Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2004-2005

 UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh 
 Sở Giáo dục và đào tạo lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005 
 Môn : TOáN (vòng 1) 
 Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) 
 ................................................................................................................................................. 
 BàI 1: 
 Tìm nghiệm của ph−ơng trình : 02sin1.2cossincos =+−− xxxx 
thỏa điều kiện : 2004 < x < 2005 . 
 BàI 2: 
 Trong mặt phẳng (P), cho tam giác vuông ABC cố định có AB = AC. Tìm 
tập hợp những điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho : 
 MCMBMCMBMA −−+≤4 
 BàI 3: 
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 22
2
)2(
2
+
+=
x
xxy . 
b) Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho với mọi số thực a, b luôn có : 
a + b + ab ≤ k(a2 + 2)(b2 + 2) . 
 ------------- Hết --------------- 
 UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh 
 Sở Giáo dục và đào tạo lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005 
 Môn : TOán (vòng 2) 
 Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) 
 ................................................................................................................................................ 
 BàI 1: 
a) Cho hàm số 
( )ln sin cos
( )
sin 2
x x x
g x
x
−=
( )
( )
0 0
g x khi x
f x
khi x
 có tập xác định là D. Tính đạo hàm 
của hàm số : 
D∈=  = 
b) Giải bất ph−ơng trình : 
3
)1ln()( 23 xx exxxe ≤+−+ 
 BàI 2: 
 Xét hai độ dài khác nhau a, b. Tìm điều kiện của a, b để tồn tại tứ diện 
(T) có một cạnh bằng a và các cạnh còn lại đều bằng b. Với tứ diện (T) này, hãy 
xác định mặt phẳng (α ) sao cho thiết diện của mặt phẳng (α ) và tứ diện (T) là 
một hình vuông (V). Tính diện tích của hình vuông (V) theo a và b. 
 BàI 3: 
 Chứng minh rằng tồn tại một tập con E của tập các số tự nhiên N thỏa mãn 
đồng thời hai điều kiện sau : 
a) E có 2005 phần tử . 
b) Với bất kì cặp số nguyên phân biệt k, h của E thì tích k.h chia hết cho 
(k-h)2. 
 ------------ Hết -------------- 
Đáp án - Thang điểm vòng 1 
Bài Nội dung Điểm
 1 
....... 
2 
02sin1.2cossincos =+−− xxxx (*) 
+ x2sin1+ = xx sincos + 
 cos2x = ( xcos - xsin ).( xcos + xsin ) 
+ (*) (⇔ xcos - xsin ).{1 - ( xcos + xsin ) xx sincos + } = 0 
 ⇔ xcos - xsin =0 (1) hoaởc ( xcos + xsin ) xx sincos + = 1 (2) 
+ (1) cos2x= 0 ⇔
+ (2) (1+⇔ x2sin ).(1+sin2x) = 1⇔ sin2x=0 (vỡ sin2x >0 khoõng theồ xaỷy ra ) 
Tửứ ủoự : (*) cos2x= 0 hoaởc sin2x= 0⇔ ⇔ sin4x= 0 ⇔ x =k
4
π ; k ∈Z 
+ Vụựi ủieàu kieọn 2004< x <2005 , choùn soỏ nguyeõn k=2552. Vaọy : x = 638π . 
..................................................................................................................................... 
+ MB +MC - MB-MC = 2 Min (MB; MC) 
 4MA ≤ MB +MC - MB-MC ⇔ 2MA≤MB vaứ 2MA≤MC 
+ Chọn hệ trục Axy và đơn vị trên trục sao cho : B(3;0) ,C(0;3) . Gọi M(x;y) 
2MA≤MB ⇔ 4MA2 –MB2≤ 0 4(x⇔ 2+y2) – (x-3) 2 –y2 ≤ 0 ⇔ (x+1) 2 +y2 ≤ 4 
 Vậy : 2MA MB M ở trong hình tròn (T) tâm I(-1;0),bán kính 2. (kể cả 
biên) 
≤ ⇔
T−ơng tự : 2MA MC M ở trong hình tròn (S) tâm J(0;-1),bán kính 2. (kể cả 
biên) 
≤ ⇔
+Tập hợp những điển M thoả bài toán là phần giao của hai hình tròn (T) và (S) . 
