Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2008-2009

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008-2009
MÔN TOÁN
Thời gian :180 phút
BÀI I:
1.Chứng minh rằng và n nguyên dương ta có :
2.Chứng minh rằng với và n nguyên dương
BÀI II :
Tìm các giá trị của tham số a sao cho phương trình
 có 3 nghiệm
BÀI III :
Đường chéo hình hộp chữ nhật , tạo với ba kích thước a,b,c cácgóc .
V là thể tích của hình hộp.Chứng minh rằng :
BÀI IV :
Người ta sơn bề ngoài của một khối lập phương thành màu trắng và cưa thành 64 khối lập phương nhỏ .Sau đó , từ các khối lập phương nhỏ , người ta xếp để tạo lại khối lập phương cũ , nhưng lúc ấy các khối lập phương nhỏ có thể thay đổi vị trí và quay đi . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các khối lập phương nhỏ để khối lập phương lớn có bề ngoài được sơn màu trắng.
ĐÁP ÁN
BÀI I :
1. Xét hàm số 
Ta phải chứng minh với mọi x>0 và n nguyên dương : 
Thật vậy ta có với mọi n nguyên dương : 
 Xét => 
Vậy tăng => với mọi x>0 , >= 0.
Vậy công thức đúng với n = 1 
Giả sử công thức đúng với n-1 ta có 
Ta có 
Vậy tăng khi x>0 => : 
 => ( )
 => ( ).
2.
Ta phải chứng minh : 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2n +1 số : gồm 2n số x và số 2n - 2nx , ta có :
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2n - 2nx 
Ta cần chứng minh 
 Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số f(x) = lnx trên đoạn [2n,2n+1].
 với ta có :
ln(2n+1) - ln(2n) = (2n+1-2n) với 2n < c < 2n+1.
ln(2n+1) - ln(2n) = với 
Vậy ta có ln(2n+1) - ln(2n) > (đpcm).
BÀI II :
 Phương trình đã cho luôn xác định với mọi giá trị của x.
 Ta có 
 Phương trình đã cho tương đương với phương trình
 (1)
 Hai hàm số và đều đồng biến trên và lấy giá trị dương trên nên hàm số 
 đồng biến trên 
 Hơn nữa 
 và 2 với mọi 
 Do đó phương trình (1) tương đương với phương trình
 Từ đó suy ra rằng phương trình đã cho có 3 nghiệm trong 3 trường hợp sau :
1/Phương trình (2) có nghiệm kép và phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của (2).
2/Phương trình (3) có nghiệm kép và phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của (3).
3/Hai phương trình (2) và (3) đều có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm chung .
 Ta lần lượt xét 3 trường hợp trên :
1/Phương trình (2) có nghiệm kép x = 2 khi và chỉ 
 khi đó phương trình (3) có hai nghiệm x = (khác 2)
 Vậy a = thỏa mãn điều kiện của bài toán .
2/ Phương trình (3) có nghiệm kép x = 0 khi và chỉ khi 2a - 1 = 0 , khi đó phương trình (2) trở thành x2 - 4x + 2 = 0 có hai nghiệm khác 0.
 Vậy thỏa mãn điều kiện của bài toán .
3/Nếu x0 là một nghiệm chung của (2) và (3) thì 
 Từ đó suy ra a = 1 khi đó phương trình (2) trở thành x2 - 4x + 3 = 0 có nghiệm x=1 , x = 3 và phương trình (3) trở thành x2 = 1 có nghiệm x = .
 Vậy a =1 thỏa điều kiện của bài toán.
 Kết luận , a = , a =1 là các giá trị cần tìm.
BÀI III :
Ta có 
 Suy ra : 
Suy ra :
 (1) 
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :
 (2)
 Vẫn theo bất đẳng thức Côsi , thì 
 Vì nên
 (3)
 Do V=abc nên từ (1) , (2) , (3) suy ra :
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (tức là hình hộp đã cho là hình lập phương)
BÀI IV: Trong 64 khối lập phương nhỏ có :
8 khối được sơn 3 mặt 
24 khối được sơn 2 mặt 
24 khối được sơn 1 mặt 
8 khối không được sơn mặt nào .
Rõ ràng là nếu muốn khối lập phương nhận được bên ngoài có sơn thì các khối loại (1) phải đặt ở đỉnh và mỗi khối có thể đặt theo 3 cách , do đó có 38.8! cách .
Tương tự , đối với loại (2) có 224.24! cách sắp xếp , loại (3) có 424.24! cách sắp xếp và loại (4) có 248.8! cách sắp xếp .
 Vậy có tất cả là 38.8!.224.24!. 424.24! .248.8! = (38.248.8!.24!)2