Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán lớp 12 năm 2008

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT NĂM 2008 – Môn TOÁN
Câu 1: Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình sau:
Câu 2: Cho tam giác ABC có góc là góc nhọn,trong đó E là trung điểm của 
AB.Trên tia EC lấy điểm M sao cho . Kí hiệu là số đo của góc 
. Hãy tính tỉ số theo . 
Câu 3: Đặt . Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà và 
 chia hết cho m?
Câu 4: Cho dãy số thực được xác định như sau: 
 và với mọi 
 Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi . Hãy tìm giới hạn 
đó.
Câu 5: Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối 
đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất 2 chữ số 9?
Câu 6: Cho x, y, z là các số thực không âm, đôi một khác nhau.
 Chứng minh rằng :
 Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 7: Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Cho đường thẳng d vuông góc 
với đường thẳng AD. Xét điểm M nằm trên d. Gọi E, F lần lượt là trung điểm 
của MB, MC. Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt đường thẳng AB 
ở P, đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở Q. 
 Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng PQ 
luôn đi qua 1 điểm cố định khi điểm M di động trên đường thẳng d.
- HẾT-