(kể cả biên) 
 6 
......... 
 6 
y
3 a 
....... 
3 b 
-5 5 10
6
4
2
-2
-4
-6
y
I
J
M
A
C
B
22
2
)2(
2
+
+=
x
xxy 
+ Taọp xaực ủũnh : R 
+ y’ = 32
23
)2(
)223(2
+
−−+−
x
xxx
 =
2
2 3
2( 1)( 4 2)
( 2)
x x x
x
− − + +
+ 
+ y’= 0 x=1 ; x= ⇔ 22 ±− ; 
 y(1)= 3
1
 ; y( 22 −− )= 16
12 −
 ; y( 22 +− )= 16
12 +− ; 0lim =∞±yx 
 x - -2-∞ 2 -2+ 2 1 +∞ 
 y ' + 0 - 0 + 0 - 
 y 
16
12 − 
3
1 
 0 
16
12 +− 0 
 + Vaọy : 
1
3R
Ma x y = ; Miny= 2 116RMin y
+− 
........................................................................................................................................ 
+ Giả sử k là số thoả bài toán. Lúc đó : k
ba
abba ≤++
++
)2)(2( 22
 đúng với mọi a,b 
 Với a=b=1 ,ta có k 
3
1≥ . 
4 
..........
 4 
x 
+Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi a,b : a+b+ab≤ 
3
1
(a2+2)(b2+2). 
 Ta có : (a2+2)(b2+2)- 3(a+b+ab) = a2b2+2a2+2b2+4-3a-3b-3ab 
 = (ab-1) 2+
2
1
 (a-b) 2+
2
3
 [(a-1) 2+(b-1) 2] 0 ≥
+Từ đó số k nhỏ nhất thoả bài toán là : 
3
1 . 
 ĐáP áN - THANG ĐIểM (Vòng 2) 
Bài Nội dung Điểm
 1.a) 
........ 
1.b) 
....... 
2 
 + Khi và 0x D x∈ ⇔ ≠ ,
4
x k kπ π≠ + ∈Z và *,
2
x k kπ≠ ∈Z : 
 2
ln(1 sin 2 ) (sin 2 2 cos 2 ) ln(1 sin 2 ) cot 2( ) '( )
2sin 2 2sin 2 1 sin 2
x x x x x x xf x f x g x
x x x
− − −= ⇒ = − − 
+ Khi x = 0 : 
( )
0 0
ln 1 sin 2( ) (0) 1lim lim '(0)
2( sin 2 ) 2x x
xf x f f
x x→ →
−− = − = − =− . 
...................................................................................................................................... 
3
)1ln()( 23 xx exxxe ≤+−+ (*) 
+ Biĩu thức ln(x2+1) luôn xác định . 
+ x=0 ; x=1 ; x=-1 là các giá trị thoả bất ph−ơng trình . 
 -x= (3x 3 xx − ). )( 3 232 xxxx ++ 
+Khi x∉{0;1;-1} thì x≠ 3 x .Theo định lí Lagrange ,tồn tại số c ở giữa x và 3 x 
sao cho: e - x
3 xe = ( 3 xx − ) e c
Vậy: (*) (⇔ 3 xx − ).[ e + c )3 232 xxxx ++( ln(x2+1)]≤ 0 
 ⇔ 3 xx − ≤ 0 ( Vì [ + ce )( 3 232 xxxx ++ ln(x2+1)]> 0 ) 
 -x 0 . ⇔ 3x ≤
+ Nghi−m cđa bất ph−ơng trình đã cho là : x ]1;0[]1;( ∪−−∞∈ . 
 ....................................................................................................................................... 
