Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 10
NĂM HỌC 2008 – 2009
Thời gian: 180 phút (không kể giao phát đề)
Bài 1(2,0 điểm). Giải phương trình:
Bài 2(2,0 điểm). Cho hệ , với m bất kỳ.
Chứng minh rằng .
Bài 3(2,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = xyz(x + y)(y + z)(z + x)
với và x + y + z = 1.
Bài 4(2,0 điểm). Chứng minh bất đẳng thức: 
với .
Bài 5(2,0 điểm). Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, và các đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B và C lần lượt là mb, mc thoả mãn . Gọi S là diện tích tam giác. Chưng minh rằng .
------------------Hết------------------
Chú ý. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm;
 Học sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu nào.
ĐÁP ÁN
Bài
Bài giải
Thang điểm
1
ĐK: .
Phương trình tương đương: 
Đặt : 
Phương trình trở thành: 
+/ (Vô nghiệm)
+/ (thoả mãn)
Vậy phương trình có nghiệm .
0,25
0,75
0,5
0,5
2
Ta có: (1) 
Thay x3 = m – y3 , ta có:
 hay .
0,5
0,5
0,5
0,5
3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm x,y,z ta có:
Suy ra 
Vậy giá trị lớn nhất của khi và chỉ khi .
0,5
0,5
0,5
0,5
4
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0
0,5
0,5
0,5
0,5
5
Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác ta có:
hay c2(2a2 + 2b2 – c2) = b2(2a2 + 2c2 – b2)
ó c4 – b4 + 2a2(b2 – c2) = 0 ó (c2 – b2)(b2 + c2 – 2a2) = 0 (1)
Do nên từ (1) suy ra b2 + c2 – 2a2 = 0 (2)
Mặt khác theo định lý Côsin trong tam giác ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bccosA
Kết hợp với (2) ta có: a2 = 2bccosA 
Suy ra a2sinA = 2bccosAsinA ó a2sinA = 4ScosA, do nên suy ra 
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
Chú ý. Mọi cách giải khác đúng đều đạt điểm tối đa.