Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 9 năm học 2014-2015 - THCS Xuân Hưng

TRƯỜNG THCS 
 XUÂN HƯNG THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MễN TOÁN 9
 Năm học 2014 - 2015
(Thời gian làm bài 60 phỳt, khụng kể thời gian giao đề)
Họ và tờn: ..................................................... Lớp 9 ....
Đề bài:
Cõu 1: (3,0 điểm) Tớnh giỏ trị biểu thức:
 a) A = 10; b) B = 0,2.; 
 c) C = 
Cõu 2: (2,0 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau:
 a) ; b) 
Cõu 3: (2,0 điểm) 
 1) Biết và a, bZ . Tớnh a - b.
 2) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P = 
Cõu 4: (3,0 điểm) Cho DABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh BC thành 2 đoạn
 BH = 4cm và CH = 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N.
 a) Tính độ dài DE; 
 b) C/m M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.
 c) C/m DBDH đồng dạng với DBHA . Tớnh tỉ số đồng dạng. 
Bài làm:
ĐÁP ÁN BÀI THI CHỌN HSG TOÁN 9
Năm học 2014 - 2015
Cõu
ý
Nội dung đỏnh giỏ
Điểm
1
a
A = 5
 = 5.2 = 10
0,5
0,5
b
0,25
B = 0,2.. + 2.
 = 0,2.10. + 2.(2 - )
 = 2 + 4 - 2
 = 4
0,25
0,25
0,25
c
C = 
 = -
 = - (7 - 5)
 = - 2
0,25
0,25
0,25
0,25
2
a
ĐK: x-2
Cả 2 giỏ trị x = -2 và x = 3 đều thỏa món ĐK trờn. 
Vậy pt cú 2 nghiệm x1 = - 2; x2 = 3
0,25
0,25
0,25
0,25
b
ĐK: x0
Cả 2 giỏ trị x = 1 và x = 3 đều thỏa món ĐK trờn. 
Vậy pt cú 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 3.
0,25
0,25
0,25
0,25
3
1
Suy ra a = 1; b = -1 nờn a - b = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
0,25
0,25
0,5
2
Ta cú P = 
 max P = 
Vậy max P = 
0,5
0,25
0,25
4
GT
KL
D ABC, = 900 , AH ^ BC,A
E
O
D
C
M
N
H
B
BH = 4cm; CH = 9cm, HD ^ AB, 
HE ^AC , MD ^ DE, NE ^ DE
a) DE = ?
b) MB = MH; NH = NC
c) DBDH DBHA. 
 Tớnh tỉ số đồng dạng.
0,25
a
* DABC vuông tại A, đường cao AH, ta có: 
AH = (cm)
* Xột tứ giỏc ADHE cú: ADHE là hỡnh chữ nhật. Do đú DE = AH = 6cm
0,25
0,25
0,25
b
* Gọi O là giao điểm của AH và DE, ta có: OA = OH = OE = OD (2 góc đáyD cân OHE). 
Mà DNHE cân tại N
 NH = NE (1)
* DNEC cân tại N 
 NC = NE (2)
 Từ (1) và (2) suy ra NH = NC. Vậy N là trung điểm của HC.
 C/m tương tự ta có: M là trung điểm của BH.
0,25
0,25
0,25
0,5
c
Xét DBDH và DBHA có: (chung) 
DBDH DBHA (g.g) 
 tỉ số đồng dạng k = . 
Mà AB = (cm); 
DH.AB = BH.HA nờn k = 
0,25
0,25
0,25
Lưu ý: Với bài toỏn cú thể giải nhiều cỏch thỡ HS cú thể giải cỏch khỏc, suy luận lụ gic vẫn đạt điểm tối đa. Điểm thành phõn cho tương ứng với thang điểm trờn.
TRƯỜNG THCS 
 XUÂN HƯNG THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MễN TOÁN 6
 Năm học 2014 - 2015
(Thời gian làm bài 60 phỳt, khụng kể thời gian giao đề)
Họ và tờn: ..................................................... Lớp 6 ....
Đề bài:
Cõu 1: (3,0 điểm) Viết cỏc tập hợp sau bằng cỏch liệt kờ cỏc phần tử của nú:
 a) Tập hợp M cỏc số tự nhiờn cú 2 chữ số cú 2 chữ số, trong đú chữ số hàng đơn vị kộm chữ số hàng chục là 2.
 b) Tập hợp N cỏc số tự nhiờn cú 3 chữ số mà tổng cỏc chữ số bằng 3.
 c) Tập hợp P cỏc số nguyờn tố lớn hơn 50 và nhỏ hơn 100.