Điịu ki−n cđa a,b : 
+Giả s− tứ di−n (T) tồn tại .Gọi AB là cạnh bằng a, các cạnh : AC,AD,BC,BD CD địu 
cùng bằng b . Gọi I là trung điĩm cạnh CD.Tam giác AIB là tam giác cân : 
 AB=a ;AI=BI= 2
3b
. Từ AB<AI+BI suy ra : 3ba <<0 
+Ng−ỵc lại víi : 3ba <<0 .Dựng tam giác địu BCD cạnh b víiự chiịu cao BI. 
Dựng tam giác cân AIB có AB=a ,nằm trong mỉt phẳng chứa BI và vuông góc vói 
mp(BCD) Ta có :A∉ mp(BCD) Tứ di−n ABCD thoả điịu ki−n bài toán
3 
......... 
4 
......... 
 7 
........ 
3 
mp(BCD) .Ta có :A∉ mp(BCD) .Tứ di−n ABCD thoả điịu ki−n bài toán . 
Q
P
M
N
a
I
D
C
B
A
Xác định mỉt phẳng (α ): 
+ Giả s− thiết di−n là hình vuông MNPQ. Các mỉt cđa tứ di−n (T) lần l−ỵt chứa các 
đoạn giao tuyến MN,NP,PQ,QM đ−ỵc gọi tên là mỉt I, mỉt II, mỉt III, mỉt IV. 
Do MN//PQ;MQ//NP nên cạnh chung cđa mỉt I và mỉt III; cạnh chung cđa mỉt IIvà 
mỉt IV ,nằm trên hai đ−ờng thẳng song song víi mp(α ). 
Ngoài ra, hai đ−ờng thẳng này vuông góc nhau,vì MN vuông góc MQ. 
+ Do a khác b nên tứ di−n (T) chỉ có một cỉp cạnh đối vuông góc,đó là AB và CD . 
Vì vậy mp(α ) phải song song víi AB và CD. 
+ Gọi giao điĩm cđa mp(α ) víi AC,BC,BD,AD,lần l−ỵt là M,N,P,Q. Đỉt k = MC
MA
 . 
Ta có :MN=
k
a
+1 ;MQ= k
kb
+1 . Từ MN=MQ ta có : k = b
a
. 
+ Di−õn tích cđa hình vuông MNPQ là : 2)(
ba
ab
+ 
........................................................................................................................................ 
+ Ta xây dựng các tập En có n phần tử thỏa tính chất : 
“Với bất kì cặp số nguyên phân biệt k ,h của En thì tích k.h chia hết cho (k-h)2 “ 
bằng ph−ơng pháp qui nạp theo n (n > 1) 
+ Chọn : E2 ={1;2} 
+ Giả sử tập En ={a1 ; a2 ;.......;an } với n >1 , thỏa tính chất trên . 
Xét tập : En+1= F∪ {m} với m= a1.a2 ......an và F = {ai+ m/ i=1,2,....,n } 
En+1 có n+1 phần tử . Ta chứng minh En+1 thoả tính chất trên . 
Với k ,h là hai phần tử phân biệt của En+1 ,thì có hai khả năng : 
i/Chỉ một phần tử thuộc F ii/Cả hai đều thuộc F 
Tr−ờng hợp i/ : k= ai+ m , h = m= a1.a2 ......an 
Ta có : h chia hết cho ai ; k chia hết cho ai ; k.h chia hết cho :ai .ai còn (k-h)2 = 
ai2 
Tr−ờng hợp ii/: k= ai+ m , h= aj+ m ; ai và aj thuộc En và khác nhau. 
Ta có :k chia hết cho ai ;h chia hết cho aj ;k.h chia hết cho :ai.aj còn (k-h)
2 =(ai -aj)2 
Nh−ng ai và aj thuộc En nên tích ai.aj chia hết cho (ai -aj)2 . 
Từ đó tích k.h chia hết cho (k-h)2 . 
.........
6