Đề thi học kỳ 2 môn: Toán 11

ĐỀ THI HỌC KỲ II 
MÔN: TOÁN 11 
Thời gian: 90’ 
Câu1(2đ ): Tính các giới hạn sau : 
 a. lim
2
2
2 1
3 2
n n
n n
 

 b.
3 2lim ( 2 1)
x
x x x

   
Câu 2(2đ ): Cho hàm số 
2 1
1
2
( )
x
xf x



 

 Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên R 
Câu 3:(2đ ): Tính đạo hàm của các hàm số sau : 
 a. 
22 1
2
xy
x



 b. 2os 1 2y c x  
Câu 4(4đ ): Cho tứ diện OABC có đường thẳng OA vuông góc với mặt 
phẳng(OBC), mặt phẳng (OBC) là tam giác vuông tại B. 
 a, Chứng minh BCAB 
 b, Chứng minh (OAB) (ABC) 
 c, Biết OA=a, OB=b. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo a và b. 
............................HẾT.............................. 
ĐÁP ÁN 
Câu1( 2đ) 
a lim
2
2 2 2
2
2
1 1 1 1(2 ) (2 )2 1 2lim lim2 23 2 3(3 ) (3 )
nn n n n n n
n n n
n n
    
  
  
1 
b 3 2 3
2 3
2 1 1lim ( 2 1) lim (1 )
x x
x x x x
x x x 
         1 
Câu 2(2đ) 
Với x≠1 thì 
2 1( )
1
xf x
x



 đây là hàm đa thức hữu tỉ nên liên tục trên 
từng khoảng xác định ( ;1) (1; )   . 
0,75 
Nếu x≠ 1 
Nếu x= 1 
Với x=1 ta có: 
2
1 1 1 1
1 ( 1)( 1)lim ( ) lim lim lim( 1) 2
1 1x x x x
x x xf x x
x x   
  
    
 
=f(1) 
 Vậy f(x) liên tục tại x=1 
1 
Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên R 
0,25 
Câu 3(2đ) 
a 2 2 2 2 2
2 2 2
2 1 4 ( 2) (2 1) 4 8 2 1 2 8 1' ( ) '
2 ( 2) ( 2) ( 2)
x x x x x x x x xy
x x x x
        
   
   
 1 
b 2 2 2 2
2
2' ( os 1 2 ) ' ( 1 2 )sin 1 2 sin 1 2
1 2
xy c x x x x
x
       

1 
Câu 4(4đ) 
b
a
H
o B
C
A
0,5 
a Theo giả thiết ta có: 
 OBC vuông tại B nên BCOB (1) 
 OA (OBC)OABC (2) 
0,5 
Từ (1) và (2) suy ra BC (OAB)BCAB 0,5 
b (OAB) (ABC) vì mp(ABC) chứa đường thẳng BC vuông góc với 
mp (OAB) ( theo chứng minh câu a) 
0,5 
 Trong tam giác OAC kẻ đường cao OH. Ta có: 
 OHAC (*) 
 OHBC (vì BC (OAB))
(* * )
Từ (*) và (**) ta suy ra OH (ABC) 
Vậy d(O,(ABC))=OH 
 1 
Tính OH: 
Trong tam giác OAB vuông tại O ta có 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
OH OA OB a b
    
0,5 
c 

2 2
abOH
a b


0,5 
Duyệt của tổ trưởng chuyên môn Người ra đề 
 Ngô Huế Dương Trọng Hoàng