Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 8

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN : TOÁN Lớp : 8
(Thời gian làm bài : 120 phút)
................*O*..................
Bài 1 :( 1,5 điểm)
 a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử
 b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết 
 A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
Bài 2 : (1,5 điểm) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng 
Bài 3 : ( 2,5 điểm) 
 a) Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
 b) Chứng minh rằng : 
 c) Cho a2 – 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức
 P = 
Bài 4 : ( 1,0 điểm) Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất
 M = với a o
 Bài 5 : (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
 a) Chứng minh DE + DF = 2AM
 b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF 
 c) Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA
 Bài 6 : ( 1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số 
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM 
 Bài 1 : ( 1,5 điểm) 
 a) ( 0,75đ) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4 ( 0,25 đ )
 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) ( 0,25 đ)
 = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( 0,25 đ) 
 b) (0,75đ) Xét ( 0,25 đ) 
 Với x Z thì A B khi Z 7 ( 2x – 3) ( 0,25 đ) 
 Mà Ư(7) = x = 5; -2; 2 ; 1 thì A B ( 0,25 đ)
 Bài 2 : ( 1,5 đ) Biến đổi = 
 = ( do x+y=1y-1=-x và x-1=- y) (0,25đ)
 = (0,25đ)
 = (0,25đ) 
 = = (0,25đ) 
 = = (0,25đ) 
 = Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) 
 Bài 3 : ( 2,5 điểm)
 a) ( 0,75đ) Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1; n; n+1 ( n Z )
 Ta có ( n-1)3 +n3 + ( n+1)3 = 3n3+6n (0,25đ)
 = 3n3 -3n +9n = 3n(n2 -1) +9n 
 = 3n (n-1) (n+1) +9n (0,25đ)
 Vì 3n (n-1) (n+1) + 9n 9 (0,25đ)
 b) (1đ) Ta có (x+1)2 0 2( x+1)2 0 2x2+4x+2 0 
 3x2+3x+3 x2-x+1 3(x2+x+1) x2-x+1 (*) 
 Tương tự, ta có từ (x-1)20 3(x2-x+1) x2+x+1 (**) (0,25đ )
 Vì x2-x+1 = ( x-)2 + > 0 (0,25đ)
 Chia 2 vế của bất đẳng thức (*) cho x2-x+1
 ta có (0,25đ)
 Chia 2 vế của bất đẳng thức (**) cho x2-x+1 
 ta có suy ra đccm (0,25đ)
 c) (0,75đ) Ta có a2 - 4a + 1 = 0 a2 – a + 1 = 3a =3 (0,25đ)
 P = = 3 . (0,25đ)
 Mà = 3+2 = 5
 Suy ra P = 3 . 5 = 15 (0,25đ)
Bài 4 : ( 1 đ) M == (0,25đ)
 = (0,25đ) = (0,25đ)
 Dấu “=” xảy ra a – 2008 = 0 a = 2008 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là khi a = 2008 (0,25đ)
Bài 5 :(2,5đ) 
Câu a ( 0,75đ): Lý luận được : ( Do AM//DF) (1) 
 ( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ)
 Từ (1) và (2) ( MB = MC) ( 0,25đ)
 DE + DF = 2 AM ( 0,25đ) 
Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành 
 Ta có (0,25đ)
 (0,5 đ)
 => NE = NF (0,25đ)
Câu c : ( 0,75đ) AMC và FDC đồng dạng 
 FNA và FDC đồng dạng 
 ( 0,25đ)
 và 
 . (0,25đ)
 S2FDC 16 SAMC.SFNA (0,25đ)
 ( Do với x 0; y 0)
Bài 6 : ( 1 đ)
Kẻ MI // BC ( I AD) MI = 
Ta có : ( Do MI // BC)
 ( 1) ( 0,25đ)
MAH và ACH đồng dạng ( g-g) 
 ( ABC vuông cân tại A nên AB = AC ) 
 AH = 2 MH ( 0,25đ)
AMC vuông , ta có AH2 = MH . HC 
4MH2 = MH.HC HC = 4 MH ( 0,25đ)
Thay vào (1) ta có : ( 0,25đ)
Ghi chú : 
- Học sinh có thể trình bày theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa từng phần, tuỳ theo cách giải mà giám khảo cho điểm phù hợp với hướng dẫn chấm.
-Bài toán hình không cho điểm hình vẽ. Nếu học sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm bài hình đó.
 ----------------------------------------------