Cõu 2: (2,0 điểm) Tớnh:
 a) A = (2 + 4 + 6 + ... + 98 + 100).(108 . 111 - 36 . 333) ; b) B = 415 . 530 ;
 c) C = 5 + 10 + 15 + ... + 2010 + 2015 ; 
 d) D = 
Cõu 3: (3,0 điểm)
 a) Cho S = 119 + 118 + 117 + ... + 11 + 1. Chứng minh rằng S chia hết cho 5.
 b) Tỡm số tự nhiờn x, biết rằng: 720 : [41 - (2x - 5)] = 23 . 5
 c) Tỡm cỏc số tự nhiờn x và y, sao cho: (2x + 1)(y - 3) = 10
Cõu 4: (2,0 điểm) Gọi O là một điểm của đường thẳng xy. Vẽ điểm A thuộc tia Ox, vẽ cỏc điểm B và C thuộc tia Oy sao cho C nằm giữa O và B.
 a) Trờn hỡnh vẽ cú bao nhiờu tia? Viết tờn cỏc tia đú ?
 b) Trờn hỡnh vẽ cú bao nhiờu đoạn thẳng ? Viết tờn cỏc đoạn thẳng đú ?
 c) Viết tờn cỏc cặp tia đối nhau.
Bài làm:
ĐÁP ÁN BÀI THI CHỌN HSG TOÁN 6: Năm học 2014 - 2015
Cõu
ý
Nội dung đỏnh giỏ
Điểm
1
a
M = {20; 31; 42; 53; 64; 75; 86; 97}
1,0
b
N = {111; 102; 120; 201; 210; 300}
1,0
c
P = {53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97}
1,0
2
a
 A = (2 + 4 + 6 + ... + 98 + 100).(108 . 111 - 36 . 333)
A = (2 + 4 + 6 + ... + 98 + 100).(11988 -11988)
 A = (2 + 4 + 6 + ... + 98 + 100). 0 = 0
0,25
0,25
b
 B = 415 . 530 = 230 . 530
B = (2.5)30 = 1030
0,25
0,25
c
 C = 5 + 10 + 15 + ... + 2010 + 2015
C = (5+2010)+(10+2005)+(15+ 2000) +... + (1005+2010) + 2015
 201 cặp
C = 2015 + 2015 + 2015 + ... + 2015 + 2015
C = 201 . 2015 + 2015 = 202 . 2015 = 407 030
0,25
0,25
d
0,25
0,25
3
a
 S = 119 + 118 + 117 + ... + 11 + 1
Vỡ cỏc số cú tận cựng là 1, lũy thừa lờn bao nhiờu cũng cú tận cựng là 1. Do 10 số hạng của tổng trờn mỗi số cú tận cựng là 1 nờn khi lũy thừa lờn mỗi số cũng cú tận cựng là 1.
S cú tận cựng là 0 nờn chia hết cho 5.
0,5
0,5
b
 720 : [41 - (2x - 5)] = 23 . 5
720 : [ 41 - (2x - 5)] = 40 41 - (2x - 5) = 720 : 40
41 - (2x - 5) = 18 2x - 5 = 41 - 18 2x - 5 = 23
2x = 23 + 5 2x = 28 x = 14
0,25
0,25
0,5
c
(2x + 1)(y - 3) = 10
- Vỡ x, y là cỏc số tự nhiờn nờn 2x + 1 và y - 3 là cỏc ước của 10, 
(y > 3)
- Cỏc ước của 10 gồm 4 ước là 1; 2; 5; 10. 2x + 1 là số lẻ nờn:
* Nếu 2x + 1 = 1 2x = 0 x = 0 và y - 3 = 10y = 13
* Nếu 2x + 1 = 5 2x = 4 x = 2 và y - 3 = 2y = 5
C
B
O
A
Vậy x = 0; y = 13 và x = 2; y = 5.
0,25
0,25
0,25
0,25
4
y
x
0,25
a
 Trờn hỡnh vẽ cú 8 tia: 
Ax; Ay; Ox; Oy; Cx; Cy; Bx; By
0,5
0,5
b
 Trờn hỡnh vẽ cú 6 đoạn thẳng: 
AO; AC; AB; OC; OB; CB
0,25
0,5
c
Trờn hỡnh vẽ cú 4 cặp yia đối nhau: Ax và AY; 
 Ox và Oy; 
 Cx và Cy;
 Bx và By 
0,5
0,5
Lưu ý: Với bài toỏn cú thể giải nhiều cỏch thỡ HS cú thể giải cỏch khỏc, suy luận lụ gic vẫn đạt điểm tối đa. Điểm thành phõn cho tương ứng với thang điểm trờn.