) 
---------------------------------------------------------------- 
Đáp án đề số 7 
Câu 1. Ta có ...
d
a
d
c
c
b
b
a
 (1) Ta lại có .
acb
cba
d
c
c
b
b
a


 (2) 
 Từ (1) và(2) => 
d
a
dcb
cba








3
. 
Câu 2. A = 
ac
b
ba
c
cb
a





.= 
 cba
cba


2
. 
 Nếu a+b+c  0 => A = 
2
1 . 
 Nếu a+b+c = 0 => A = -1. 
Câu 3. a). A = 1 + 
2
5
x
 để A  Z thì x- 2 là ước của 5. 
 => x – 2 = ( 1; 5) 
 * x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2 
 * x = 1 => A = - 4 * x = -3 => A = 0 
b) A = 
3
7
x
 - 2 để A  Z thì x+ 3 là ước của 7. 
 => x + 3 = ( 1; 7) 
 * x = -2 => A = 5 * x = 4 => A = -1 
 * x = -4 => A = - 9 * x = -10 => A = -3 . 
Câu 4. a). x = 8 hoặc - 2 
 b). x = 7 hoặc - 11 
 c). x = 2. 
Câu 5. ( Tự vẽ hình) 
 MHK là  ƒcân tại M . 
Thật vậy:  ACK =  BAH. (gcg) => AK = BH . 
 AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH. 
Vậy:  MHK cân tại M . 
-------------------------------------------------------------------- 
Đáp án đề số 8 
Câu 1: Gọi x, y, z là độ dài 3 cạnh tương ứng với các đường cao bằng 4, 12, a. 
 Ta có: 4x = 12y = az = 2S 
  x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 điẻm) 
 Do x-y < z< x+y nên 
3
22
6
2
62
2
62

a
SS
a
SSS (0,5 điểm) 
  3, a , 6 Do a  N nên a=4 hoặc a= 5. (0,5 điểm) 
2. a. Từ 
d
c
b
a
  
dc
c
ba
a
dc
ba
c
a
dc
ba
d
b
c
a









 (0,75 điểm) 
b. 
d
c
b
a
  
d
dc
b
ba
dc
ba
d
b
dc
ba
d
b
c
a 








 (0,75 điểm) 
Câu 2: Vì tích của 4 số : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 là số âm nên phải có 1 số âm 
hoặc 3 số âm. 
Ta có : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. Xét 2 trường hợp: 
+ Có 1 số âm: x2 – 10 < x2 – 7  x2 – 10 < 0 < x2 – 7 
 7< x2 < 10  x2 =9 ( do x  Z )  x =  3. ( 0,5 điểm) 
+ có 3 số âm; 1 số dương. 
x2 – 4< 0< x2 – 1  1 < x2 < 4 
do x Z nên không tồn tại x. 
Vậy x =  3 (0,5 điểm) 
Câu 3: Trước tiên tìm GTNN B = x-a +  x-b với a<b. 
Ta có Min B = b – a ( 0,5 điểm) 
Với A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d 
= [ x-a +  x-d] + [x-c +  x-b] 
Ta có : Min [ x-a +  x-d] =d-a khi a[x[d 
Min [x-c +  x-b] = c – b khi b[ x [ c ( 0,5 điểm) 
Vậy A min = d-a + c – b khi b[ x [ c ( 0, 5 điểm) 
Câu 4: ( 2 điểm) 
A, Vẽ Bm // Ax sao cho Bm nằm trong góc ABC  Bm // Cy (0, 5 điểm) 
Do đó góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC 
 ABm + CBm = A + C tức là ABC = A + C ( 0, 5 điểm) 
b. Vẽ tia Bm sao cho ABm và A là 2 góc so le trong và ABM = A  Ax// Bm (1) 
CBm = C  Cy // Bm(2) 
Từ (1) và (2)  Ax // By 
Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vuông NOA và NOC ta có: 
AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2  CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 điểm) 
Tương tự ta cũng có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, 5 
điểm) 
Từ (1); (2) và (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, 5 điểm). 
--------------------------------------------------------------- 
Hướng dẫn chấm đề số 9 
Câu 1(2đ): 
a) A = 2 - 99 100 100
1 100 1022
2 2 2
   (1đ ) 
b) 2 3 1 5 1n n n     (0,5đ ) 
n + 1 -1 1 -5 5 
n -2 0 -6 4 
 6; 2;0;4n    (0,5đ ) 
Câu 2(2đ): 
a) Nếu x  1
2
 thì : 3x - 2x - 1 = 2 => x = 3 ( thảo mãn ) (0,5đ) 
Nếu x < 1
2
 thì : 3x + 2x + 1 = 2 => x = 1/5 ( loại ) (0,5đ) 
Vậy: x = 3 
b) => 1 2 3
2 3 4
x y z  
  và 2x + 3y - z = 50 (0,5đ) 
=> x = 11, y = 17, z = 23. (0,5đ) 
Câu 3(2đ): Các phân số phải tìm là: a, b, c ta có : a + b + c = 213
70
và a : b : c = 3 4 5: : 6 : 40 : 25
5 1 2
 (1đ) => 9 12 15, ,
35 7 14
a b c   (1đ) 
Câu 4(3đ): 
Kẻ DF // AC ( F thuộc BC ) (0,5đ ) 
=> DF = BD = CE (0,5đ ) =>  IDF =  IFC ( c.g.c ) 
(1đ ) 
=> góc DIF = góc EIC => F, I, C thẳng hàng => B, I, C 
thẳng hàng (1đ) 
Câu 5(1đ): 
=> 7.2 1 1 (14 1) 7
7
x y x
y

