Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2008-2009

SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 12 
Trường THPT Vinh Lộc	NĂM HỌC 2008-2009
	MÔN : TOÁN
	Thời gian: 180 phút
ĐỀ:
Câu 1: (3điểm)
	Giải phương trình:	
Câu 2: (3điểm)
	Tìm các cặp số (x;y) thỏa phương trình:
Câu 3: (3điểm)
	Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có:
	 đạt giá trị lớn nhất
Câu 4: (4điểm)
	Giải hệ phương trình:
Câu 5: (3điểm)
	Chứng minh: với nN, n3
Câu 6: (4điểm)
 Trong mặt phẳng (P), cho . Dựng các đường thẳng Bx, Cy (P)
Xác định điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BM tiếp xúc với Cy, biết BC=2a
L là một điểm di động trên Bx, L phải ở những vị trí nào để trên Cy có thể tìm được N sao cho vuông tại N?
Trong các vị trí của L ở câu b, hãy xác định vị trí sao cho hình chóp ABLNC có thể tích nhỏ nhất.
----------------------------------------------Hết-------------------------------------------------------
ĐÁP ÁN:
CÂU 1
NỘI DUNG
ĐIỂM
0,5
1
0,5
Vậy nghiệm cuả pt(1) là ; ,(kZ)
1
CÂU 2
NỘI DUNG
ĐIỂM
0,5
Đặt 
(*) trở thành 
1
Vì nên VT0,VP0
1
, kZ
0,5
CÂU 3
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
Suy ra f
0,5
Maxf=
0,5
1
CÂU 4
NỘI DUNG
ĐIỂM
Đặt t=2x-y
0,5
0,5
Đặt 
Ta có f(t) là hàm giảm, g(t) là hàm số tăng và f(t)=g(t)
Do đó 
1
Hệ phương trình đã cho 
0,5
Đặt
Suy ra h(y) là hàm tăng và h(-1)=0
1
Vậy hệ phương trình đã cho 
0,5
CÂU 5
NỘI DUNG
ĐIỂM
Ta có:
0,5
Lấy đạo hàm 2 vế:
Cho x=1, ta có: 
1,5
Chứng minh 2n-1<n!, nN, n3 (2) bằng phương pháp qui nạp 
+ Kiểm tra (2) đúng khi n=3
+ Giả sử (2) đúng khi n=k>3,k N, tức là ta có: 2k-1<k!
Ta chứng minh (2) đúng khi n=k+1, ta chứng minh: 2k<(k+1)!
Vì 2<3k<k+1 nên:2k=2.2k-1<2.k!<(k+1)k!=(k+1)!
Suy ra điều phải chứng minh
1
CÂU 6
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu a
Mặt cầu đường kính BM tiếp xúcCy khi và chỉ khi d(Bx,Cy)=BC=
Vậy BM=4a. Có 2 điểm M1, M2 trên đường Bx thỏa mãn điều kiện này
1
Câu b
Muốn có điểm N để , thì mặt cầu đường kính BL phải cắt Cy. Suy ra BL4a, khi đó L phải nằm ngoài (M1,M2).Nếu L nằm ngoài đoạn [M1,M2], thì với mỗi điểm L trên Bx có 2 điểm N1,N2 thuộc Cy sao cho 
1
Câu c
Đặt BL=y, CN=x. Do tam giác BNL vuông tại N nên BL2=BN2+NL2
1
Hạ đường cao AH của tam giác ABC. AH cũng là đường cao của hình chóp ABLNC và , đáy BLNC là hình thang vuông nên:
Giá trị y=BL=>4a, nên chấp nhận được
1