    
=> (x ; y ) cần tìm là ( 0 ; 7 ) 
---------------------------------------------------------------------- 
Đáp án đề số 10 
Câu 1: a) Ta có: 
2
1
1
1
2.1
1
 ; 
3
1
2
1
3.2
1
 ; 
4
1
3
1
4.3
1
 ; ;
100
1
99
1
100.99
1
 
Vậy A = 1+
100
99
100
11
100
1
99
1
99
1....
3
1
3
1
2
1
2
1





 






 






 
 
b) A = 1+ 




















2
21.20
20
1....
2
5.4
4
1
2
4.3
3
1
2
3.2
2
1 = 
= 1+    21...432
2
1
2
21...
2
4
2
3 
= 




 1
2
22.21
2
1 = 115. 
Câu 2: a) Ta có: 417  ; 526  nên 15412617  hay 1012617  
Còn 99 < 10 .Do đó: 9912617  
b) ;
10
1
1
1

10
1
2
1
 ; 
10
1
3
1
 ; ..; 
10
1
100
1
 . 
Vậy: 10
10
1.100
100
1....
3
1
2
1
1
1
 
Câu 3: Gọi a,b,của là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm . Vì mỗi chữ số a,b,của 
không vượt quá 9 và ba chữ số a,b,của không thể đồng thời bằng 0 , vì khi đó ta không 
được số có ba chữ số nên: 1  a+b+c  27 
Mặt khác số phải tìm là bội của 18 nên a+b+c =9 hoặc a+b+c = 18 hoặc a+b+c=17 
Theo giả thiết, ta có:
6321
cbacba 
 Do đó: ( a+b+c) chia hết cho 6 
Nên : a+b+c =18  3
6
18
321

cba  a=3; b=6 ; của =9 
Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị của nó phải là số chẵn. 
Vậy các số phải tìm là: 396; 936. 
Câu 4: 
a) Vẽ AH  BC; ( H BC) của ABC 
+ hai tam giác vuông AHB và BID có: 
BD= AB (gt) 
Góc A1= góc B1( cùng phụ với góc B2) 
 AHB= BID ( cạnh huyền, góc nhọn) 
AH BI (1) và DI= BH 
+ Xét hai tam giác vuông AHC và CKE có: Góc 
A2= góc C1( cùng phụ với góc C2) 
AC=CE(gt) 
 AHC= CKB ( cạnh huyền, góc nhọn) AH= CK (2) 
từ (1) và (2)  BI= CK và EK = HC. 
b) Ta có: DI=BH ( Chứng minh trên) 
tương tự: EK = HC 
Từ đó BC= BH +Hc= DI + EK. 
Câu 5: Ta có: 
A = 12001  xx = 20001200112001  xxxx 
Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là 2000 khi x-2001 và 1-x cùng dấu, tức là : 
1  x  2001 
biểu điểm : 
Câu 1: 2 điểm . a. 1 điểm b. 1 điểm 
Câu 2: 2 điểm : a. 1 điểm b . 1 điểm . 
Câu 3 : 1,5 điểm 
Câu 4: 3 điểm : a. 2 điểm ; b. 1 điểm . 
Câu 5 : 1,5 điểm . 
--------------------------------------------------------------------- 
Đáp án đề số11 
Câu1: 
a, (1) 04
5
3491
324
51
325
41
326
31
327
2











xxxxx (0,5 đ ) 
...... 0)
5
1
324
1
325
1
326
1
327
1)(329(  x 
3290329  xx (0,5đ ) 
b, a.Tìm x, biết: 5x - 3 - x = 7  5 3 7x x   (1) (0,25 đ) 
ĐK: x  -7 (0,25 đ) 
   
5 3 7
1
5 3 7
x x
x x
  
     
. (0,25 đ) 
Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu bài. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ). 
Câu 2: 
a, 2007432 7
1.....
7
1
7
1
7
1
7
11 S ; 200632 7
1.....
7
1
7
1
7
1177 S (0.5đ) 
20077
178 S 
8
7
17 2007
 S (0,5đ) 
b, 
!100
1100.......
!3
13
!2
12
!100
99......
!4
3
!3
2
!2
1 




 (0,5đ) 
................... 1
!100
11  (0,5đ) 
c, Ta có 23n )22(33232 222 nnnnnnn   (0,5đ) 
.................   10231010.210.35.210.3 22   nnnnnn (0,5đ) 
Câu 3: Gọi độ dài 3 cạnh là a , b, c, 3 chiều cao tương ứng là x, y, z, diện tích S ( 0,5đ ) 
x
Sa 2 
y
Sb 2 
z
Sc 2 (0,5đ) 
z
S
y
S
x
Scba
4
2
3
2
2
2
432
 (0,5đ) 
346
432 zyxzyx  vậy x, y, z tỉ lệ với 6 ; 4 ; 3 (0,5đ) 
Câu4: GT; KL; Hình vẽ (0,5đ) 
a, Góc AIC = 1200 (1 đ ) 
b, Lấy ACH  : AH = AQ .............. IPIHIQ  (1 đ ) 
Câu5: B ; LN   312; 2  nLNB NN 
Vì     331201 22  nn đạt NN khi bằng 3 (0,5đ) 
Dấu bằng xảy ra khi 101  nn 
vậy B ; LN 
3
1